一元二次方程根的判別式的多種應(yīng)用

1、一元二次方程根的判別式的多種應(yīng)用些知識(shí)的基礎(chǔ)，在解題中應(yīng)用許多，舉例如下:一、 不解方程，判斷一元二次方程根的情況。例1、判斷下列方程根的情況2x2+x1=0；x22x3=0；x26x+9=0；2x2+x+1=0二、 已知一元二次方程根的情況，求方程中字母系數(shù)所滿足的條件。例2、當(dāng)m為何值時(shí)關(guān)于x的方程（m4）x2（2m1）x+m=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？簡(jiǎn)解:當(dāng)=-（2m-1）2-4（m-4）m0時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，4m2-4m+1-4m2+16m0，解得m- 又m-40 m4當(dāng)m- 且m4時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。例3、當(dāng)m分別取何值時(shí)關(guān)于x的方程（m-1）x2+（2m-1

2、）x+m-1=0l 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根l 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根l 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根l 有一個(gè)實(shí)數(shù)根l 有實(shí)數(shù)根l 無(wú)實(shí)數(shù)根評(píng)析:初中階段的根的判別式=b2-4ac是相對(duì)于一元二次方程來(lái)說(shuō)的，而ax2+bx+c=0當(dāng)a=0時(shí)是一元一次方程不能用判別式，所以例2中一定要考慮二次項(xiàng)系數(shù)m-40；例3則一定要做分類討論。三、 證明方程根的性質(zhì)。例4、求證:無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。簡(jiǎn)解:=（m2+3）2-40.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1&g

3、t;0無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。評(píng)析:這種應(yīng)用有兩個(gè)難點(diǎn):（1）是容易與（二）中求字母取值混淆，即用0求m的取值范圍；（2）是用配方法證明二次三項(xiàng)式的特性。四、 判斷二次三項(xiàng)式能否在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解。例5、當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解。簡(jiǎn)解:當(dāng)=-2（m+2）2-4m（m+5）0時(shí)，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解。m4且m0。評(píng)析:對(duì)于系數(shù)是有理數(shù)的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a0）的因式分解，其方法是先求a

4、x2+bx+c=0（a0）的根然后再代入公式，所以，判別式?jīng)Q定了二次三項(xiàng)式能否在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，即:<0時(shí)不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解；0時(shí)能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解；進(jìn)而當(dāng)為完全平方數(shù)時(shí)能在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解；再進(jìn)而當(dāng)=0時(shí)ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a0），所以此時(shí)能夠說(shuō)它是完全平方式。五、 判定二次三項(xiàng)式為完全平方式。例6、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。例7、當(dāng)m為何值時(shí)，代數(shù)式（5m-1）x2-（5m+2）+3m2是完全平方式。六、 利用判別式構(gòu)造一元二次方程。例8、已知:（z-x）2-4（x-y）（

5、y-z）=0（xy）求證:2y=x+z簡(jiǎn)解:證明:以（x-y）、（z-x）、（y-z）為系數(shù)的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根又（x-y）+（z-x）+（y-z）=0 t1=t2=1由根與系數(shù)的關(guān)系可知: = t1t2=12y=x+z七、 限制一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用。例9、已知關(guān)于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為17，求k的值。簡(jiǎn)解:設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m、n，m+n=k-1，mn=-3k-2m2+n2=（m+n）2-2mn=k2+4k+5=17k1=-6，k2=2又=-2（k-1）2-4（-3k-2）

6、=k2+10k+9當(dāng)k1=-6時(shí)，= k2+10k+9=-15<0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng) k2=2時(shí)，= k2+10k+9=33>0方程有實(shí)數(shù)根。故只取k=2。評(píng)析:初中范圍內(nèi)，在應(yīng)用韋達(dá)定理求字母取值時(shí)，其前提條件是使方程有實(shí)數(shù)根，即必須使所求字母的值滿足0，正如應(yīng)用判別式時(shí)一定要考慮二次項(xiàng)系數(shù)，即對(duì)于ax2+bx+c=0（a0），可按如下順序求字母取值:a韋達(dá)定理。八、 與幾何知識(shí)相聯(lián)系的問(wèn)題。例10、已知方程a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，a、b、c為一三角形的三條邊，求此三角形的形狀。例11、已知a、b、c為直角三角形的三條邊，c為斜邊，

7、求證:關(guān)于x的方程x2-2（a+b）x+c2+ab=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。簡(jiǎn)解:證明:=-2（a+b）2-4（c2+ab）=4（a2+b2-c2）a、b、c為直角三角形的三條邊，c為斜邊=a2+b2-c2 =0 原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。在以后的學(xué)習(xí)中，判別式的應(yīng)用也非常頻繁，在與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用時(shí)更顯得尤為重要。九、 判斷其他類方程根的情況。例12、分式方程 無(wú)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。例13、a、b、c為一三角形的三條邊長(zhǎng)，若方程ax-y+bc=0與方程x2-ax-y+b2=0只有一組公共的實(shí)數(shù)解，求次三角形的形狀。十、 解決二次函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題。例14、若拋物線y=x2

8、-ax+8的頂點(diǎn)在橫軸上，求a值。例15、求證：無(wú)論m為何值，二次函數(shù)y= x2-（m+4）x+2（m-1）總與橫軸有兩個(gè)交點(diǎn)。例16、直線y=3x-3與 y=x2-x+1有幾個(gè)交點(diǎn)？評(píng)析：二次函數(shù)與二次方程有密切的聯(lián)系，拋物線與橫軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由決定，即>0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；=0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（或者說(shuō)頂點(diǎn)在橫軸上）；<0時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)（或者說(shuō)當(dāng)a>0時(shí)函數(shù)值恒為正，當(dāng)a<0時(shí)函數(shù)值恒為負(fù)）。十一、求最值問(wèn)題。例17、已知x為任意實(shí)數(shù)，求的最值。簡(jiǎn)解：設(shè)=y，整理得：（y-1）x2-x-2=0x0 在y-10時(shí)=1+8（x-1）0即：y且y1，當(dāng)y=1時(shí)，x=-2的最小值為十二、

9、巧解方程（組）。例18、求方程2x2-2xy+y2-2x+1=0的實(shí)數(shù)解。簡(jiǎn)解：方程變形為2x2-2（y+1）x+y2+1=0=-2（y+1）2-4（y2+1）20化簡(jiǎn)得：-（y-1）20 ，而-（y-1）2 0-（y-1）2=0 即y=1代入方程得：x1=x2=1十三、證明恒等式。例19、若a、b、c為實(shí)數(shù)，且a（a-b）+b（b-c）+c（c-a）=0求證：a=b=c簡(jiǎn)解：視a為主元，整理得：a2-（b+c）a+（b2-bc+c2 ）=0a為實(shí)數(shù)，=-（b+c）2-4（b2-bc+c2）0解得：b=c，代入上式得a=b，故a=b=c。由以上例題可以看出一元二次方程的判別式在初中數(shù)學(xué)中占有非

10、常重要的地位，也是學(xué)習(xí)某些知識(shí)的基礎(chǔ)。在中考試題和競(jìng)賽中常有出現(xiàn)。附：（中考試題和競(jìng)賽試題精選）1、不解方程，判別方程2x2+3x-4=0的根的情況（ ）A、 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。B、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。C、 有一個(gè)實(shí)數(shù)根。D、無(wú)實(shí)數(shù)根 （2002年武漢市中考數(shù)學(xué)試題）2、已知關(guān)于x的方程0.25x2- (m-3)x+m2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的最大整數(shù)值是（ ）。A、2 B、1 C、0 D1（年四川省中考數(shù)學(xué)試題）3、已知關(guān)于x的方程x22x+k=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（） A、k<1 B、k1 C、 k-1 D、k-1（2002年遼寧省中考數(shù)學(xué)試

11、題）4、已知a、b、c是一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng)，那么方程cx2+(a+b)x+0.25c=0的根的情況是（ ）。A、無(wú)實(shí)數(shù)根。 B、有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根。C、有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根。D、 有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。 （2002年河南省中考數(shù)學(xué)試題）5、關(guān)于x的一元二次方程x2(k+1)x+k=0的根的情況是（ ）。A、 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。B、總有實(shí)數(shù)根。C、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。D、 實(shí)數(shù)根。（2002年包頭市中考數(shù)學(xué)試題）6、關(guān)于x的方程x22x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）。（2002年南昌市中考數(shù)學(xué)試題）7、如果方程組 只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

12、則m的取值是（ ）。（2002年廈門市中考數(shù)學(xué)試題）8、已知關(guān)于x的方程x2x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方的倒數(shù)和為3，則a=（ ）。（2002年嘉興市中考數(shù)學(xué)試題）9、m>2時(shí)，關(guān)于x、y的方程組的實(shí)數(shù)解有（ ）個(gè)。10、已知關(guān)于x的方程x2kx-2=0,求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2002年南京市中考數(shù)學(xué)試題）11、已知:二次函數(shù)y=x2+ax+a-2求證：1不論a取何值，拋物線y=x2+ax+a-2的頂點(diǎn)總在橫軸下方。2是否存在a的值使拋物線y=x2+ax+a-2在橫軸上截得的線段長(zhǎng)為1？（2002年杭州市中考數(shù)學(xué)試題）12、已知x1x2是一元二次方程 4kx2-4kx+k+

13、1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)k，使（2x1-x2）（x1-2x2）= -1.5，若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。(2002年四川省中考數(shù)學(xué)試題)13、是否存在這樣的非負(fù)整數(shù)m，使關(guān)于x的一元二次方程m2x2-(2m-1)x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？若存在請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。14、若方程x2+2px-q=0(p、q為實(shí)數(shù))沒(méi)有實(shí)數(shù)根。a) 求證：p+q<0.25b) 試寫(xiě)出上述命題的逆命題。c) 判斷2中逆命題是否正確，若正確請(qǐng)加以證明；若不正確請(qǐng)舉一反例說(shuō)明。15、已知關(guān)于x的方程（n-1）x2+mx+1=0 <1>有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。i. 求證：關(guān)于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0 <2>必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。ii. 若方程1的一根的相反數(shù)恰好是方程2的一根求代數(shù)式m2n+12n的值。（2002年北京市海淀區(qū)中考數(shù)學(xué)試題）16、若三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0；x2+(a-1)x+a2=0；x2+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。17、若a、b、c、d都是實(shí)數(shù)，且滿足a2d2+b2(d2+1)+c2+2b(a+c)d=0,求證：b