高二數(shù)學(xué)空間向量

1、§3.1.1-2空間向量及其運(yùn)算 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 理解空間向量的概念，掌握其表示方法；掌握空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)式化簡(jiǎn)；2. 會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；3. 能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或長(zhǎng)度）； 叫零向量，記著 ； 叫單位向量. 叫相反向量， 的相反向量記著 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三種方法. 復(fù)習(xí)2：平面向量有加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算：1. 向量的加法和減法的

2、運(yùn)算法則有 法則 和 法則. 2. 實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè) 量，記作 ，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下： (1)|a| . (2)當(dāng)0時(shí)，a與A. ；當(dāng)0時(shí)，a與A. ；當(dāng)0時(shí)，a .3. 向量加法和數(shù)乘向量，以下運(yùn)算律成立嗎？加法交換律：abba加法結(jié)合律：(ab)ca（bc）數(shù)乘分配律：(ab)ab復(fù)習(xí)3：在平面上，什么叫做兩個(gè)向量平行？在平面上有兩個(gè)向量， 若是非零向量，則與平行的充要條件是 二、新課導(dǎo)學(xué)探究任務(wù)一：空間向量的相關(guān)概念問(wèn)題： 什么叫空間向量？空間向量中有零向量，單位向量，相等向量嗎？空間向量如何表示？新知：空間向量的加法和減法運(yùn)算：空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平

3、面內(nèi)，變?yōu)閮蓚€(gè)平面向量的加法和減法運(yùn)算，例如右圖中， ， ，試試：1. 分別用平行四邊形法則和三角形法則求.2. 點(diǎn)C在線段AB上，且,則 , .反思：空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律嗎？加法交換律：A. + B. = B. + a；加法結(jié)合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；數(shù)乘分配律：(A. + b) =A. +b例1 已知平行六面體（如圖），化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：變式：在上圖中，用表示和.探究任務(wù)二：空間向量的共線問(wèn)題：空間任意兩個(gè)向量有幾種位置關(guān)系？如何判 定它們的位置關(guān)系？新知：空間向量的共線：1. 如果表示空間向量的 所在的直線互相

4、或 ，則這些向量叫共線向量，也叫平行向量. 2. 空間向量共線：定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（）， 的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使得 推論：如圖，l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，對(duì)空間的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是 試試：已知 ，求證: A,B,C三點(diǎn)共線. 反思：充分理解兩個(gè)向量共線向量的充要條件中的，注意零向量與任何向量共線.例1 已知直線AB，點(diǎn)O是直線AB外一點(diǎn)，若，且x+y1，試判斷A,B,P三點(diǎn)是否共線？變式：已知A,B,P三點(diǎn)共線，點(diǎn)O是直線AB外一點(diǎn)，若，那么t 例2 已知平行六面體，點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)G在對(duì)角線AC上，且CG:GA=2:1,設(shè)=，試用向量表

5、示向量.變式1：已知長(zhǎng)方體，M是對(duì)角線AC中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式： ; 變式2：如圖，已知不共線，從平面外任一點(diǎn)，作出點(diǎn),使得：. 結(jié)：空間向量加法的運(yùn)算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量例2 化簡(jiǎn)下列各式： ; .變式：化簡(jiǎn)下列各式： ; ; .小結(jié)：化簡(jiǎn)向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則，遇到減法既可轉(zhuǎn)化成加法，也可按減法法則進(jìn)行運(yùn)算，加法和減法可以轉(zhuǎn)化. 動(dòng)手試試練1. 已知平行六面體, M為AC與BD的交點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式： ; ; .練2. 下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 向量

6、與非零向量共線，與共線，則與 共線；B. 任意兩個(gè)共線向量不一定是共線向量；C. 任意兩個(gè)共線向量相等；D. 若向量與共線，則. 練3. 已知，若，求實(shí)數(shù) 三、總結(jié)提升平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移. 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 下列說(shuō)法中正確的是（ ）A. 若=，則，的長(zhǎng)度相同，方向相反或相同;B. 若與是相反向量，則=;C. 空間向量的減法滿足結(jié)合律;D. 在四邊形ABCD中，一定有.2. 長(zhǎng)方體中，化簡(jiǎn)= 3. 已知向量

7、，是兩個(gè)非零向量，是與，同方向的單位向量，那么下列各式正確的是（ ）A. B. 或C. D. =4. 在四邊形ABCD中，若,則四邊形是（ ）A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四邊形5. 下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 零向量沒(méi)有方向 B. 空間向量不可以平行移動(dòng)C. 如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等D. 同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量6. 下列說(shuō)法正確的是（ ）A.與非零向量共線,與共線，則與共線B. 任意兩個(gè)相等向量不一定共線C. 任意兩個(gè)共線向量相等D. 若向量與共線，則7 正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，若,則x ，y ，z . 8. 若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在直

8、線AB外，則 + .9. 平行六面體, O為AC與BD的交點(diǎn),則 10. 已知平行六面體，M是AC與BD交點(diǎn)，若，則與相等的向量是（ ）A. ； B. ；C. ； D. . 11. 在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量、是（ ）A. 有相同起點(diǎn)的向量 B等長(zhǎng)向量 C共面向量 D不共面向量.12. 正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，若,則x ，y ，z . 13. 若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在直線AB外，則 + .14. 平行六面體, O為AC與BD的交點(diǎn),則 .15. 在下列命題中：若a、b共線，則a、b所在的直線平行；若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；若a、b、c三向量

9、兩兩共面，則a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為pxaybzc其中正確命題的個(gè)數(shù)為 （ ）.A0 B.1 C. 2 D. 316. 若，若，求實(shí)數(shù).17.已知兩個(gè)非零向量不共線, . 求證：共面§3.1.3-5空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；2. 掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算方法，并能利用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題3.掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標(biāo)表示；4. 掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；5.掌握空間向量的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式

10、； 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P90 P92，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：什么是平面向量與的數(shù)量積？ 復(fù)習(xí)2：在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，求.復(fù)習(xí)3：平面向量的坐標(biāo)表示：平面直角坐標(biāo)系中，分別取x軸和y軸上的 向量作為基底，對(duì)平面上任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得，則稱有序?qū)橄蛄康?，即 .二、新課導(dǎo)學(xué)探究任務(wù)一：空間向量的數(shù)量積定義和性質(zhì) 問(wèn)題：在幾何中，夾角與長(zhǎng)度是兩個(gè)最基本的幾何量，能否用向量的知識(shí)解決空間兩條直線的夾角和空間線段的長(zhǎng)度問(wèn)題？ 新知：1) 兩個(gè)向量的夾角的定義：已知兩非零向量，在空間 一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作 . 試試： 范圍: =0時(shí), ;=時(shí), 成

11、立嗎？ ，則稱與互相垂直，記作 .2) 向量的數(shù)量積：已知向量，則 叫做的數(shù)量積，記作，即 .規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積等于零.反思： 兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量還是向量？ （選0還是） 你能說(shuō)出的幾何意義嗎？3) 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）設(shè)單位向量，則（2） （3） .4) 空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）（2）（交換律）（3）（分配律反思： 嗎？舉例說(shuō)明. 若，則嗎？舉例說(shuō)明. 若，則嗎？為什么？ 典型例題例1 用向量方法證明：在平面上的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.變式1：用向量方法證明：已知：是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線與平面的交點(diǎn)為，且.求證

12、： 例2 如圖，在空間四邊形中，求與的夾角的余弦值變式：如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,則AB與CB所成的角為（ ）A. 60° B. 90° C. 105° D. 75° 例3 如圖，在平行四邊形ABCD-ABCD中，,=60°,求的長(zhǎng).探究任務(wù)二：空間向量的正交分解問(wèn)題：對(duì)空間的任意向量，能否用空間的幾個(gè)向量唯一表示？如果能，那需要幾個(gè)向量？這幾個(gè)向量有何位置關(guān)系？新知：1 空間向量的正交分解：空間的任意向量，均可分解為不共面的三個(gè)向量、，使. 如果兩兩 ，這種分解就是空間向量的正交分解.(2)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量

13、 ，對(duì)空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得. 把 的一個(gè)基底，都叫做基向量.反思：空間任意一個(gè)向量的基底有 個(gè).單位正交分解：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相 ，長(zhǎng)度都為 ，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，通常用i,j,k表示.空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz和向量a，且設(shè)i、j、k為 x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組，使得，則稱有序?qū)崝?shù)組為向量a的坐標(biāo)，記著 .設(shè)A，B，則 .向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a，b，則ab；ab；a；a·b.試試：1. 設(shè)，則向量的坐標(biāo)為 .2. 若A，B，則 .3. 已知a，b，求ab，ab，8a，a·b 典型例題

14、例1 已知向量是空間的一個(gè)基底，從向量中選哪一個(gè)向量，一定可以與向量 構(gòu)成空間的另一個(gè)基底？變式：已知O,A,B,C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O,A,B,C是否共面？小結(jié)：判定空間三個(gè)向量是否構(gòu)成空間的一個(gè)基底的方法是：這三個(gè)向量一定不共面.例2 如圖，M,N分別是四面體QABC的邊OA,BC的中點(diǎn)，P,Q是MN的三等分點(diǎn)，用表示和. 變式：已知平行六面體，點(diǎn)G是側(cè)面的中心，且，試用向量表示下列向量: . 探究任務(wù)三：空間向量坐標(biāo)表示夾角和距離公式問(wèn)題：在空間直角坐標(biāo)系中，如何用坐標(biāo)求線段的長(zhǎng)度和兩個(gè)向量之間的夾角？新知：1. 向量的模：設(shè)a，則a 2. 兩個(gè)向量的夾角公式

15、：設(shè)a，b，由向量數(shù)量積定義： a·b|a|b|cosa,b，又由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式：a·b ，由此可以得出：cosa,b 試試： 當(dāng)cosa、b1時(shí)，a與b所成角是 ； 當(dāng)cosa、b1時(shí)，a與b所成角是 ； 當(dāng)cosa、b0時(shí)，a與b所成角是 ，即a與b的位置關(guān)系是 ，用符合表示為 .反思：設(shè)a，b，則 a/B. a與b所成角是 a與b的坐標(biāo)關(guān)系為 ； aba與b的坐標(biāo)關(guān)系為 ；3. 兩點(diǎn)間的距離公式：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為：.4. 線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為: . 典型例題例1. 如圖,在正方體中

16、，點(diǎn)分別是的一個(gè)四等分點(diǎn)，求與所成的角的余弦值變式：如上圖,在正方體中，求與所成角的余弦值例2. 如圖，正方體中，點(diǎn)E,F分別是的中點(diǎn)，求證：. 變式：如圖，正方體中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，求與CM所成角的余弦值. 小結(jié)：求兩個(gè)向量的夾角或角的余弦值的關(guān)鍵是在合適的直角坐標(biāo)系中找出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，然后再用公式計(jì)算. 動(dòng)手試試練1. 已知向量滿足，則_.練2. , 則的夾角大小為_(kāi).練3. 已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z滿足的條件三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1.向量的數(shù)量積的定義和幾何意義.2. 向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律的運(yùn)

17、用.3. 空間向量的正交分解及空間向量基本定理；4. 空間向量坐標(biāo)表示及其運(yùn)算5. 空間向量的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式；6. 解決立體幾何中有關(guān)向量問(wèn)題的關(guān)鍵是如何建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，然后再代入公式進(jìn)行計(jì)算. 知識(shí)拓展1.向量給出了一種解決立體幾何中證明垂直問(wèn)題，求兩條直線的夾角和線段長(zhǎng)度的新方法.2.建立空間直角坐標(biāo)系前，一定要驗(yàn)證三條軸的垂直關(guān)系，若圖中沒(méi)有建系的環(huán)境，則根據(jù)已知條件，通過(guò)作輔助線來(lái)創(chuàng)造建系的圖形. 3.在平面內(nèi)取正交基底建立坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，都可以用二元有序?qū)崝?shù)對(duì)表示，平面向量又稱二維向量.空間向量可用三元有

18、序?qū)崝?shù)組表示，空間向量又稱三維向量.二維向量和三維向量統(tǒng)稱為幾何向量. 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 下列命題中：若，則，中至少一個(gè)為若且，則正確有個(gè)數(shù)為（ ）A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)2. 已知和是兩個(gè)單位向量，夾角為，則下面向量中與垂直的是（ ）A. B. C. D. 3.已知中，所對(duì)的邊為，且,則= 4. 已知，且和不共線，當(dāng) 與的夾角是銳角時(shí)，的取值范圍是 .5. 已知向量滿足，則_6. 若為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的是（ ）A. B. C. D. 7. 設(shè)i、j、k為空間直角坐標(biāo)系O-xyz中x軸、y軸、z軸正方向

19、的單位向量，且，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 8. 在三棱錐OABC中，G是的重心（三條中線的交點(diǎn)），選取為基底，試用基底表示 9. 正方體的棱長(zhǎng)為2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，E為BB1中點(diǎn)，則E的坐標(biāo)是 .10. 已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根，且，當(dāng)t 時(shí)，的模取得最大值.11. 若a，b，則是的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不不要條件12. 已知，且，則x .13. 已知,與的夾角為120°，則的值為（ ）A. B. C. D. 14. 若，且的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 15. 已知 ，