第一講線段角的計(jì)算證明問題

1、中考數(shù)學(xué)專題 1 線段、角的計(jì)算證明問題 第一部分 知識(shí)點(diǎn)詮釋中考的解答題一般是分兩到三部分的。 第一部分基本上都是一些簡 單題或者中檔題， 目的在于考察基礎(chǔ)。 第二部分往往就是開始拉分的 中、難題了。大家研究今年的北京一模就會(huì)發(fā)現(xiàn)，第二部分 , 或者叫 難度開始提上來的部分， 基本上都是以線段， 角的計(jì)算與證明開始的。 城鄉(xiāng) 18 個(gè)區(qū)縣的一模題中 , 有 11 個(gè)區(qū)第二部分第一道題都是標(biāo)準(zhǔn)的 梯形，四邊形中線段角的計(jì)算證明題， 剩下的 7 個(gè)區(qū)縣題則將線段角 問題與旋轉(zhuǎn) , 動(dòng)態(tài)問題結(jié)合，放在了更有難度的倒數(shù)第二道壓軸題當(dāng) 中.可以說. 線段角問題就是中考數(shù)學(xué)有難度題的排頭兵。 對(duì)這些題輕

2、 松掌握的意義不僅僅在于獲得分?jǐn)?shù)， 更重要的是對(duì)于整個(gè)做題過程中 士氣、軍心的影響。在這個(gè)專題中， 我們對(duì)各縣區(qū)一模真題進(jìn)行總結(jié) 歸納，分析研究 , 來探究線段，角計(jì)算證明問題的解題思路。第二部分 真題精講【例 1】 如 圖 , 梯 形 ABCD 中 ，AD / BCBD CD， BDC 90° AD 3，BC 8求AB 的長.EDBC【思路分析】 線段，角的計(jì)算證明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似，直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察的.所以這就要求我們對(duì)梯形的性質(zhì)有很好的理解，并且熟知梯形的輔助線做法。 這道題中未知的是 AB,已知的是AD, BC以及 BDC是等腰直

3、角三 角形,所以要把未知的 AB也放在已知條件當(dāng)中去考察 .做AE,DF垂直于BC,則很輕易發(fā)現(xiàn)我 們將AB帶入到了一個(gè)有大量已知條件的直角三角形當(dāng)中于是有解如下【解析】作AEBC 于 E, DFBC 于 F.AE/ DF ,-T AD/ BC,四邊形AEFD是矩形.EFAD 3, AEDF .BDCD, DF BC , DF是 BDCv BDC 90° DF-BC2BF 4.AE4 , BE BFEF 43 1.在 Rt ABE 中，AB2AE2BE2的BC邊上的中線.AB 42 1217.【例2】已知：如圖，在直角梯形ABCD 中,AD / BC , DCB 90 ,AC BD

4、于點(diǎn) O, DC 2,BC 4 求AD的長.BC【思路分析】這道題給出了梯形兩對(duì)角線的關(guān)系。求梯形上底.對(duì)于這種對(duì)角線之間或者和其他線段角有特殊關(guān)系（例如對(duì)角線平分某角）的題，一般思路是將對(duì)角線提出來構(gòu)造一個(gè)三 角形.對(duì)于此題來說，直接將AC向右平移，構(gòu)造一個(gè)以 D為直角頂點(diǎn)的直角三角形。這樣就 將AD轉(zhuǎn)化成了直角三角形中斜邊被高分成的兩條線段之一，而另一條線段BC是已知的。于是問題迎刃而解【解析】過點(diǎn)D作DE /AC交BC的延長線于點(diǎn) E BDE BOC。 AC BD 于點(diǎn) O ,BOC 90 .BDE 90。/ AD / /BC , 四邊形ACED為平行四邊形AD CE。BDE 90 ,

5、DCB 90 , DC2 BC CE。/ DC 2,BC 4, CE 1 .- AD 1此題還有許多別的解法，例如直接利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余關(guān)系，證明ACD和DBC相似，從而利用比例關(guān)系直接求出 CD有興趣的考生可以多發(fā)散思維去研究 【例3】如圖，在梯形ABCD中 AD / BC B 90I J?AD=2 ,BC 5 , E 為 DC 中點(diǎn)，tanC43 .求ae的長度【思路分析】 這道題是東城的解答題第二部分第一道，就是我們所謂提難度的門檻題。乍 看之下好象直接過 D做垂線之類的方法不行。那該怎樣做輔助線呢？答案就隱藏在E是中點(diǎn)這個(gè)條件中在梯形中，一腰中點(diǎn)是很特殊的 一方面中點(diǎn)本身是多

6、對(duì)全等三角形的公共點(diǎn)，另一方面中點(diǎn)和其他底， 腰的中點(diǎn)連線就是一些三角形的中線，利用中點(diǎn)的比例關(guān)系就可以將已知條件代入比如這道題，過中點(diǎn) E做BC的垂線，那么這條垂線與 AD延長線，BC就構(gòu) 成了兩個(gè)全等的直角三角形。并且這兩個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角的正切值是已經(jīng)給出的。于是得解?！窘馕觥窟^點(diǎn)E作BC的垂線交于BC點(diǎn)F ,交AD的延長線于點(diǎn)在梯形 ABCD中，AD II BC , E是DC的中點(diǎn),M MFC , DE CE在MDE和FCE中,M MFCDEM CEFDE CE EFME , DM1 CF/ AD2, BC5, DMCF32在RtFCE 中，tanC4EF3CF， EFME 2.在

7、RtAME 中，AE22223652MDE 幻 FCE ?！究偨Y(jié)】以上三道真題，都是在梯形中求線段長度的問題。這些問題一般都是要靠做出精妙的輔助線來解決。 輔助線的總體思路就是 將梯形拆分或者填充成矩形 +三角形的組合 ，從而達(dá)到利用已知求未知的目的。 一般來說，梯形的輔助線主要有以下 5類:1、過一底的兩端做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形+ 一矩形2、平移一腰，分梯形為平行四邊形 +三角形3、延長梯形兩腰交于一點(diǎn)構(gòu)造三角形4、平移對(duì)角線，轉(zhuǎn)化為平行四邊形 +三角形5、連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)延長線交于另一底延長線構(gòu)筑兩個(gè)全 等三角形或者過中點(diǎn)做底邊垂線構(gòu)筑兩個(gè)全等的直角三 角形以上五種方法就是梯形

8、內(nèi)線段問題的一般輔助線做法。對(duì)于角度問題，其實(shí)思路也是一 樣的。通過做輔助線使得已知角度通過平行，全等方式轉(zhuǎn)移到未知量附近。之前三道例 題主要是和線段有關(guān)的計(jì)算。我們接下來看看和角度有關(guān)的計(jì)算與證明問題。【例4】如圖，在梯形ABCD中，AB / DC , DB 平分 ADC ,過點(diǎn)A作AE / BD，交CD的延長線于點(diǎn)E ,且 C 2 EBDC 30 , AD 3 ,求CD的長.【思路分析】此題相對(duì)比較簡單，不需要做輔助線就可以得出結(jié)果。但是題目中給的條件都是此類角度問題的基本條件。例如對(duì)角線平分某角， 然后有角度之間的關(guān)系。 面對(duì)這種題目還是需要將已知的角度關(guān)系理順。首先根據(jù)題目中條件，尤其

9、是利用平行線這一條件，可以得出（見下圖）角C與角1, 2，3以及角E的關(guān)系.于是一系列轉(zhuǎn)化過后，發(fā)現(xiàn)角 C=60度， 即三角形DBC為RT三角形.于是得解.【解析】：AE II BD13,2E 123EADC3E 2 EC2 EADCBCD60梯形ABCD是等腰梯形 BC AD 3230 , BCD 60DBC 90在 Rt DBC 中，230 , BC 3 CD 6【例5】已知：PA V2, PB 4,以AB為一邊作正方形ABCD使 P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).p如圖，當(dāng)/ APB45。時(shí)， 求AB及 PD的長；【思路分析】這是去年西城一模的壓軸題的第一小問。如果線段角的計(jì)算出現(xiàn)在中間部分

10、往往意味著難度并不會(huì)太高。但是一旦出現(xiàn)在壓軸題，那么有的時(shí)候往往比函數(shù)題，方程題更為棘手這題求AB比較容易，過A做BP垂線,利用等腰直角三角形的性質(zhì)，將 APB分成 兩個(gè)有很多已知量的 RT。但是求PD時(shí)候就很麻煩了。 PD所在的三角形PAD是個(gè)鈍角三角 形，所以就需要我們將 PD放在一個(gè)直角三角形中試試看。構(gòu)筑包含PD的直角三角形，最簡單的就是過 P做DA延長線的垂線交 DA于F,DF交PB于G 這樣一來，得到了厶 PFA AGEA等多個(gè)RT。于是與已求出的 AB等量產(chǎn)生了關(guān)系，得解.【解析】：如圖，作AEL PB于點(diǎn)E. APE中,/ APE=5DPA 2 ,AEPAsin APE2遼12

11、LPEPA cos APE22 1 .2PB4,BEPBPE 3 .在 Rt ABE中 , / AEB=0AB . AE2 BE210如圖，過點(diǎn)P作AB的平行線，與 DA的延長線交于F,設(shè)DA的延長線交PB于G 在Rt AE（中,可得AEAEAG -cos EAG cos ABE103，（這一步最難想到，利用直角三角形斜邊高分成的兩個(gè)小直角三角形的角度關(guān)系）1 2EG 3，PG PB BE EG 3 -在 Rt PFG，可得 PFPG cos FPGPG cos ABE 衛(wèi),FG515【總結(jié)】 由此我們可以看出，在涉及到角度的計(jì)算證明問題時(shí)，一般情況下都是要將已知角度通過平行，垂直等關(guān)系過度給

12、未知角度 。所以，構(gòu)建輔助線-般 也是從這個(gè)思路出發(fā)， 利用一些特殊圖形中的特殊角關(guān)系 （例如上題中的 直角三角形斜邊高分三角形的角度關(guān)系）以及借助特殊角的三角函數(shù)來達(dá)到求解的目的。第三部分發(fā)散思考通過以上的一模真題， 我們對(duì)線段角的相關(guān)問題解題思路有了一些認(rèn)識(shí)。 接下來我們自己動(dòng) 手做一些題目。希望考生先做題 ,沒有思路了看分析，再?zèng)]思路了再看答案?！舅伎?】如圖，在梯形ABCD中，AD/ BC, AB CD .若 AC丄BD,且CDAD+B(= 10a/3 ,ABC 60 , 求 的長.【思路分析】 前面我已經(jīng)分析過，梯形問題無非也就那么幾種輔助線的做法.此題求腰，所以自然是 先將腰放在某

13、個(gè) RT三角形 中。另外遇到對(duì)角線垂直這類問題，一般 都是平移某一條對(duì)角線以構(gòu)造更大的一個(gè)RT三角形，所以此題需要兩條輔助線。 在這類問題中，輔助線的方式往往需要交叉運(yùn)用 ，如果思想放不開，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。解法見后文【思考 2】如圖，梯形 ABCD中,AD/BC , / B=30°, / C=60° ,E,M , F,N 分別是 AB,BC, CD,DA的中點(diǎn)，已知BC=7,MN=3求EFC【思路分析】 此題有一定難度，要求考生不僅掌握中位線的相關(guān)計(jì)算方法， 也對(duì)三點(diǎn)共線提 出了要求。若求 EF,因?yàn)锽C已知，所以只需求出 AD即可。由題目所給角 B,角C

14、的度數(shù)， 應(yīng)該自然聯(lián)想到直角三角形中求解。（解法見后）【思考3】已知ABC，延長BC到 D，使CD BC .取AB的中點(diǎn)F ,連結(jié)FD交AC于點(diǎn)E .AE求AC的值;若 長.AB a , FB EC，求 AC 的A【思路分析】求比例關(guān)系，一般都是要 利用相似三角形來求解此題中有一個(gè)等量關(guān)系BC=CD又有F中點(diǎn)，所以需要做輔助線，禾U用這些已知關(guān)系來構(gòu)造數(shù)個(gè)相似三角形就成了 獲得比例的關(guān)鍵。（解法見后）【思考4】如圖3, ABC中，/A=90°, D為斜邊BC的中點(diǎn)，E, F分別為AB, AC上的點(diǎn), 且DE丄DF,若BE=3, CF=4,試求EF的長.【思路分析】 中點(diǎn)問題是中考幾何

15、中的大熱點(diǎn)，幾乎年年考。有中點(diǎn)自然有中線，而倍長中線方法也成為解題的關(guān)鍵將三角形的中線延長一倍， 剛好可以構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形 ，很多問題就可以輕松求解本題中，D為中點(diǎn)，所以大家可以看看如何在這個(gè)里面構(gòu)造倍長中線。 （解法見后）【思考5】 如圖，在四邊形ABCD中E為AB上一點(diǎn)，ADE和BCE都是 等邊三角形，AB、BC、CD、DA 的中 點(diǎn)分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為怎樣的 四邊形，并證明你的結(jié)論.【思路分析】 此題也是中點(diǎn)題，不同的是上題考察中線，此題考察中位線。本題需要考生對(duì)各個(gè)特殊四邊形的性質(zhì)了如指掌 ，判定，證明上都需要很好的感覺。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之

16、間的轉(zhuǎn)化條件（解法見后）第三部分思考題答案思考1【解析】:作DE丄BC于E,過D作DF/ AC交BC延長線于 F. 則四邊形ADFC是平行四邊形， AD CF四邊形ABCD是等腰梯形， AC=BD. DF BD又 AC丄 BD, DF/ AC,. BD丄 DF. BDF是等腰直角三角形- DE 1 BF(AD BC) 5 32 2在Rt CDE中，/ DCE 60 , DE CD sin DCE,DF=AC思考2【解析】思考3【解析】二 5 3 CD sin 60，二 CD延長BA, CD交于點(diǎn)H,連接HN因?yàn)? B=30° , / C=60°,所以/10所以HN=DN（直

17、角三角形斜邊中線性質(zhì)/ NHD2 NDH=60連接MH同理可知/ MHDd C=60° .ABE cF1 A /*MBHC=90所以/ NHD2 MHD即H, N, M三點(diǎn)共線（這一點(diǎn)容易被遺漏 ，很多考生會(huì)想當(dāng)然認(rèn)為他們共線，其實(shí)還是要證明一下 ）所以 HM=3.5 , NH=0.5 AN=0。5所以 AD=1 EF= (1+7)/2=4過點(diǎn)F作FM / AC，交BC于點(diǎn)M ./ F為AB的中點(diǎn) M為BC 的中點(diǎn)，F(xiàn)MAC2由FM/ AC，得CEDMFDECDFMID5FMD sECDDCEC2DMFM3-EC2FM2 1AC 1AC33 23AEAC-AC 1 ACEC31 ACACAC2/ AlB a ,- FB1 AB1 a22又FBEC , EC -a-AC ,23 a .ECAC3EC -32思考4【解析】：延長ED至點(diǎn) G,使 DG=ED，連接 CG, FG. 則厶 CDGA BDE.所以 CG=BE=3,Z 2=Z B. 因?yàn)? B+Z 仁90°，所以/ 1 + Z 2=Z FCG=90°. 因?yàn)镈F垂直平分EG,所以FG=EF.在RtA FCG中，由勾股定理得FG .CG2 CF2 32425,所以