第1講有理數(shù)及其運算

1、個人收集整理勿做商業(yè)用途清大世紀教育學員輔導講義學員編號：年 級：第課時學員姓名：輔導科目：教師：安文靜課題第1講 有理數(shù)及其運算授課時間：備課時間：教學目標1、負數(shù)的引入是實際的需要理解用正負數(shù)表示相反意義的量.2、知道什么叫負數(shù)、零、正數(shù)。正數(shù)、負數(shù)、零統(tǒng)稱有理數(shù)。3、會對有理數(shù)進行兩種分類。重點、難點1、用正負數(shù)表示相反意義的量.2、會對有理數(shù)進行分類3?；旌线\算考點及考試要求教學內(nèi)容【知識重點】一、重點知識歸納及講解有理數(shù)一、正負數(shù)1. 【正數(shù)】：像+1。8，+420、+30、+10%等帶大于0的數(shù)叫做正數(shù)。為了強調(diào)正數(shù)，前面加上“+”號，也可以省略不寫。2。 【負數(shù)】：像3、 475

2、4、 50、 0.6、 15%小于0的數(shù)叫做負數(shù)。負數(shù)前面的“”號不能省略。3。【零】：既不是正數(shù)也不是負數(shù)，它是正數(shù)與負數(shù)的分界點。判斷：-a 一定是負數(shù)嗎？二、用正負數(shù)表示相反意義的量：1. 判斷下列表述是否是相反意義的量(1) 氣溫零上5C表示為+5C ,那么-3 C表示(2) 購進50斤蘋果與賣出-50斤蘋果.2. “某種機器零件規(guī)定其直徑誤差不得超過0。8mm這是什么意思？三、有理數(shù)及其分類：1. 【定義】：整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)(注意：所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化為分數(shù)。)(1)按定義分類:(2)按性質(zhì)符號分類:正有理數(shù)正整數(shù)正分數(shù)有理數(shù)負整數(shù)有理數(shù)0分數(shù)正分數(shù)負分數(shù)負有理

3、數(shù)負整數(shù)負分數(shù)正整數(shù)整數(shù)0個.-6。例1小明寫作業(yè)時不慎將墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中的數(shù)值，判定墨跡蓋住部分的整數(shù)共有-6例請把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中7 c 17，-9.25,，2-,75% ,31.25 , - ( 6.5 ), 152負數(shù)集合： 非負數(shù)集合： 整數(shù)集合： 分數(shù)集合：【變式訓練】將下列各有理數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：8, 6,4 ,0, 27 ,0.36,1.78 , n37整數(shù)：分數(shù)：正數(shù)：負數(shù)：通常把正整數(shù)和零統(tǒng)為非負數(shù) ；負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，即為自然數(shù)；負整 數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù).3、數(shù)軸(1 )數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度 的直線叫做

4、數(shù)軸. 注意：數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸； 數(shù)軸有三要素：原點、正方向、單位長度三者缺一不可； 原點的位置、正方向的取向、單位長度的大小的選定，都是根據(jù)實際需要而定的。(2 )數(shù)軸與數(shù)的關(guān)系 任意一個有理數(shù)， 都可以用數(shù)軸上的一點表示，但數(shù)軸上的一點不一定表示有理數(shù)，它可能表示無理數(shù)。 數(shù)軸上的數(shù)，左邊的數(shù)總要小于右邊的數(shù)。正數(shù)0,負數(shù)v 0,正數(shù)負數(shù)。 負數(shù)絕對值(數(shù)字)越大，數(shù)值越小。【變式訓練】a, b是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如下圖所示: 把a, a,b, b按照從小到大的順序排列()(A) bv a v a v b(C) b v a v a v b(B) a v b

5、 v b v a(D) a v b v a v b相反數(shù)IA c1. 概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫相反數(shù)；在任意一個數(shù)的前面添上一個“-”號，就變?yōu)檫@個數(shù)的相反數(shù) 2。 一般地，a和-a互為相反數(shù)，特別的，0的相反數(shù)是0?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)的和為零；相反，若兩個數(shù)的和為零， 則這兩個數(shù)互為相反數(shù) 即:若a,b互為相反數(shù),則a+b=0 ;若a+b=0，則a， b互為相反數(shù)。牢記：正數(shù)的相反數(shù)是，負數(shù)的相反數(shù)是，相反數(shù)等于它本身的數(shù)是。3、 相反數(shù)的代數(shù)意義:a>0時，a _0； a0時，a ; a = 0時，a 0。( a可以代表任意有理數(shù)) 相反數(shù)的幾何意義：表示互為相反數(shù)的兩個點位于原

6、點的且到原點的相等。4.會進行符號化簡( 相反數(shù)是成對出現(xiàn)的,例題：到原點的距離是是5的數(shù)為2)= ; + (+ 2 )= ; (x + y)=；不能單獨存在，單獨的一個數(shù)不能說是相反數(shù)；不能理解為只要符號不同的兩個數(shù)就互為相反數(shù)，只有符合不同的兩個數(shù)是說除了符號不同以外完全相同。絕對值1. 絕對值的幾何定義：在數(shù)軸上，表示一個數(shù) a的點到原點的距離叫做這個數(shù)a的絕對值，記作|a |2。 絕對值的代數(shù)定義：一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0a (a 0)也就是說，任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，即罔 0, |a|0 (a 0)a (a 0)3。絕對值的有關(guān)

7、性質(zhì)(1)對任意有理數(shù)a，都有| a| >0;(2)若|a|=0，貝U a=0;(3) 若 | a | = | b|，貝U a=b 或 a= b; (4 )若 |a | =b(b>0 )，則 a=± b;4 5 5 55 687(5)若 | a| +| b | =0,則 a=0 且 b=0;(6)對任意有理數(shù) a，都有 | a | =| a |。例1:利用絕對值比較大?。簝蓚€負數(shù)，絕對值大的反而小1彳,11,11 , ,11-11 + 1 -+ 1 1 + + 12324310099例2 :計算|【變式訓練】1. 若a與b的絕對值分別為2和5,且數(shù)軸上a在b左側(cè)，貝U a

8、+b的值為.2。 若用A B、C分別表示有理數(shù) a、b、c, 0為原點如圖所示。已知a c<0, b>0.化簡 c+ | a+b | + | cb | - | ca | =.倒數(shù)乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)倒數(shù)的求法：求一個整數(shù)的倒數(shù)，直接可寫成這個數(shù)分之一；求一個分數(shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母顛倒即可；分母顛倒；求一個小數(shù)的倒數(shù),3,計算(2a+3c) b=求一個帶分數(shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將帶分數(shù)化成假分數(shù)，再將分子、 應(yīng)先將小數(shù)化成分數(shù)，然后再求倒數(shù)。只有零沒有倒數(shù)，其他任何有理數(shù)都有倒數(shù)正數(shù)的倒數(shù)為正數(shù),負數(shù)的倒數(shù)為負數(shù)，即互為倒數(shù)的兩個數(shù)符號 有理數(shù)的混合運算先乘方，后乘除，最后加減

9、；有括號時，先算括號里面的；同級運算按從左至右的順序進行，同時注意運算律的靈活應(yīng)用。進行有理數(shù)的混合運算時，應(yīng)注意：一是要注意運算順序，先算高一級的運算，再算低一級的運算；二是要注意觀察，靈活運用運算律進行簡便運算，以提高運算速度及運算能力（說明：加減是一級運算，乘除是二級運算，乘方是三級運算。）例1.已知a是最小的正整數(shù)，b的相反數(shù)比它本身大 2, c比最大的負整數(shù)大例20.751(3；) 94(0.125)5(8)0.125例3光譜數(shù)據(jù)9 162536,的下一個數(shù)據(jù)是5，12，21，32【變式訓練】1。觀察下面一列數(shù)的規(guī)律并填空:0 , 3, 8, 15, 24,匕廠 1）十（1 - 0

10、電-了 7飛- 20 X （-1嚴2.44Jj近似數(shù)、有效數(shù)字與科學計數(shù)法科學計數(shù)法：把一個數(shù)記作a x 10n形式（其中1 < a <10, n為整數(shù)，且n等于等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1。）近似數(shù)：一個與實際數(shù)比較接近的數(shù)，稱為近似數(shù)。有效數(shù)字：對于一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字開始，到精確到的數(shù)字止，都是這個近似數(shù)的有效數(shù)字。例：指出下列各近似數(shù)精確到哪一位，各有幾位有效數(shù)字(1)17.68 ( 2)23 (3)0。360(4)1。670 萬(5)5.18 105二、典型例題1 1 1111 222 3 2 3111，3 434將以上三個等式兩邊分別相加得:11 1,111

11、1111 1 1 22 33 422 3344例1觀察下列等式34(1)猜想并寫出：1n(n 1)(2)直接寫出下列各式的計算結(jié)果:12006 2007 _1_n(n 1)(3)探究并計算12006 2008計算:【變式訓練】2006 2007例2:已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A、B、C（如圖）?；哸 a D c bA -aB.bco c分析：“在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，0。解答：由數(shù)軸知,a 0,a-b 0, c-b>0所以，a a b |c b = a （ a-b）111例3:計算：11一1一.11009998分析：本題看似復(fù)雜，其實是紙老虎，只要你敢計算9

12、9 9897211解答：原式=一一一-=100 999832100大數(shù)減小數(shù)是正數(shù)，小數(shù)減大數(shù)是負數(shù)，可得到ab<0、c-b >+ （c b）= a-a+b+c-b= _2a+c1 1 I32氫,馬上就會發(fā)現(xiàn)其中的技巧，問題會變得很簡便。234181920例 4 計算：2 2 2 -2 -2 2 +2 .分析本題把每一項都算出來再相加，顯然太麻煩怎么讓它們“相互抵消”呢？我們可先從最簡單的情況考慮。23222342323222-2 +2 =2+2 (-1+2 ) =2+2=6.再考慮 2 2 2 +2 =2-2 +2 ( 1+2) =2 2 +2 =2+2 ( 1+2) =2+2=

13、6。這怎么又等于6 了呢？是否可以把這種方法應(yīng)用到原題呢？顯然是可以的。解 原式=2-22 23 24218+219(-1+2)2341819=2-2 2 2 -2 +22341718=2-2 2 -2 -2 +2 (-1+2)=2-2 2 23-2 4-2 仃+21823=22 +2 =6【課堂練習】一、選擇題1在有理數(shù)中，倒數(shù)等于本身的數(shù)有（）A、1個B、2個 C、3個D、無數(shù)個2、在下列說法中，正確的個數(shù)是（）任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示任何有理數(shù)的絕對值都不可能是負數(shù)每個有理數(shù)都有相反數(shù)每個有理數(shù)都有倒數(shù)A、 4B、 3C、 2D、 13、下列說法正確的是（）A、正數(shù)與負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)B、帶負號的數(shù)是負數(shù)C、正數(shù)一定大于0D、最大的負數(shù)是14、 在數(shù)軸上，原點兩旁與原點等距離的兩點所表示的數(shù)的關(guān)系是（）A、相等B、互為相反數(shù)C、互為倒數(shù)D、不能確定5、 如果一個數(shù)的相反數(shù)比它本身大，那么這個數(shù)為（）A、正數(shù)B、負數(shù)C、非負數(shù)D、不等于零的有理數(shù)6.右a b0,ab 0 ,那么下面正確的是()A 、a0,b0B、a 0, b 0C、a0,b0D、a 0,b07.若a ba，則b是（）A 、正數(shù)B、負數(shù)C、整數(shù)D、任意有理數(shù)8如果一