2018版高考數(shù)學一輪復習第十二章推理與證明、算法、復數(shù)12.3推理與證明、算法、復數(shù)真題演

1、L課外拓展閱讀歸納、猜想、證明典例2016 江西九江模擬設數(shù)列勿的前n項和為S,并且滿足 2S=an+n,an0(n(1) 猜想an的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明；(2) 設x0,y0,且x+y= 1，證明：anx+1 + , any+ 1w,2n+?.審題視角(1)將n= 1,2,3 代入已知等式得 a,a2, &，從而可猜想an,并用數(shù)學歸納 法證明.(2)利用分析法，結合x0,y0,x+y= 1，利用基本不等式可證.(1) 解分別令n= 1,2,3，得2a1= ai +1丄2 a1+a2=a2+ 22 a*1+a2+a3=a3+ 3,an0,.a1= 1,a2= 2,a3=

2、3.猜想：an=n.2Sn=an+n,2當n時，2 S1=an-1+ (n 1).2 2，得 2an=anan-1+1 ,即an= 2an+an1 1.2 2(i)當n= 2 時，a2= 2a2+ 1 1,v比0,.a2= 2.(ii)假設當n=k(k2)時，ak=k,那么當n=k+ 1 時，ak+1= 2ak+1+ak 1 = 2ak+1+k 1,. ak+1 (k+ 1)ak+1+ (k 1) = 0,ak+10,k2,.ak+1+ (k 1)0 ,ak+1=k+ 1.即當n=k+ 1 時也成立.二an=n(n2).顯然n= 1 時，也成立，故對于一切n N*，均有an=n.(2) 證明要

3、證，nx+ 1 +,ny+ 1 2n+?,只要證nx+ 1 + 2 冷nx+1ny+1 +ny+1 2(n+ 2).即n(x+y) + 2+ 2n2xy+n x+y+ 12(n+ 2),將x+y= 1 代入，得 2n2xy+n+ 1n+ 2,22即只要證 4(n xy+n+1) (n+ 2),即 4xyo,y0,且x+y= 1,1 、即xyw4，故 4xywi成立，所以原不等式成立.答題模板第 1 步：尋找特例ai,a2,a3等.第 2 步：猜想an的公式.第 3 步：轉換遞推公式為an與an1的關系.第 4 步：用數(shù)學歸納法證明an.1驗證遞推公式中的第一個自然數(shù)n= 2.2推證ak+1的表達式為k+ 1.3補驗n=1,說明對于n N 成立.第 5 步：分析法證明.方法點睛(1)利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納一一猜想一一證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹 推理論證結論的正確性.(2) 為了正確地猜想an，首先準確求出 a,a2,a3的值.(3) 證明n=k到n=k+ 1 這一步時，忽略了假設條件去證明，造成不是純正的數(shù)學歸納法.如本題：2S1-1=an-1+n 1, 2($T)=an一an1+ 1，推導an與 ai1的遞推關系, 再推出an,則不是數(shù)