第八節(jié)定積分幾何應(yīng)用ppt課件

1、第八節(jié)第八節(jié) 定積分的幾何運用定積分的幾何運用 平面圖形的面積平面圖形的面積 體積體積 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 小結(jié)小結(jié)回想回想 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下（1）把區(qū)間）把區(qū)間,ba分成分成n個長度為個長度為ix 的小區(qū)間，的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為相應(yīng)的曲邊梯形被分為n個小窄曲邊梯形， 第個小窄曲邊梯形， 第i 小窄曲邊梯形的面積為小窄曲邊梯

2、形的面積為iA ，則，則 niiAA1.（2）計計算算iA 的的近近似似值值iiixfA )( iix 3 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy 4 求極限，得求極限，得A的準(zhǔn)確值的準(zhǔn)確值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小區(qū)間表示任一小區(qū)間,xxx 上的窄曲邊梯形的面積，上的窄曲邊梯形的面積，則則 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素當(dāng)當(dāng)所所求求量量U符符合合下下列列條條件件：（1）U是是與與一一個個變變量量x的

3、的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（2）U對對于于區(qū)區(qū)間間 ba,具具有有可可加加性性，就就是是說說，如如果果把把區(qū)區(qū)間間 ba,分分成成許許多多部部分分區(qū)區(qū)間間，則則U相相應(yīng)應(yīng)地地分分成成許許多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；就就可可以以考考慮慮用用定定積積分分來來表表達(dá)達(dá)這這個個量量U元素法的普通步驟：元素法的普通步驟：1）根根據(jù)據(jù)問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個個變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba；2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)

4、間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達(dá)達(dá)式式.這個方法通常叫做元素法這個方法

5、通常叫做元素法運用方向：運用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等功；水壓力；引力和平均值等xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)系情形、直角坐標(biāo)系情形xxxx x 例例 1 1 計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線xy 2和和2xy 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxd

6、A)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 計計算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 闡明：留意各積分區(qū)間上被積函

7、數(shù)的方式闡明：留意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的方式問題：問題：積分變量只能選積分變量只能選 嗎？嗎？x例例 3 3 計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy假設(shè)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程假設(shè)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或

8、2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).例例 4 4 求橢圓求橢圓12222 byax的面積的面積.解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( r及射線及射線 、 圍成一曲邊扇圍成一曲邊扇形，求其面積這里，形，求其面積這里，)( 在在, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 dA 2、極

9、坐標(biāo)系情形、極坐標(biāo)系情形)( r例例 5 5 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積.解解由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A例例 6 6 求求心心形形線線)cos1( ar所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用對稱性知利用對稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒

10、這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺二、體積二、體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xy

11、o旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy y例例 1 1 連連接接坐坐標(biāo)標(biāo)原原點點O及及點點),(rhP的的直直線線、直直線線hx 及及x軸軸圍圍成成一一個個直直角角三三角角形形將將它它繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成一一個個底底半半徑徑為為r、高高為為h的的圓圓錐錐體體，計計算算圓圓錐錐體體的的體體積積r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP以以dx為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積為dxxhrdV2 圓錐體的體積圓錐體的體積dxx

12、hrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoa aoyx例例 2 2 求求星星形形線線323232ayx )0( a繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積dxxaVaa33232 .105323a 類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(yx 、直線、直線cy 、dy 及及y軸所圍軸所圍成的曲邊梯形繞成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為體積為xyo)(yx cddyy2)( dcV例例 3 3 求擺線求擺線)sin(ttax ，)co

13、s1(tay 的一拱與的一拱與0 y所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞x軸、軸、y軸軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積可可看看作作平平面面圖圖OABC與與OBC分分別別繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積之之差差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)si

14、n(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 補充補充 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為dxxfxVbay| )(|2 利用這個公式，可知上例中利用這個公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 例例 4 4 求由曲線求由曲線24xy 及及0 y所圍成的圖形所圍成的圖

15、形繞直線繞直線3 x旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMxoab2、平行截面面積為知的立體的體積、平行截面面積為知的立體的體積xdxx 假設(shè)一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立假設(shè)一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算個立體的體積也可用定積分來計算.)(xA表表示示過過點點x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，

16、)(xA為為x的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積例例 5 5 一一平平面面經(jīng)經(jīng)過過半半徑徑為為R的的圓圓柱柱體體的的底底圓圓中中心心，并并與與底底面面交交成成角角 ，計計算算這這平平面面截截圓圓柱柱體體所所得得立立體體的的體體積積.RR xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 例例 6 6 求以半徑為求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓

17、的圓為底、平行且等于底圓半徑的線段為頂、高為半徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積的正劈錐體的體積.解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是曲線弧上的兩是曲線弧上的兩個端點，在弧上插入分點個端點，在弧上插入分點BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點點得得一一內(nèi)內(nèi)接接折折線線，當(dāng)當(dāng)分分點點的的數(shù)數(shù)目目無無限限增增加加且且每每個個小小弧弧段段都都

18、縮縮向向一一點點時時，此此折折線線的的長長|11 niiiMM的的極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限為為曲曲線線弧弧AB的的弧弧長長.三、平面曲線的弧長三、平面曲線的弧長 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoyabxdxx 取積分變量為取積分變量為x，在，在,ba上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長 dy小小切切線線段段的的長長22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21 弧長弧長.12dxysba 1、直角坐標(biāo)情形、直角坐標(biāo)情形例

19、例 1 1 計計算算曲曲線線2332xy 上上相相應(yīng)應(yīng)于于x從從a到到b的的一一段段弧弧的的長長度度.解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例 2 2 計計算算曲曲線線 dnynx 0sin的的弧弧長長)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)

20、續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長弧長.)()(22dttts 2、參數(shù)方程情形、參數(shù)方程情形例例 3 3 求求星星形形線線323232ayx )0( a的的全全長長.解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 例例 4 4 證證明明正正弦弦線線xaysin )20( x的的弧弧長長等等于于橢橢圓圓 taytxsin1cos2 )20( t的的周周長長.證證設(shè)正弦線的弧長等于設(shè)正弦線的弧長等于1sdxys 202

21、11dxxa 2022cos1設(shè)設(shè)橢橢圓圓的的周周長長為為2s,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根據(jù)橢圓的對稱性知根據(jù)橢圓的對稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022cos12曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其其中中)( 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長弧長.)()(22 drrs 3、極坐標(biāo)情形、極坐標(biāo)情形例例 5 5 求求極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下曲曲線線33sin ar的的長長. .)0( a解解

22、 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar )0( a上上相相應(yīng)應(yīng)于于 從從0到到 2的的弧弧長長.解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程方式求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程方式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.留意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化留意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算積分運算四、小結(jié)四、小結(jié)旋轉(zhuǎn)體

23、的體積旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為知的立體的體積平行截面面積為知的立體的體積 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下弧微分的概念弧微分的概念求弧長的公式求弧長的公式 思索題思索題 設(shè)曲線設(shè)曲線)(xfy 過原點及點過原點及點)3 , 2(，且，且)(xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線取一點作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與與x軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積是另一條平圍成的面

24、積是另一條平行線與行線與y軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積的兩圍成的面積的兩倍，求曲線方程倍，求曲線方程.思索題解答思索題解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時對兩邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo)xyxyxf 22)(3yyx 2積分得積分得,2cxy 因因為為曲曲線線)(xfy 過過點點)3 , 2(29 c,292xy 因因為為)(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 6 6 曲曲線線2xy 與與它它兩兩條條相相互互垂垂直直的的切切線線所所圍圍成成平平面面圖圖 形形的的面面積積S，其其中中一一條條切切線線與與曲曲線線相相切切于于點點 ),(2aaA，0 a，則則當(dāng)當(dāng) a_ _ _時時，面面積積S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：1 1、xy1 與直線與直線xy 及及2 x；