函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問(wèn)題解題技巧

1、臨沂市高三二輪會(huì)材料函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問(wèn)題解題技巧函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問(wèn)題解題技巧新課標(biāo)下的高考越來(lái)越重視考查知識(shí)的綜合應(yīng)用， 恒成立問(wèn)題涉及方程、 不等式、函數(shù)性質(zhì)與圖象及它們之間的綜合應(yīng)用，同時(shí)滲透換元、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，考查綜合解題能力，尤其是在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)的更為明顯，也是歷年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題 , 根據(jù)本人的體會(huì)，恒成立問(wèn)題主要有以下幾種 .一、 利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問(wèn)題例 1 已知函數(shù) f (x) x3 (1 a)x2 a(a 2)x b (a,b R) (1)若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是3,求a,b的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(

2、1,1)上不單調(diào),求a的取值范圍.解： (1) 由題意得 f (x) 3x2 2(1 a)x a(a 2)又 f(0) b f (0) a(a02)，解得 b 0 ， a 3或 a 13(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)不單調(diào)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)f觸)在(1,1)既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)即函數(shù)f觸)在(1,1)上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有f ( 1)f (1) 0, 即：32(1a) a(a2)32(1 a) a(a 2) 0整理得：(a5)(a 1)(a1)20 ,解得5 a 1所以a的取值范圍是a 5 a 1 .【方法點(diǎn)評(píng)】利用函數(shù)的性質(zhì)解決包成立問(wèn)題，主要是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)

3、用，函數(shù) 在給定的區(qū)間上不單調(diào)意味著導(dǎo)函數(shù)在給定的區(qū)間上有零點(diǎn)， 利用函數(shù)零點(diǎn)的存 在性定理即可解決問(wèn)題.二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決包成立問(wèn)題例2已知x 3是函數(shù)f x aln 1 x x2 10x的一個(gè)極值點(diǎn).(1)求 a ;(2)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)問(wèn)；(3)若直線y b與函數(shù)y f x的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍.【方法指導(dǎo)】(1)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，可以求a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)問(wèn)借助f (x) 0可以求出單調(diào)遞增區(qū)間，f (x) 0可以求出單調(diào)遞減區(qū)間；(3)根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性可以求出其極大值和極小值，畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合可以求出b的取值范圍.解：(1)因?yàn)?f'

4、x 2x 10,所以 f 3- 6 10 0,因此 a 16.1 x4上 .2'2 x2 4x 3(2)由(1)知，f x 16ln 1 x x 10x,x1, f x 1 x當(dāng) x 1,1 U 3, 時(shí)，f x 0;當(dāng) x 1,3 時(shí)，f x 0 .所以f x的單調(diào)增區(qū)間是1,1 , 3, f x的單調(diào)減區(qū)間是1,3 .(3)由(2)知，f x在 1,1內(nèi)單調(diào)增加，在1,3內(nèi)單調(diào)減少，在 3, 上單調(diào)增加，且當(dāng)x 1或x 3時(shí)，f x 0所以f x的極大值為f 1161n 2 9,極小值為f 3 32ln 2 21因止匕 f 16162 10 16 16ln 2 9 f 1f e2

5、132 1121 f 3所以在f x的三個(gè)單調(diào)區(qū)間1,1 , 1,3 , 3, 直線y b有y f x的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f 3 b f 1因此，b的取值范圍為321n 2 21,16ln2 9 .【方法點(diǎn)評(píng)】數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中?？嫉乃枷敕椒ㄖ?，在有關(guān)取值范圍問(wèn)題、 單調(diào)性問(wèn)題、最值問(wèn)題中體現(xiàn)較明顯，同時(shí)方程的根及函數(shù)零點(diǎn)也可轉(zhuǎn)化為交點(diǎn) 問(wèn)題解決.三、分離參數(shù)解決包成立問(wèn)題例3已知函數(shù)f(x) 1nx a,x(1)當(dāng)a 0時(shí)，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性;(2)若f(x) x2在(1,)上恒成立，求a的取值范圍.【方法指導(dǎo)】(1)通過(guò)判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)解決；(2)由于參數(shù)a是“孤立”

6、的，可 以分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性或最值等解決.解：(1)由題意：f(x)的定義域?yàn)?0,)，且f (x)月 x xQa 0, f (x) 0,故f(x)在(0,)上是單調(diào)遞增函數(shù).(2) f (x) x2, In x a x2又x 0, a xln x x3 x6x 3321令g(x) x 1n x x ,h(x) g (x) 1 In x 3x , h (x) xQh(x)在1,)上是減函數(shù)，h(x) h(1)2,即 g(x) 0,g(x)在1,)上也是減函數(shù)，g(x) g(1)1 .令a 1 得a g(x),.當(dāng)f (x) x2在(1,)恒成立時(shí)，a的取值范圍是aa 1 .【方法

7、點(diǎn)評(píng)】分離參數(shù)是包成立問(wèn)題中的一種重要解題方法，分離參數(shù)后，構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)的最值即可解決包成立問(wèn)題中的參數(shù)取值范圍.四、利用兩個(gè)函數(shù)的最值解決包成立問(wèn)題例4 2014 新課標(biāo)全國(guó)卷I 設(shè)函數(shù)f(x)=aex1n x +星一,曲線y = f(x) x在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程為y = e(x1)+2.(1)求 a b；(2)證明：f(x)>1.解：(1)函數(shù) f (x)的定義域?yàn)?0 , +oo) f'(x) = aexln x+aex-4ex 1+-ex x x x-1.由題意可得 f(1) =2, f' (1) =e,故 a= 1, b=2.x2 x 1x(

8、2)證明：由(1)知，f(x)=eln x+xe ,從而 f(x)>1 等價(jià)于 xln x>xe2一e.設(shè)函數(shù) g(x)=xln x,則 g' (x) = 1+ln x,所以當(dāng) xC (0,1)時(shí)，g' (x)<0；當(dāng) xC(1,)時(shí),g' (x)>0. ee一 .11故g(x)在(0,-)上單調(diào)遞減，在(-，)上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0, +oo) ee一 ，一，11上的最小值為g(1)=1.e e設(shè)函數(shù) h(x) = xe x-2,則 h' (x) =e-x(1 x).所以當(dāng) x (0 , 1)時(shí)， eh' (x)>

9、0；當(dāng) xC (1 , +oo)時(shí)，h' (x)V0.故h(x)在(0 , 1)上單調(diào)遞增，在(1 , +8)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0, 十°°)上的最大值為h(1) =-1.e1因?yàn)?gmin(x) = g() =h(1) =hma(x), e所以當(dāng) x>0 時(shí)，g(x)>h(x),即 f(x)>1.五、不等式中的包成立問(wèn)題2x 1例 5 (2016?山東)已知 f(x) a(x In x) *,a R.x(1)討論f(x)的單調(diào)性；3(2)當(dāng)a 1時(shí)，證明f(x) f (x):對(duì)于任意的x 1,2恒成立.2解：(1) f(x)的定義域?yàn)?

10、0,) , f (x) a a -2 -3 (ax髻一)x xxx當(dāng)a 0時(shí)，若x (0,1),則f(x) 0, f(x)單調(diào)遞增,若x (1,)，則f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減.當(dāng) a 0時(shí)，f (x)注6(x J2)(x J-). xa i a(i)當(dāng) 0 a 2時(shí)，J| 1.當(dāng) x (0,1)或 x (J2,)時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增.當(dāng) x (1,J2)時(shí)，f (x) 0,f(x)單調(diào)遞減.(ii)當(dāng)a 2時(shí)，Jj 1,在區(qū)間(0,)內(nèi)，f (x)0,f(x)單調(diào)遞增.(iii)當(dāng) a 2時(shí)，0 J： 1.當(dāng) x oj)或 x (1,)時(shí)，f (x) 0, f(x)

11、單調(diào)遞增，當(dāng)x (J；,1)時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)a 0時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減;當(dāng)0 a 2時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，；)上單調(diào)遞減，在(J1,)上單調(diào)遞增；當(dāng)a 2時(shí)，”*)在(0,)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a 2時(shí)，f(x)在(0, 、，!)上單調(diào)遞增，在(1)上單調(diào)遞減，在(1 , + 8)上單調(diào)遞增.證明：由知，當(dāng)a 1時(shí)，f (x) f (x) x In x2x 12- x(1In xx 1,2設(shè) g(x) x In x,h(x)312一二二 1,x 1,2,則 f (x) f (x) g(x) h(x). x

12、 xx由 g (x)0,可得g(x) g(1) 1,當(dāng)且僅當(dāng)x 1時(shí)取得等號(hào).3x 2x 6.又h(x) 4.設(shè)(x) 3x 2x 6,則 (x)在1,2上單調(diào)遞減.x因?yàn)?1) 1, (2)10,所以 x0 (1,2),使得當(dāng) x (1,%)時(shí)，(x) 0, x (%,2)時(shí)，(x) 0.所以h(x)h(x)在(1,刈)上單調(diào)遞增，在(x0,2)上單調(diào)遞減.11由 h(1) 1,h(2),可得 h(x) h(2),22當(dāng)且僅當(dāng)x 2時(shí)取得等號(hào).3所以 f(x) f (x) g(1) h(2)23即f(x) f (x) 3對(duì)于任意的x 1,2成立. 2六、利用包成立問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍例6 (

13、2015 北京)已知函數(shù)。(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；求證：當(dāng)時(shí)，；設(shè)實(shí)數(shù)k使得對(duì)恒成立，求k的最大值。解：(1),所以切線方程為(2)原命題造價(jià)于任意，設(shè)函數(shù)，0當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)。，因此任意。3(3)由(2)知，當(dāng)k 2時(shí)，f(x)>k(x 彳)對(duì)xC(0, 1)恒成立.3當(dāng) k>2 時(shí)，令 h(x) =f(x) k(x 圣)，則 3h' (x)=f，(x) k(1 +x2)kx4 (k 2)1 x2所以當(dāng)0<x<故當(dāng)0<x<yi時(shí)，h'(x)<0,因此h(x)在區(qū)間(0,4口：2)上單調(diào)遞減.k2 r幡x3時(shí)，h(x)

14、<h(0) =0,即 f(x)<k(x ).k33所以當(dāng)k>2時(shí)，f(x)>k(x3)并非對(duì)xC(0, 1)恒成立.綜上可知，k的最大值為2.【方法總結(jié)】研究不等式f (x) 0在區(qū)間A上包成立，求其中參數(shù)a的取值范圍問(wèn)題，一般有兩種方法：直接轉(zhuǎn)化為研究帶參數(shù)的動(dòng)態(tài)函數(shù)y f(x)在區(qū)間A上的最小值.由于函數(shù)y f(x)帶有參數(shù)，它在區(qū)間A上的單調(diào)性會(huì)由于參數(shù)a 的不同而變化，因此需要分類(lèi)討論.由于函數(shù) y f(x)的單調(diào)性和其導(dǎo)函數(shù)在區(qū) 間A上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，問(wèn)題最后都?xì)w結(jié)為就函數(shù)y f (x)在區(qū)間A上的零點(diǎn)個(gè) 數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.問(wèn)題(2)中的方法一就是遵循這一思路；是將不等式f(x) 0 作變形，將參數(shù)a和變量x進(jìn)行分離，將不等式轉(zhuǎn)化為h(a) g(x)(或 h(a) g (x),利用極值原理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y g (x)在區(qū)間A上的最大值(或最小值)的問(wèn)題.七、變形構(gòu)造函數(shù)解答包成立問(wèn)題 例7已知函數(shù).(1)求證在區(qū)間(0, 1)上單調(diào)遞減；(2)若不等式是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))對(duì)任意的都成立，求實(shí)數(shù)