線性代數(shù)復(fù)習資料

1、?線性代數(shù)?復(fù)習提綱1 .行列式的定義第一局部：根本要求計算方面用n2 個元素aij 組成的記號稱為n階行列四階行列式的計算；式.N階特殊行列式的計算如有行和、列和相1它表示所有可能的取自不同行不同等；列 的n個元素乘積的代數(shù)和；矩陣的運算包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)2展開式共有n項,其中符號正負各置、逆等的混合運算；半；求矩陣的秩、逆兩種方法；解矩陣方程；2 .行列式的計算含參數(shù)的線性方程組解的情況 的討論；一階a a行列式,二、三階行列式有對角 線法那么；齊次、非齊次線 性方程組的求解包括唯一、無窮多解；N階ngt3行列式的計算：降階法討論一個向量能否用和向量組線性表示；定理：n階行列式的值

2、等于它的任意一行列的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積討論或證實向量組的相關(guān)性； 的和.求向量組的極大無關(guān)組,并將多余向量用極方法：選取比擬簡單的一行列,保保大無關(guān)組線性表示；留一個非零元素,其余元素化為0,利用定 理展開降階.將無關(guān)組正交化、單位化；特殊情況求方陣的特征值和特征向量；上、下三角形行列式、對角形行列式的值等討論方陣能否對角化, 如能,要能寫出相 似 于主對角線上元素的乘積；變換的矩陣及對角陣；2行列式值為0的幾種情況：通過正交相似變換正交矩陣將對稱矩陣對角化；I行列式某行列 元素全為0;寫出二次型的矩陣,并將二次型標準化,寫 II行列式某行列 的對應(yīng)元素相同；出變換矩陣；m行列式某

3、行列的元素對應(yīng)成比例；判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性.IV奇數(shù)階的反對稱行列式.第二局部：根本知識 二.矩陣一、行列式1 .矩陣的根本概念表示符號、一些特注意順序殊矩陣一一如單位矩陣、對角、對稱矩陣等；3可逆的條件：2.矩陣的運算 Aw0;rAnA-gtI 1加減、數(shù)乘、乘法運算的條件、結(jié)果；4逆的求解2關(guān)于乘法的幾個結(jié)論：伴隨矩陣法A-11/AA ; A A的伴 隨矩陣矩陣乘法一般不滿足交換律假設(shè) AB=BA,稱A、B是可交換矩陣； 初 等變換法A:I -gt施行初等變換I:A-1 矩陣乘法一般不滿足消去律、 零因式不存在；5 .用逆矩陣求解矩陣方程：假設(shè) A、B為同階方陣,那么ABAB AX

4、B 貝U X A-1 B;kAknA XBA 貝U XBA-1 ; 3 .矩陣的秩 AXBG 貝U XA-1CB-1 三、線性方程組1定義非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；1 .線性方程組 解的判定2秩的求法 一般不用定義求,而用下面結(jié)論：定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩1 rAbwrA無解；陣的秩等于非零行的個數(shù)每 行的第一個非零元所在列,從此元開始往下全為0的矩陣2 rAbrAn有唯一解；稱為行階梯陣.3rAbrAltn 有無窮多組解；求秩：利用初等變換將矩陣化為 階梯陣得秩.特別地：對齊次線性方程組AX0 4.逆矩陣1 rAn只有零解；1 定義：A、B為n階方陣,假設(shè)AB= 2

5、 rAltn 有非零解；BA= I ,稱A可逆,B是 A的逆矩陣滿足；半邊也成立再特別,假設(shè)為方陣,2性質(zhì)：AB-1B-1A-1 , 1AW0只有零解A-1A-1 ; A B的逆矩陣,你懂的2A0有非零解 有克萊姆法那么、 逆矩陣法、消元法初等 變換法.2.齊次線性方程組 四、向量組1解的 情況：1 . N維向量的定義rAn,或系數(shù)行列式 A0只有零解； 注：向量 實際上就是特殊的矩陣行矩陣和或系數(shù)行列式D = 0有無窮多組rAltn ,列矩陣.非零解.2 .向量的運算：2解的結(jié)構(gòu)：1加減、數(shù)乘運算與矩陣運算相同；Xc1a 1c2a 2Cn-r a n-r. 2 向 量內(nèi)積3求解的方法和步驟：

6、a B a1b1a2b2anbn；將增廣矩陣通過行初等變換化為 最簡3向量長度階梯陣；民7民民7 a12a22an2,寫出對應(yīng)同解方程組；根號移項,利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；4向量單位化1/ a a ;表示出根底解系；5向量組的正交化施密特方法寫出通解.設(shè)al, a 2,a n線性無關(guān),那么3.非齊次線性方程組 B1a1, 1解的情況： B2a2- a 2 0 1/01 0 0 1,利用判定定理. 0 3a 3 - 0 1-a3 0 1/0 1 0 1a 3 0 2/0 2 0 2 0 2, .2解的結(jié)構(gòu)：3.線性組合 Xuc1a 1c2a 2Cn-r a n-r.1定義假設(shè) 0k1a1k

7、2a 2-kna n,3無窮多組解的求解方法和步驟：那么稱B是向量組a1, a 2,an的一個線 性組合,或稱B可以用向量組 a 1, a 2,與齊次線性方程組相 同.an的一個線性表示.4唯一解的解法：2判別方法 將向量組合成矩陣,記A= a 1, a 2 ,n n, Ba 1, a 2,n n0五、矩陣的特征 值和特征向量假設(shè)r Ar B,那么B可以用向量組 a1, a 1.定義 對方陣A,假設(shè) 存在非零向量X和2,an的一個線性表示； 數(shù) 入使AX=X,那么稱 入 是矩陣A的特征值,向量X稱為矩陣A的對應(yīng)于特征值 人的特征假設(shè)r Awr B,那么B不可以用向量組 a1,向量.a 2,a

8、n的一個線性表示. 2.特征值和特征向量的求解：3求線性表示表達式的方法：求出特征方程XI-A0的根即為特征值, 將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯 將特征值 入代入對應(yīng)齊次線性方程組陣,那么最后一列元素就是表示的系數(shù).入I-AX= 0中求出方程組的所有非零解即為 特征向量.4,向量組的線性相關(guān)性3 .重要結(jié) 論：1線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義 1 A可逆的充要條件是A的特征值不 等設(shè)k1 a 1k2a2 - kna n0, 于0;假設(shè)k1k2,kn不全為0,稱線性相關(guān)；A2與A的轉(zhuǎn)置矩陣A有相同的特征值； 假設(shè)k1k2,kn全為0,稱線性無 關(guān).3不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān).2判別方法：六

9、、矩陣的 相似r a1, a 2,a nltn ,線性相關(guān)；1 .定義對同階方陣A、B,假設(shè) 存在可逆矩 陣P,使P-1APB,那么稱A與B相似.ra1, a 2,a nn,線 性無關(guān).2. A與對角矩陣A相似的方法與步驟 求求假設(shè)有n個n維向 量,可用行列式判別：P和A ： n階行列式aij =0,線性相關(guān)W0無關(guān) 求出所有特征值；行列式太不好打了 求出所有特征向量；5.極大無關(guān)組與向量 組的秩 假設(shè)所得線性無關(guān)特征向量個數(shù)與矩陣階數(shù)1定義 極大無關(guān)組所含向 量個數(shù)稱為 相同,那么A可對角化否那么不能對角化,向量組的秩 將這n個 線性無關(guān)特征向量組成矩陣即為 相似變換的矩陣P,依次將對應(yīng)特征

10、值構(gòu)成2 求法設(shè)A=a1, a 2,an,將對角陣即為A.A化為階梯陣,那么A的 秩即為向量組的秩,而每行的第一個非零元所在列的向量就構(gòu) 3.求通過正交變 換Q與實對稱矩陣A相似成了極大無關(guān)組.的對角陣：置、逆等的混合運算； 方法與步驟和一般矩陣相同,只是第三步要將所得特征向量正交化且單位化.求矩陣的秩、逆兩種方法；解矩陣方程；七、二次型含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論；n齊次、非齊次線性方程組的求解包括唯一、無窮多解；1.定 義n元二次多項式fx1x2,xnEaijxixj 稱為二次型假設(shè) aij0i wj ,那么稱為 二 討論一個向量能否用和向量組線性表示； 交型的標準型. 討論或證實向量

11、組 的相關(guān)性；ij1求向量組的極大無關(guān)組,并將多余向量用極 2,二次型標準化： 大無關(guān)組線性表示；配方法和正交變換法.正交變換法步驟與 將無關(guān)組正交化、 單位化；上面對角化完全相同,這是由于對正交矩陣 Q Q-1Q即正交變換既是 相似變換又 求方陣的特征值和特征向量；是合同變換.討論方陣能否對角化,如能,要能寫出相似3.二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性：變換的矩陣及對角陣；1定義略； 通過正交相似變換正交矩陣將對稱矩陣對角化；2正定的充要條件： 寫出二次型的矩陣,并將二次型標準化,寫 A為正定的充要條件是A的所有特征值都 出變換矩陣；大于0;判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的 正定性.A為正定的充要條件是A的所有

12、順序主子式都大于0;第二局部： 根本知識?線性代數(shù)?復(fù)習提綱第一局部：根本要求計算方面一、行列式四階行列式的計算；1 .行列式的定義N階特殊行列式的計算如有行和、列 和相用n2個元素aij組成的記號稱為n階行列等；式.矩陣的運算包 括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn) 1它表示所有可能的取自不同行不同列的 n個 元素乘積的代數(shù)和；2關(guān)于乘法的幾個結(jié)論：2展開式共有n項,其中符號正負各半；矩陣乘法一般不滿足交換律假設(shè) AB=BA,稱A、B是可交換矩陣；2.行列式的計算 矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存一階 a a行列式,二、三階行列式有對角在；線法那么； 假設(shè)A、B為同階方陣,那么ABAB N階ngt3

13、行列式的計算：降階法 kAknA定理：n階行列式的值 等于它的任意一行列的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積 3.矩陣的秩的和.1定義非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣 方法：選取比擬簡單的一行列, 保保 的秩；留一個非零元素,其余元素化為 0,利用定理展開降階.2秩的求法 一般不用定義求,而用 下面結(jié)論：特殊情況 矩陣的初等變換不改變矩 陣的秩；階梯形矩上、下三角形行列式、對角形行列式的值等陣的秩等于非零行的個數(shù)每行的第一個非于主對角線上元素的乘積；零元所在列,從此元開始往下全為0的矩陣 稱為行階梯陣.2行列式值為0的幾種情況：求秩： 利用初等變換將矩陣化為階梯陣得I行列式某行列元素全為0；秩.n行列式

14、某行列的對應(yīng)元素相同；4 .逆矩陣出行列式某行列的元素對應(yīng)成比例；1定義：A、B為n階方陣,假設(shè)AB= BA=I ,稱A可逆,B是A 的逆矩陣滿足IV奇數(shù)階的反對稱行列式.；半邊也成立二.矩陣2性質(zhì)：AB-1B-1A-1 , A-1A-1 ; A B的逆矩陣,你懂的1 .矩陣的根本概念表 示符號、一些特注意順序殊矩陣一一如單位矩陣、對角、對稱矩陣等；3 可逆的條件：2 .矩陣的運算 AW0;rAnA-gtI 1加減、數(shù)乘、乘 法運算的條件、結(jié)果；4逆的求解伴隨矩陣法 A-11/AA ; A A的伴或系數(shù)行列式D = 0有無窮多組rAltn ,隨矩陣 非零解. 初等變換法A:I -gt 施行初等

15、 變換 2解的結(jié)構(gòu)：I:A-1 Xc1a1c2a2 - Cn-ran-r 0 5.用逆 矩陣求解矩陣方程：3求解的方法和步驟：AXB那么X A-1 B;將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡 XBA那么XBA-1 ;階梯陣；AXBC那么XA-1CB-1 寫出對應(yīng)同解方程組；三、線性方程組 移項,利用自由未知數(shù)表示所有未知 數(shù)；1.線性方程組解的判定 表示出根底解系；定理：寫出通解.1 rAbwrA 無解；3 .非齊次線性方程組2 rAbrAn有唯一解；1解的情況：3rAbrAltn 有無窮多組解； 利用判定定理.特別地：對齊次線性方程組 AX0 2解的結(jié) 構(gòu)：1 rAn只有零解； Xuc1a 1c2

16、a 2Cn-r a n-r.2 rAltn 有非零解；3無窮多組解的求解方法和步驟：再特別,假設(shè)為方陣,與齊次線性方程組相同.1AW0只有零解4唯一解的解法：2A0有非零解 有克萊姆法那么、逆矩陣法、 消元法初等變換法.2.齊次線性方程組 四、向量組1解的情況：1 . N 維向量的定義rAn,或系數(shù)行列式 A0只有零解；注：向量實際上就是特 殊的矩陣行矩陣和 a 2,a n的一個線性表示.列矩陣.3求線性表示表達式的方法：2,向量的運算：將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯1加減、數(shù)乘運算與矩陣運算相同；陣,那么最后一列元素就是表示的系數(shù).2 向 量內(nèi)積4 .向量組的線性相關(guān)性 a B a1b1

17、a2b2anbn；1線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義3向量長度 設(shè)k1 a 1k2a2 - kna n0,a,a a,a12a22an2,根號 假設(shè)k1k2,kn不全為0,稱線性相關(guān)；4 向量單位化1/a a ;假設(shè)k1k2,kn全為0,稱線性無關(guān).5向量組的正 交化施密特方法2判別方法：設(shè)a1, a 2,an線性無關(guān),那么 r a 1, a 2,n nlt n,線性相關(guān)；01a1, r a 1, a 2,n nn,線性無關(guān).B 2a 2- a 2 0 1/0 1 0 0 1,假設(shè)有n個n維向量,可用行列 式判別：B 3a 3- Bl- a 3 0 1/0 1 B 1 a 3 0 2/0 2 0 2 n 階 行列式aij =0,線性相關(guān)WO無關(guān)B 2, .行列式太不好打了 3.線性組合5 .極大無關(guān)組與向量組的秩1定義 假設(shè)Bk1a1k2a 2 - kna n, 1 定義 極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為那么稱B是向量組a 1, a 2,an的一個線 向量組的秩性組合,或稱 B可以用向量組 a1, a 2,a n的一 個線性表示.2求法設(shè)A=a1, a 2,a n