有限字長效應(yīng)對信號處理的影響分析

1、前言有限字長效應(yīng)對信號處理的影響分析華東理工大學(xué) 東方賤人退款是幾個意思1 前言1.1 有限字長效應(yīng)和它產(chǎn)生的原因數(shù)字信號處理中，信號的數(shù)值、系統(tǒng)的參數(shù)、運(yùn)算中的變量以及運(yùn)算結(jié)果都需要用二進(jìn)制編碼來表示。但由于受到 A/D 轉(zhuǎn)換器位數(shù)、寄存器位數(shù)和運(yùn)算字長等的限制，所以二進(jìn)制碼是有限字長的。必須用有限長的二進(jìn)制數(shù)來表示無限精度的十進(jìn)制數(shù)，有限字長效應(yīng)所帶來的誤差現(xiàn)象，我們把這種誤差現(xiàn)象稱為有限字長效應(yīng)。在數(shù)字系統(tǒng)中有限字長效應(yīng)產(chǎn)生的原因：（1） A/D 變換器中的有限字長效應(yīng)，即把模擬輸入信號變?yōu)橐唤M離散電平信號時所產(chǎn)生的有限字長效應(yīng)。A/D 變換包括抽樣和量化兩個過程,抽樣是指使用“抽樣器”

2、從連續(xù)信號中“抽取”信號的離散序列樣值，把這種信號稱之為“抽樣”信號,抽樣信號在時間上具有離散化特性，但由于它還并不是真正的數(shù)字信號，還必須經(jīng)過量化編碼的過程才能真正地轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號。簡單來講就是要將模擬信號抽樣和量化，讓它轉(zhuǎn)變成為具有一定字長的數(shù)字序列值的信號。（2）濾波器系數(shù)的有限字長效應(yīng)，在數(shù)字系統(tǒng)濾波器系數(shù)的量化處理過程中，用有限位二進(jìn)制數(shù)來表示，就必定會帶來有限字長效應(yīng)。對于不同結(jié)構(gòu)類型的數(shù)字濾波器來說，它的極點(diǎn)和零點(diǎn)位置在數(shù)字濾波器中的系數(shù)變化將不一樣。因有限字長效應(yīng)在數(shù)字濾波器系數(shù)中帶來的任何微小變化，都極有可能對數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性造成巨大的影響，對于在單位圓內(nèi)并且非?？拷?/p>

3、單位圓的極點(diǎn)來說，有限字長效應(yīng)在數(shù)字濾波器中系數(shù)的誤差影響，就會讓這些極點(diǎn)移動到單位圓上或者單位圓外，因而數(shù)字濾波器的原有穩(wěn)定性就失去了。（3）運(yùn)算過程中的有限字長效應(yīng)所帶來的誤差。在數(shù)字運(yùn)算過程中，為了限制位數(shù)而進(jìn)行尾數(shù)處理和為了防止溢出進(jìn)而壓縮信號電平的有限字長效應(yīng)，這其中就有低電平的極限環(huán)振蕩效應(yīng)和溢出振蕩效應(yīng)。 以上三種誤差都與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式、數(shù)的表達(dá)方法、和所采用的運(yùn)算方式、字的長短和尾數(shù)的處理有關(guān)。 研究有限字長效應(yīng)目的：（1） 當(dāng)數(shù)字信號的處理過程在計算機(jī)上實現(xiàn)時，它的字長是已經(jīng)固定的了，對它進(jìn)行誤差分析，是為了了解結(jié)果的可信度，如果可信度差的話，就需要采取一定的改進(jìn)措施。但是在一

4、般的情況下，因為計算機(jī)字長都是比較長的，所以就不用考慮字長的影響了。（2）使用特定硬件芯片來進(jìn)行數(shù)字信號處理時，通常使用定點(diǎn)實現(xiàn)，由于硬件的字長問題，所以就需要了解為了達(dá)到設(shè)計要求所需精度情況下的最小字長。通過最小字長來選定特定的硬件芯片類型，又因為不同硬件芯片的價格差很大，通過有限字長效應(yīng)的研究就可以在價格和精度中間做出一個合理的選擇。硬件設(shè)計工程師便可以在滿足精度要求的前提下減小字長，降低生產(chǎn)成本，保證產(chǎn)品的優(yōu)越性能。1.2 主要工作 對 IIR 數(shù)字濾波器的有限字長效應(yīng)進(jìn)行分析，本文主要內(nèi)容IIR 數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，再介紹了 IIR 數(shù)字濾波器的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)，并分析

5、了這些結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，以及有限字長效應(yīng)對濾波器造成的誤差分析。2 IIR 數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)結(jié)構(gòu) IIR數(shù)字濾波器是一個反饋系統(tǒng)，它會進(jìn)行循環(huán)計算，在這個過程中，其系數(shù)誤差會不斷地積累疊加。在IIR濾波器的極點(diǎn)靠近z平面上的單位圓時，其幅頻特性一般會出現(xiàn)較大的峰值。當(dāng)系數(shù)量化誤差較大時，就會使原來處于單位圓內(nèi)的極點(diǎn)移到單位圓外，這樣的就會讓IIR濾波器由穩(wěn)定系統(tǒng)變成了非穩(wěn)定系統(tǒng)。還有一鐘情況，當(dāng)一組系數(shù)的差過大時，量化會造成對值大于1的數(shù)在運(yùn)算過程中被歸一化，數(shù)字濾波器的功能就有可能無法實現(xiàn)。所以，討論IIR濾波器系數(shù)的有限字長效應(yīng)問題具有更加現(xiàn)實的意義。2.1 IIR 數(shù)字濾波器原理2.1.1

6、 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理中的一項重要基礎(chǔ)，在對信號的過濾和監(jiān)測以及參數(shù)評估等處理的過程中，這是被運(yùn)用最為廣泛的一種線性系統(tǒng)。它的對象是通過抽樣器件把模擬信號轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號。它是指能夠完成信號處理功能的、使用有限精度算法第 27 頁 共 33 頁IIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)的具有離散時間線性非時變特點(diǎn)的系統(tǒng)。數(shù)字濾波器的輸入是一組數(shù)字量，而輸出則是通過數(shù)字變換的另外一組數(shù)字量。其本身既能用硬件來完成給定運(yùn)算的處理，又能通過軟件編程來實現(xiàn)所要的運(yùn)算處理，具有使用范圍廣的特點(diǎn)?？傊?，數(shù)字濾波器具有以下幾個特點(diǎn):精度高、靈敏度高、穩(wěn)定性強(qiáng)等特點(diǎn)。伴隨著數(shù)字技術(shù)的快速發(fā)展，

7、通過數(shù)字技術(shù)來實現(xiàn)濾波器的功越來越受到人們的重視，并且得到更加廣泛的應(yīng)用。濾波器，其實就是對系統(tǒng)的輸入信號進(jìn)行濾波的過程。濾波器的輸出y(n)與輸入x(n)之間的聯(lián)系是脈沖響應(yīng)h(n),即如果濾波器的輸入和輸出都是離散信號，那么這個濾波器的脈沖響應(yīng)也應(yīng)該是離散信號，這樣的濾波器就成為數(shù)字濾波器。2.1.2 IIR濾波器的特點(diǎn) IIR 數(shù)字濾器，無限長脈沖響應(yīng)濾波器具有如下三個的特點(diǎn)：（1）IIR 數(shù)字濾波器采用的是遞歸型結(jié)構(gòu)，就是結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路；（2）IIR 數(shù)字濾波器系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) h(n)是無限長的；（3）IIR 數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(z)在有限 z 平面（0<|z|<

8、;+)上存在極點(diǎn)； 上述3個特點(diǎn)在本質(zhì)上是一致相通的，這可從 IIR 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)和差分方程 y(n) 中得到體現(xiàn)： （2-1） （2-2)(1)中分母多項式系數(shù)表明在有限z平面上存在極點(diǎn)，在是（2）中系數(shù) ai 表明存在著輸出到輸入的反饋。2.2 IIR 數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)結(jié)構(gòu)同一種 IIR 系統(tǒng)函數(shù)可以有多種不同的網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，其中就包括直接性、并聯(lián)型、級聯(lián)型。不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)使得 IIR 濾波器在實現(xiàn)功能上具有不同的特點(diǎn)，在性能上也將產(chǎn)生不同的頻率特性。下面先簡單介紹不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的IIR 濾波器，然后再對具有相同傳輸函數(shù)濾波器的情況下，分析不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下有限字長效應(yīng)對濾

9、波器頻率特性的影響。2.2.1 直接型一個 N 階的 IIR 濾波器的輸入輸出關(guān)系可以用式（2）所示的 N 階的差分方程來描述。從這個差分方程表達(dá)式可以看出，系統(tǒng)的輸出y(n)由兩部分構(gòu)成：第一部分是一個輸入信號x(n)的M階延時鏈結(jié)構(gòu)，每階延時抽頭后加權(quán)相加，這就實現(xiàn)了一個零點(diǎn)的橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。第二部分是一個輸出信號對y(n)的N階延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，每級延時抽頭后加權(quán)相加，是一個由輸出到輸入的反饋網(wǎng)絡(luò)。由這兩部分相加構(gòu)成輸出，是由輸出到輸入的反饋網(wǎng)絡(luò)。圖1 濾波器直接I型2.2.2 直接型直接型結(jié)構(gòu)也叫做典范型結(jié)構(gòu)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)可以認(rèn)為是兩個獨(dú)立的系統(tǒng)函數(shù)的乘積。輸入信號先經(jīng)過系統(tǒng)，

10、獲得中間輸出變量，然后就可以把送入系統(tǒng)得到輸出信號。 （2-3） （2-4） （2-5）差分方程為： （2-6）圖2 直接II型2.2.3 濾波器級聯(lián)型將IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的分子分母表達(dá)為因子的形式，即 （2-7）因為系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)都是實系數(shù)，故而零點(diǎn)、極點(diǎn)只有兩種情況：或者是實根，或者是共軛復(fù)根。式中A為歸一化常數(shù)，M=M1+M2，N=N1+2N2，表示實零點(diǎn)，表示實極點(diǎn)，和表示復(fù)共軛零點(diǎn)，和表示復(fù)共軛極點(diǎn)。每一對共軛因子合并起來，就可以構(gòu)成一個實系數(shù)的二階因子。所以，任意系統(tǒng)都可以由一階和二階子系統(tǒng)級聯(lián)構(gòu)成。故而，整個系統(tǒng)函數(shù)完全可以分解為實系數(shù)二階因子的形式： （2-8）式中，Nc表

11、示M和N中最大的整數(shù)。稱為濾波器的二階基本節(jié)，可以采用直接II型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，整個濾波器則是的級聯(lián)。2.2.4 并聯(lián)型將IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)展開為部分分式的和，即 （2-9）式中N=N1+N2，是的共軛復(fù)數(shù)。因為系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)全都是實系數(shù)，所以，都是實數(shù)。若M<N，上式不包含項，若M=N,項變成。一般IIR系統(tǒng)都滿足MN的條件。當(dāng)M=N，上式變?yōu)?（2-10）總系統(tǒng)函數(shù)是各部分函數(shù)之和時，就表示它是各相應(yīng)子系統(tǒng)的并聯(lián)。故而上式可以理解為一階和二階系統(tǒng)的并聯(lián)組合。3 IIR 數(shù)字濾波器的有限字長效應(yīng)IIR數(shù)字濾波器的有限字長效應(yīng)3.1 系數(shù)量化對IIR數(shù)字濾波器的影響在用MATLAB

12、實現(xiàn)信號處理貨濾波器設(shè)計時，它們的系數(shù)都是十進(jìn)制對的數(shù)值，都具有“無限”精度。當(dāng)我們把一個設(shè)計好的濾波器進(jìn)行具體實現(xiàn)時，它們的系數(shù)都必須以有限長的二進(jìn)制碼形式存放在存儲器中，因而對理論的系數(shù)值進(jìn)行量化處理就很有必要了。通過分析濾波器的有限字長效應(yīng)有利于我們選擇合適的字長和結(jié)構(gòu)，以便達(dá)到設(shè)計的要求。3.1.1 極點(diǎn)位置靈敏度當(dāng)對一個有理系統(tǒng)函數(shù)或相應(yīng)的差分方程的系數(shù)進(jìn)行量化時，系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)在平面上的位置就會產(chǎn)生變化，這等效于頻率響應(yīng)收到擾動而發(fā)生的偏離。當(dāng)系統(tǒng)實現(xiàn)結(jié)構(gòu)對系數(shù)的擾動有很高的靈敏度是，那得到的系統(tǒng)就不可能滿足原設(shè)計對的要求，系統(tǒng)也將變的不穩(wěn)定了。理想數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： （3

13、-1）對系數(shù)ai、bi量化后，其實際傳遞函數(shù)為： （3-2）其中是系數(shù)ai、bi的量化結(jié)果： （3-3）然后討論系數(shù)有限字長效應(yīng)帶來的誤差對極點(diǎn)的影響：原來系統(tǒng)的函數(shù)分母多項式是： （3-4）設(shè)，得到的極點(diǎn)： （3-5）當(dāng)系數(shù)被量化后的極點(diǎn)： （3-6）極點(diǎn)位置的偏差量，由各個系數(shù)偏差引起的，因此 （3-7）結(jié)論:就是極點(diǎn)對系數(shù)變化的靈敏度 越大，對的影響也越大 越小，對的影響也越小下面根據(jù)A(z)來求這個極點(diǎn)位置靈敏度的表達(dá)式： （3-8） （3-9）得出： (3-10) （3-11）得極點(diǎn)位置靈敏度為： （3-12）分母中的每一個因子代表著某一極點(diǎn)指向當(dāng)前極點(diǎn)的矢量，而整個分母正是所有極點(diǎn)

14、指向當(dāng)前極點(diǎn)的矢量積 直接型高階網(wǎng)絡(luò)要比各個子系統(tǒng)的極點(diǎn)密集程度的要更密集，因而極點(diǎn)位置受系數(shù)量化的影響比直接型結(jié)構(gòu)要小得多。圖3 極點(diǎn)位置靈敏度跟極點(diǎn)間距離成反比結(jié)論：系數(shù)量化對零、極點(diǎn)位置的影響與零、極點(diǎn)位置的分布以及濾波器的結(jié)構(gòu)均有密切的關(guān)系。高階濾波器：盡量不使用直接型的結(jié)構(gòu)，可以分解成低階的級聯(lián)結(jié)構(gòu)或者是并聯(lián)結(jié)構(gòu)。至于極點(diǎn)靈敏度很高的地方，使用雙精度系數(shù)可以更容易達(dá)到精度的設(shè)計要求。3.1.2 系數(shù)量化對二階子系統(tǒng)極點(diǎn)位置的影響高階系統(tǒng)用直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)是不合適的，級聯(lián)型和并聯(lián)型優(yōu)于直接型。但是級聯(lián)型和并聯(lián)型的基本子系統(tǒng)是二階節(jié)，如何實現(xiàn)這個基本二階節(jié)也有著不同的情況?，F(xiàn)在要進(jìn)而說

15、明級聯(lián)和并聯(lián)形式中的一個具有共軛極點(diǎn)的二階系統(tǒng)也有各種不同的結(jié)構(gòu)，而且不同結(jié)構(gòu)對于系數(shù)量化的敏感度也是不同的。設(shè)二階 IIR 系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為： （3-13）具有一對共軛對稱的復(fù)極點(diǎn) （3-14）有 （3-15）得到 （3-16）圖4 二階網(wǎng)絡(luò)的直接型（3-17）說明:對于二階網(wǎng)絡(luò)，其極點(diǎn)的半徑r完全由系數(shù)決定，極點(diǎn)在實軸上的坐標(biāo)值取決于系數(shù)。如果a1、a2用三位字長表示，b3(不算符號位)，只能表達(dá)8種半徑r值和-7/87/8之間的15種實軸坐標(biāo)值。表1 三位字長的共軛極點(diǎn)的參數(shù)圖5 三位字長的共軛極點(diǎn)的位置極點(diǎn)位置是圖中的網(wǎng)眼節(jié)點(diǎn)，當(dāng)想要的極點(diǎn)位置不在這些網(wǎng)眼節(jié)點(diǎn)上時，可以用最靠近的一個節(jié)

16、點(diǎn)來充當(dāng)這個極點(diǎn)位置，因此就會帶入極點(diǎn)位置誤差。結(jié)論：系數(shù)有限字長效應(yīng)使零、極點(diǎn)位置的取值范圍從連續(xù)域變?yōu)殡x散的平面點(diǎn)陣，導(dǎo)致零極點(diǎn)的漂移，造成系統(tǒng)特性的變化。量化位置的分布情況在平面上是不均勻的，靠近實軸的部分分布的稀，靠近虛軸部分分布的密，在半徑小的部分方分布的稀，在半徑大的部分分布的密。這祥就會使實軸附近的極點(diǎn)(例加低通、高通濾波器)量化誤差較大、而對虛軸附近的極點(diǎn)(例如帶通濾波器)量化誤差較小。這類分布情況僅僅只是針對二階直接型結(jié)構(gòu)的情況，而對不同結(jié)構(gòu)的濾波器來說，系數(shù)對零極點(diǎn)位置的影響是不相同的?；径A網(wǎng)絡(luò)的另一種實現(xiàn)，該網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)為： （3-18）圖6 復(fù)共軛點(diǎn)的對偶結(jié)構(gòu)當(dāng)系

17、數(shù)量化時，是對及進(jìn)行量化，因而所得到的網(wǎng)格點(diǎn)子在z平面是均勻分布的。這里系數(shù)量化后對z平面的所有區(qū)域，所產(chǎn)生的誤差是相同的。具有共軛極點(diǎn)對的二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)耦合形式實現(xiàn)情況下，系數(shù)量化為三比特時極點(diǎn)的可能位置如下圖。圖7 二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)耦合形式3.1.3 頻率響應(yīng)偏差的分析IIR數(shù)字濾波器系數(shù)量化的統(tǒng)計分析 用階直接型結(jié)構(gòu)為例子，它的理想精度系統(tǒng)函數(shù)是： （3-19）設(shè)量化后的系數(shù)為： （3-20）因而系數(shù)量化之后，系統(tǒng)函數(shù)實際是： （3-21） （3-22）系統(tǒng)函數(shù)的偏差為： （3-23）式中 （3-24）系統(tǒng)頻率響應(yīng)的偏差： （3-25）系數(shù)量化的統(tǒng)計分析模型：圖8 系數(shù)量化的分析模型可以用頻響

18、的均方偏差來描述系數(shù)量化所引起的頻率特性偏差，即： （3-26）均方偏差也是一個隨機(jī)變量它的均值即為頻響偏差，即：（3-27）3.2 數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)數(shù)字濾波器是一個常數(shù)乘以一個數(shù)字或兩個數(shù)字加一起。有限字長效應(yīng)和使用數(shù)制、碼制和量化都有一個復(fù)雜的關(guān)系。在系數(shù)相乘的地方，那里有一個量化誤差噪聲源，它們都有一個系統(tǒng)輸出誤差。根據(jù)疊加原理，噪聲濾波器的輸出是響應(yīng)在濾波器不同結(jié)構(gòu)的位置上的量化噪聲的總和，不難計算出濾波器輸出的信噪比。在項目實施中，人們關(guān)心的是字長多少位的選擇，以確保濾波器的輸出達(dá)到一定的信噪比。為了方便統(tǒng)計分析這些有限字長誤差的平均效應(yīng)，我們設(shè)定：(1)所有這些噪聲都是平穩(wěn)

19、的白噪聲序列；(2)所有噪聲都跟信號不相關(guān)，而且各噪聲之間都互不相關(guān)；(3)每個誤差噪聲在其誤差允許內(nèi)呈均勻等概率分布。3.2.1 IIR數(shù)字濾波器定點(diǎn)運(yùn)算后舍入誤差的分析在定點(diǎn)制中，理想相乘如圖所示，每次相乘運(yùn)算y(n)=ax(n)之后都要作一次舍入或截尾處理，因此會引入非線性，由前面討論得知，尾數(shù)一般多采用舍入處理，如圖所示，*表示舍入處理。采用統(tǒng)計分折方法，可以將舍入誤差e(n)作為獨(dú)立噪聲疊加到信號上，可以繼續(xù)用線性流圖來表示，如圖所示。a理想相乘 b實際相乘的非線性流圖 c統(tǒng)計模型的線性流圖圖9 定點(diǎn)相乘運(yùn)算流圖使用統(tǒng)計分析方法之后，實際的輸出為: （3-28）而每一個噪聲源所造成的

20、輸出噪聲方差及均值: （3-29）最后將所有的輸出噪聲線性疊加就得到總的輸出噪聲 （3-30）方差為： （3-31）結(jié)論：對于IIR濾波器而言，從有限字長效應(yīng)來看，不管是哪一種的直接型結(jié)構(gòu)，它的運(yùn)算誤差都是最大的，尤其是在高階時就盡量不要使用這個結(jié)構(gòu)。級聯(lián)型結(jié)構(gòu)就相對而言要好一些，并聯(lián)型結(jié)構(gòu)卻是擁有最小的運(yùn)算誤差。3.2.2 IIR濾波器定點(diǎn)加法運(yùn)算的溢出問題定點(diǎn)制中，兩個b位的小數(shù)相加仍是b位小數(shù)，不會產(chǎn)生量化誤差。但當(dāng)總和的絕對值大于1時將會溢出。在系統(tǒng)不溢出時舍入噪聲是輸出誤差的主要來源，而發(fā)生溢出時，符號位變號：和為正數(shù)時變?yōu)樨?fù)數(shù)，負(fù)數(shù)則變成正值，因此帶來很大誤差。為了避免產(chǎn)生溢出，就

21、要在每個相加點(diǎn)的輸入端口加入一定的壓縮比例因子，可以讓相加點(diǎn)的數(shù)值的絕對值小于一。設(shè)表示濾波器的輸入信號，表示濾波器第k個相加節(jié)點(diǎn)上的輸出信號、表示從濾波器輸入端到第k個相加節(jié)點(diǎn)的單位脈沖響應(yīng)，響應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為。為使不發(fā)生溢出，需要在輸入端引入比例因子,則 （3-32）有限字長效應(yīng)對IIR濾波器性能影響分析的MATLAB實現(xiàn)若表示輸入信號的最大幅度 （3-33）因此 （3-34）要使不發(fā)生溢出，則需使|1，所以 （3-35）選擇最小的比例因子為最終的選擇，即 （3-36）令，得到保證第k個節(jié)點(diǎn)上不出現(xiàn)溢出時的最大輸入值上限 （3-37）4 有限字長效應(yīng)對IIR濾波器性能影響分析的MATLAB實

22、現(xiàn)4.1系統(tǒng)設(shè)計框架量化效應(yīng)對 IIR 數(shù)字濾波器性能影響分析系統(tǒng)主要包含兩個部分：濾波器設(shè)計部分和量化效應(yīng)的分析部分。系統(tǒng)的總體設(shè)計框圖如圖所示：圖10 總體設(shè)計框圖4.2 IIR濾波器的GUI界面設(shè)計對于IIR濾波器進(jìn)行有限字長效應(yīng)的分析，需要針對具體的某一個濾波器進(jìn)行，便于使用者分析有限字長效應(yīng)對不同濾波器的影響，系統(tǒng)設(shè)計了由使用者指定濾波器參數(shù)進(jìn)行濾波器模塊的設(shè)計。4.2.1幅頻指標(biāo)設(shè)計IIR濾波器通常情況下，IIR 濾波器的設(shè)計是在給定通帶截止頻率 Wp、阻帶截止頻率 Ws、通帶允許的最大衰減 Rp、阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減 Rs 等參數(shù)的情況下設(shè)計得到的，因此我們首選了這樣的方式進(jìn)行濾

23、波器設(shè)計。此外,給定設(shè)計指標(biāo)進(jìn)行 IIR 濾波器濾波器的設(shè)計，是先進(jìn)行模擬濾波器設(shè)計，然后再從模擬轉(zhuǎn)化到數(shù)字濾波器，因此我們設(shè)計了模擬低通原型濾波器的選擇，以設(shè)計不同模擬低通原型濾波器的數(shù)字 IIR 濾波器。GUI界面的設(shè)計圖11 IIR濾波器的幅頻指標(biāo)設(shè)計界面參數(shù)設(shè)置界面各部分功能介紹如下：（1）指標(biāo)：從四個動態(tài)文本框中輸入濾波器技術(shù)指標(biāo) wp、 ws、rp 、rs，實現(xiàn)數(shù)字濾波器的動態(tài)設(shè)計。（2）類型：由四個單選按鈕選擇濾波器的類型，即巴特沃斯型、切比雪夫型、切比雪夫型、橢圓型。（3）幅頻特性區(qū)域:根據(jù)設(shè)置的參數(shù)，畫出濾波器幅頻特性曲線。（4）相頻特性區(qū)域:根據(jù)設(shè)置的參數(shù)，畫出濾波器相頻特

24、性曲線。（5）查看結(jié)果：點(diǎn)擊該按鈕，畫濾波器幅頻特性曲線和相頻特性曲線。（6）退出：點(diǎn)擊該按鈕，退出“參數(shù)設(shè)置”界面，回到主界面。程序?qū)崿F(xiàn)例如選擇設(shè)計 IIR 的 Cheby型低通濾波器，通帶通帶截止頻率 WP=0.3、阻帶截止頻率 Ws=0.9、通帶允許的最大衰減 Rp=2DB、阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減 Rs=50DB、采樣頻率 Fs=2Hz。以這些參數(shù)設(shè)計濾波器。利用已知的通帶通帶截止頻率 WP、阻帶截止頻率 Ws、通帶允許的最大衰減 Rp、阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減 Rs 等技術(shù)指標(biāo)和原型濾波器類型，設(shè)計 IIR 濾波器的傳輸函數(shù)。程序如下（詳細(xì)代碼見附錄4）：Fs = 2 ;Wap = tan(

25、wp/2) ;Was = tan(ws/2) ;bp,ap = zp2tf(z,p,k);bs,as = lp2lp(bp,ap,wap);b,a = bilinear(bs,as,Fs/2)h,w = freqz(b,a,512,1);g=20*log10(abs(h);4.2.2 零極點(diǎn)法根據(jù)零點(diǎn) Zi、極點(diǎn) Pi 以及增益 A 這些參數(shù)設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器計濾波器，并分析濾波器的量化效應(yīng)。通過零極點(diǎn)法，用戶可以自行設(shè)置零極點(diǎn)的位置以及系統(tǒng)的增益，便于改變系統(tǒng)零極點(diǎn)。圖12 零極點(diǎn)法的濾波器設(shè)計界面零極點(diǎn)法的參數(shù)設(shè)置界面?zhèn)€部分功能介紹如下：（1）零極點(diǎn)設(shè)置：在界面上的 5 個動態(tài)文本編

26、輯框輸入相應(yīng)參數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)、增益，以確定數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。（2）幅頻特性區(qū)域：幅頻特性區(qū)域:根據(jù)設(shè)置的參數(shù)，畫出濾波器幅頻特性曲線。（3）相頻特性區(qū)域:根據(jù)設(shè)置的參數(shù)，畫出濾波器相頻特性曲線。（4）查看結(jié)果：點(diǎn)擊該按鈕，畫濾波器幅頻特性曲線和相頻特性曲線。（5）退出：點(diǎn)擊該按鈕，退出“參數(shù)設(shè)置”界面，回到主界面。2、程序?qū)崿F(xiàn)z = z1 z2;p = p1 p2;b,a = zp2tf(z',p,A)h,w = freqz(b,a,256)4.2.3 兩種 IIR 濾波器設(shè)計方法比較幅頻特性方法和零極點(diǎn)法雖然用不同方法設(shè)計得到的 IIR 數(shù)字濾波器，但所完成的任務(wù)是一樣的，即通過幅

27、頻響應(yīng)、相頻響應(yīng)、零極點(diǎn)分布以及運(yùn)算量換效應(yīng)等來分析量化效應(yīng)對 IIR 數(shù)字濾波器性能的影響。兩種設(shè)計方法各自有優(yōu)缺點(diǎn)，現(xiàn)分析如下。幅頻特性方法可以明確數(shù)字濾波器的定通帶截止頻率 Wp、阻帶截止頻率 Ws、通帶允許的最大衰減 Rp、阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減 Rs 等參數(shù)，可以選擇濾波器的類型：巴特沃斯型、切比雪夫型、切比雪夫型 、橢圓型。且這種方法可設(shè)計高階濾波器，能明顯觀察到量化效應(yīng)對濾波器系統(tǒng)零極點(diǎn)的影響。零極點(diǎn)法通過零點(diǎn)、極點(diǎn)、系統(tǒng)增益即可得到濾波器的傳遞函數(shù)，設(shè)計起來相對簡單?？芍苯痈淖兞銟O點(diǎn)和系統(tǒng)增益這些指標(biāo)。但是這種方法不適合設(shè)計高階的數(shù)字系統(tǒng)，設(shè)計低階系統(tǒng)是觀察量化效應(yīng)對 IIR 濾

28、波器零極點(diǎn)的影響效果不明顯。4.3 系數(shù)量化的影響分析對于系數(shù)的量化誤差而言，在不同程度上讓濾波器的零、極點(diǎn)偏離理論的預(yù)定位置，導(dǎo)致數(shù)字濾波器的頻率特性偏離設(shè)計要求，當(dāng)量化誤差很嚴(yán)重的時候，平面單位圓內(nèi)的極點(diǎn)跑到單位圓外面，造成濾波器的不穩(wěn)定，進(jìn)而不能使用。有限字長效應(yīng)對濾波器性能的影響直接關(guān)系寄存器的字長長短，還與濾波器的結(jié)構(gòu)有關(guān)。挑選合適的結(jié)構(gòu)，不僅可以減小有限字長效應(yīng)帶來的影響，幫助我們挑選合適的字長，為濾波器的實現(xiàn)提供理論的依據(jù)，進(jìn)而設(shè)計出符合相應(yīng)頻率響應(yīng)的系統(tǒng)出來。4.3.1 頻率響應(yīng)偏差分析圖13 頻率響應(yīng)偏差分析GUI界面（1）程序?qū)崿F(xiàn)設(shè)計的 IIR 的 Cheby型低通濾波器指

29、標(biāo)：通帶通帶截止頻率 WP=0.3、阻帶截止頻率 Ws=0.9、通帶允許的最大衰減 Rp=2DB、阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減 Rs=50DB、Fs=2Hz。wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);n,wn=cheb1ord(wap,was,rp,rs,'s');z,p,k=cheb1ap(n,rp);bp,ap=zp2tf(z,p,k);bs,as=lp2lp(bp,ap,wap);b,a=bilinear(bs,as,Fs/2);h,w=freqz(b,a,512,Fs);g=20*log10(abs(h);%對濾波器系數(shù)用m1bit量化bq = truncatio

30、n(b,m1);aq = truncation(a,m1);hq,w = freqz(bq,aq,512,1);gq = 20*log10(abs(hq);%截尾量化函數(shù)function aeq = truncation(a,n)m1,m2 = size(a);for i = 1:m1 for j = 1:m2 r = floor(log2(abs(a(i,j)+eps); r = max(0,min(r)+1); b = floor(abs(a(i,j)*2(n-r); aeq(i,j) = sign(a(i,j)*b/2(n-r); endEnd圖14 不同字長的幅頻特性由以上4幅圖可以看

31、出，數(shù)字濾波器的系數(shù)經(jīng)量化后的幅頻特性與原始的幅頻特性存在偏差，這種偏差與量化的字長有關(guān)。系數(shù)經(jīng) 4bit 量化后相應(yīng)的幅頻響應(yīng)已發(fā)生嚴(yán)重失真，其衰減特性變差，6bit 量化后幅頻響應(yīng)的失真有了明顯的減輕，32bit量化后幅頻響應(yīng)已接近原始的幅頻響應(yīng)。由此可見，系數(shù)量化會使幅頻響應(yīng)發(fā)生失真，減小誤差的方法就是增加量化的字長。4.3.2 不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的有限字長效應(yīng)分析直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)濾波器時，對濾波器系數(shù)進(jìn)行量化處理，處理后的濾波器的幅頻特性與原始幅頻特性的偏差還與實現(xiàn)結(jié)構(gòu)有密切關(guān)系。通過編程，畫出不同結(jié)構(gòu)實現(xiàn)時的幅頻響應(yīng)對比圖，并用不同顏色區(qū)分。（1）代碼見附錄1（2） 結(jié)果顯示

32、圖15 不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分析結(jié)果圖對上述 H（z），再一次分別用 4bit 和 8bit 的字長對系數(shù)量化，并分別用級聯(lián)和并聯(lián)的形式來實現(xiàn)，觀察不同實現(xiàn)方式對系統(tǒng)性能的影響。由于 H（z）是一個五階的系統(tǒng)，所以可以分為兩個二階的子系統(tǒng)和一個一階的子系統(tǒng)，將它們的系數(shù)量化后再分別級聯(lián)和并聯(lián)，所得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如下。不論是 4bit 量化還是 8bit 量化，級聯(lián)和并聯(lián)實現(xiàn)的效果都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于直接實現(xiàn)。同時，并聯(lián)實現(xiàn)的效果要稍優(yōu)于級聯(lián)實現(xiàn)。并聯(lián)實現(xiàn)的誤差最小。直接型結(jié)構(gòu)的所有舍入誤差都要經(jīng)過全部網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)，誤差積累起來了，所以誤差最大。級聯(lián)結(jié)構(gòu)的每個舍入誤差只通過其后面的反饋環(huán)節(jié)（不通過前面的），所以舍入誤差比直接型的小。并聯(lián)結(jié)構(gòu)的每個并聯(lián)的子網(wǎng)絡(luò)的舍入誤差只通過本網(wǎng)絡(luò)，與其他子網(wǎng)絡(luò)無關(guān)，誤差積累作用最小，所以在一般情況下，其輸出誤差最小。4.3.3 數(shù)值量化對零極點(diǎn)影響的影響（1） 代碼見附錄2（2） 顯示結(jié)果圖16 數(shù)值量化對零極點(diǎn)影響的影響結(jié)果圖極點(diǎn)偏差與系統(tǒng)函數(shù)的階數(shù)有關(guān)，當(dāng)它階數(shù)越高時，濾波器的極點(diǎn)位置偏差也大。濾