離散型隨機(jī)變量及分布列

1、 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，認(rèn)識(shí)分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性，會(huì)求某些取有限個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布列2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查多以實(shí)際問(wèn)題為背景，以解答題的形式考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，且常與排列、組合、概率、均值與方差等知識(shí)綜合考查，難度適中，如2012年湖南T17等.歸納·知識(shí)整合1隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)隨機(jī)變量：隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母X，Y，表示(2)離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量2離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)(1)概念：若離

2、散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn此表稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列，有時(shí)也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列(2)分布列的性質(zhì)pi0，i1,2,3，n；i1.探究1.離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù)，其實(shí)質(zhì)代表什么？提示：代表的是“事件”，即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的3常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布列：X01P1pp若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，就稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布，并稱(chēng)pP(X1)為成功概率(2

3、)超幾何分布列在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率為P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.X01mP如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布探究2.如何判斷所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確？提示：可利用離散型隨機(jī)變量分布列的兩個(gè)性質(zhì)加以檢驗(yàn)自測(cè)·牛刀小試110件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是()A取到產(chǎn)品的件數(shù)B取到正品的概率C取到次品的件數(shù) D取到次品的概率解析：選C對(duì)于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，B、D也是一個(gè)定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是

4、0,1,2，是隨機(jī)變量2從標(biāo)有110的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機(jī)變量X可能取得的值有()A17個(gè) B18個(gè)C19個(gè) D20個(gè)解析：選A110任取兩個(gè)的和可以是319中的任意一個(gè)，共有17個(gè)3某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(1)等于()A0 B.C. D.解析：選D設(shè)失敗率為p，則成功率為2p，分布列為：01Pp2p由p2p1，得p，故2p.4若P(x2)1，P(x1)1，其中x1<x2，則P(x1x2)等于()A(1)(1) B1()C1(1) D1(1)解析：選B由分布列性質(zhì)可有：P(x1x2)P(x2)P(x

5、1)1(1)(1)11()5在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率等于的是()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)解析：選C此題為超幾何分布問(wèn)題，15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，8個(gè)村莊交通方便，CC表示選出的10個(gè)村莊中恰有4個(gè)交通不方便，6個(gè)交通方便，故P(X4).離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)例1(1)設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：101P12qq2則q的值為()A1B1±C1 D1(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：01234P0.20.10.10.3m求：21的分布列；|1|的分布列自

6、主解答(1)由分布列的性質(zhì)，有解得q1.或由12q0q，可排除A、B、C.(2)由分布列的性質(zhì)知0.20.10.10.3m1，解得m0.3.首先列表為：012342113579|1|10123從而由上表得兩個(gè)分布列為：21的分布列：2113579P0.20.10.10.30.3|1|的分布列：|1|0123P0.10.30.30.3答案(1)D本例(2)題干不變，求P(1<21<9)解：P(1<21<9)P(213)P(215)P(217)0.10.10.30.5. 離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概

7、率值均為非負(fù)；(2)若為隨機(jī)變量，則21，|1|等仍然為隨機(jī)變量，求它們的分布列時(shí)可先求出相應(yīng)的隨機(jī)變量的值，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的概率寫(xiě)出分布列1隨機(jī)變量X的概率分布列規(guī)律為P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P的值為()A. B.C. D.解析：選DP(Xn)(n1,2,3,4)，1，a，PP(X1)P(X2)××.離散型隨機(jī)變量分布列例2袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到1個(gè)紅球得2分，取到1個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率自主解答(1)從袋中隨機(jī)取4個(gè)球的情況為1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅四種情況

8、，分別得分為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5,6,7,8.P(X5)，P(X6)，P(X7)，P(X8).故所求得分X的分布列為：X5678P(2)根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列，可以得到得分大于6的概率為P(X>6)P(X7)P(X8).求離散型隨機(jī)變量的分布列的三個(gè)步驟(1)明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；(2)利用概率的有關(guān)知識(shí)，求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率；(3)按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證2(2013·泰安模擬)某研究機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備舉行一次數(shù)學(xué)新課程研討會(huì)，共邀請(qǐng)50名一線教師參加，使用不同版本教材的教師人數(shù)如下表所示：(1)從這50名教

9、師中隨機(jī)選出2名，求2人所使用版本相同的概率；版本人教A版人教B版蘇教版北師大版人數(shù)2015510(2)若隨機(jī)選出2名使用人教版的老師發(fā)言，設(shè)使用人教A版的教師人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列解：(1)從50名教師中隨機(jī)選出2名的方法數(shù)為C1225.選出2人使用版本相同的方法數(shù)為CCCC350.故2人使用版本相同的概率為P.(2)P(0)，P(1)，P(2)，的分布列為：012P超幾何分布問(wèn)題例3某高校的一科技小組有5名男生，5名女生，從中選出4人參加全國(guó)大學(xué)生科技大賽，用X表示其中參加大賽的男生人數(shù)，求X的分布列自主解答依題意隨機(jī)變量X服從超幾何分布，所以P(Xk)(k0,1,2,3,4)P(X0

10、)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，X的分布列為：X01234P超幾何分布的特點(diǎn)(1)對(duì)于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可直接應(yīng)用公式給出；(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量取值的概率實(shí)質(zhì)上是古典概型3從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項(xiàng)公益活動(dòng)(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數(shù)的分布列解：(1)所選3人中恰有一名男生的概率P.(2)的可能取值為0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3).故的分布列為：0123P2個(gè)注意點(diǎn)掌握離散型隨機(jī)變量分布列的注意點(diǎn)(1)分布列的結(jié)構(gòu)為

11、兩行，第一行為隨機(jī)變量的所有可能取得的值；第二行為對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量取值的事件發(fā)生的概率看每一列，實(shí)際上是：上為“事件”，下為事件發(fā)生的概率；(2)要會(huì)根據(jù)分布列的兩個(gè)性質(zhì)來(lái)檢驗(yàn)求得的分布列的正誤3種方法求分布列的三種方法(1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列；(2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列. 易誤警示隨機(jī)變量取值不全導(dǎo)致錯(cuò)誤典例(2013·長(zhǎng)沙模擬)盒子中有大小相同的球10個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為1的球3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的球4個(gè)，標(biāo)號(hào)為5的球3個(gè)第一次從盒子中任取1個(gè)球，放回

12、后第二次再任取1個(gè)球(假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相同)記第一次與第二次取得球的標(biāo)號(hào)之和為.(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)求隨機(jī)變量的期望解(1)由題意可得，隨機(jī)變量的取值是2,3,4,6,7,10.且P(2)0.3×0.30.09，P(3)C×0.3×0.40.24，P(4)0.4×0.40.16，P(6)C×0.3×0.30.18，P(7)C×0.4×0.30.24，P(10)0.3×0.30.09.故隨機(jī)變量的分布列如下：2346710P0.090.240.160.180.240.09(2)隨機(jī)變量的

13、數(shù)學(xué)期望E()2×0.093×0.244×0.166×0.187×0.2410×0.095.2.1本題由于離散型隨機(jī)變量的取值情況較多，極易發(fā)生對(duì)隨機(jī)變量取值考慮不全而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤2此類(lèi)問(wèn)題還極易發(fā)生如下錯(cuò)誤：雖然弄清隨機(jī)變量的所有取值，但對(duì)某個(gè)取值考慮不全而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤3避免以上錯(cuò)誤發(fā)生的有效方法是驗(yàn)證隨機(jī)變量的概率和是否為1.某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中的概率是0.9.若命中就停止射擊，否則就一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)X的分布列解：X的取值為1,2,3,4,5，它們的概率分別為：P(X1)0.9，P(X2)0.1×0

14、.90.09，P(X3)0.12×0.90.009，P(X4)0.13×0.90.000 9，當(dāng)X5時(shí)，說(shuō)明前四發(fā)都沒(méi)命中，不管第五次中與不中都要射第五發(fā)子彈，P(X5)0.140.000 1，故X的分布列為：X12345P0.90.090.0090.000 90.000 1一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1將一顆骰子均勻擲兩次，隨機(jī)變量為()A第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)B第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)C兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和D兩次出現(xiàn)相同點(diǎn)的種數(shù)解析：選CA、B中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)雖然是隨機(jī)的，但他們?nèi)≈邓从车慕Y(jié)果都不是本題涉及試驗(yàn)的結(jié)果D中出現(xiàn)相同點(diǎn)數(shù)的種數(shù)就是6種，不是變量C整體反映兩

15、次投擲的結(jié)果，可以預(yù)見(jiàn)兩次出現(xiàn)數(shù)字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11種結(jié)果，但每擲一次前，無(wú)法預(yù)見(jiàn)是11種中的哪一個(gè)，故是隨機(jī)變量2袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另?yè)Q1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹谷舫槿〉拇螖?shù)為，則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是()A4B5C6 D5解析：選C由條件知“放回5個(gè)紅球”事件對(duì)應(yīng)的為6.3設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，n，若P(X4)0.3，則()An3 Bn4Cn9 Dn10解析：選DP(X<4)P(X1)P(X2)P(X3)0.3，故n10.4已知隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)，k1,2，則P

16、(2<X4)等于()A. B.C. D.解析：選AP(2<X4)P(X3)P(X4).5(2013·安慶模擬)從一批含有13只正品，2只次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，則取得次品數(shù)為1的概率是()A. B.C. D.解析：選B設(shè)隨機(jī)變量X表示取出次品的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，其中N15，M2，n3，它的可能的取值為0,1,2，相應(yīng)的概率為P(X1).6(2013·長(zhǎng)沙模擬)一只袋內(nèi)裝有m個(gè)白球，nm個(gè)黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹?，設(shè)此時(shí)取出了個(gè)白球，下列概率等于的是()AP(3) BP(2)CP(3) DP(2)解析：選D由超幾何分布知P(2

17、).二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7(2013·臨沂模擬)隨機(jī)變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)_.解析：a，b，c成等差數(shù)列，2bac.又abc1，b.P(|X|1)ac.答案：8由于電腦故障，使得隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失(以“x，y”代替)，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20則丟失的兩個(gè)數(shù)據(jù)依次為_(kāi)解析：由于0.200.10(0.1x0.05)0.10(0.10.01y)0.201，得10xy25，又因?yàn)閤、y為正整數(shù)，故兩個(gè)數(shù)據(jù)分別為2,5.答案：2,59(2013&

18、#183;鄭州五校聯(lián)考)如圖所示，A、B兩點(diǎn)5條連線并聯(lián)，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能通過(guò)的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)都通過(guò)的最大信息總量為，則P(8)_.解析：法一：由已知，的取值為7,8,9,10，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，的概率分布列為78910PP(8)P(8)P(9)P(10).法二：P(8)1P(7).答案：三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10一袋中裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以表示取出球的最大號(hào)碼，求的分布列解：隨機(jī)變量的取值為3,4,5,6從袋中隨機(jī)地取3個(gè)球，包

19、含的基本事件總數(shù)為C，事件“3”包含的基本事件總數(shù)為C，事件“4”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“5”包含的基本事件總數(shù)為CC；事件“6”包含的基本事件總數(shù)為CC；從而有P(3)，P(4)，P(5)，P(6)，故隨機(jī)變量的分布列為：3456P11口袋中有n(nN*)個(gè)白球，3個(gè)紅球，依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球，且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球記取球的次數(shù)為X.若P(X2)，求：(1)n的值；(2)X的分布列解：(1)由P(X2)知×，即90n7(n2)(n3)，解得n7.(2)X1,2,3,4且P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列為：X1234P12從集合1,2,3,4,5的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè)(1)記性質(zhì)r：集合中的所有元素之和為10，求所取出的非空子集滿(mǎn)足性質(zhì)r的概率；(2)記所取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為X，求X的分布列解：(1)記“所取出的非空子集滿(mǎn)足性質(zhì)r”為事件A.基本事件總數(shù)nCCCCC31；事件A包含的基本事件是1,4,5，2,3,5，1,2,3,4；事件A包含的基本事件數(shù)m3.故P(A).(2)依題意，X的所