第33講：穩(wěn)恒磁場——磁場的基本概念,畢奧-薩伐爾定律

1、第33講 穩(wěn)恒磁場磁場的基本概念，畢奧薩伐爾定律第33講：穩(wěn)恒磁場磁場的基本概念，畢奧薩伐爾定律內(nèi)容：§111，§112 1基本磁現(xiàn)象 (15分鐘) 2磁場，磁感應(yīng)強度 (20分鐘) 3畢一薩定律及其應(yīng)用 (60分鐘) 4小結(jié) (05分鐘)要求： 1了解基本磁現(xiàn)象；認(rèn)識電與磁之間的聯(lián)系； 2理解磁場的基本概念，認(rèn)識磁場的物質(zhì)性； 3理解磁感應(yīng)強度的物理意義； 4掌握畢一薩定律的物理意義，會用該定律求解簡單的磁場分布問題。重點與難點： 1磁感應(yīng)強度的定義； 2畢一薩定律及其應(yīng)用。方法：結(jié)合中學(xué)的磁學(xué)知識，定性介紹電與磁的聯(lián)系，重點講述磁場的物質(zhì)性及物理意義，著重講述畢一薩定律

2、的物理意義，并通過例題來說明畢一薩定律的應(yīng)用，介紹解題方法與思路。作業(yè)：問題：P172：2，3，4，6習(xí)題：P176：1，3，6，8預(yù)習(xí)：§113，§114 第十一章 穩(wěn)恒磁場Chapter 12 Steady Magnetic Field引言：前面我們研究了靜止電荷周圍電場的性質(zhì)與規(guī)律，在運動電荷周圍，不但存在電場，而且還存在磁場。穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的磁場是不隨時間變化的，稱為穩(wěn)恒磁場。穩(wěn)恒磁場和靜電場是兩種性質(zhì)不同的場，但在研究方法上有很多相似的地方。本章我們研究穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的磁場的性質(zhì)與規(guī)律。主要內(nèi)容有： 1描述磁場的基本物理量磁感應(yīng)強度 2電流磁場的基本方程Biot-sa

3、vart定律 3反映磁場性質(zhì)的基本方程磁場的高斯定理與安培環(huán)路定理 4磁場對電流與運動電荷的作用本章主要題目類型有： 1磁感應(yīng)強度的計算問題； 2磁場的基本性質(zhì)問題； 3磁場對電流與運動電荷的作用問題。本章共有7節(jié)：§111 磁場，磁感應(yīng)強度§112 畢奧薩伐爾定律§113 磁通量，磁場的高斯定理§114 安培環(huán)路定理§115 帶電粒子在磁場和電場中的運動§116 載流導(dǎo)線在磁場中所受的力§117 磁場對載流線圈的作用緒言Fundamental Magnetic Phenomena一、磁現(xiàn)象及其特點1基本磁現(xiàn)象： 傳說：古希

4、臘牧人瑪格內(nèi)斯（Magnes）在克里特島的艾達山上，他的皮鞋底上的鐵釘與手杖上的鐵尖，被腳下石頭牢牢吸住，以致很難離開，于是他發(fā)現(xiàn)了一種奇妙的石頭（磁鐵礦石）。 還有一則寓言講到，一座有很大吸收力的磁山，吸收甚至是距它很遠(yuǎn)的木船上的鐵釘。 另一個關(guān)于天然磁石有故事：傳說在亞歷山大城（埃及，地中海沿岸）亞西諾寺廟里，用磁鐵礦建成的拱形屋頂結(jié)構(gòu)，是為了把皇后的鐵鑄像懸吊在空中。 我國是發(fā)現(xiàn)天然磁體（磁石：Fe3O4）最早的國家： 春秋戰(zhàn)國時期，呂氏春秋一書中已有“磁石召鐵”的記載； 公元前250年韓非子； 東漢思想家王充在論衡中所描述的“司南勺”被認(rèn)為是最早的磁性指南器具； 11世紀(jì)沈括發(fā)明指南針

5、，并發(fā)現(xiàn)地磁偏角，比哥倫布的發(fā)現(xiàn)早四百年。 12世紀(jì)，我國已有關(guān)于指南針用于航海的記錄。 現(xiàn)代磁體是由人工制成的： 鐵、鈷、鎳合金永久磁體；鐵氧體（鐵淦氧磁體，是Fe2O3與二價金屬氧化物CuO、ZnO、MnO等的一種燒結(jié)物，又稱為“磁性瓷”。）2早期發(fā)現(xiàn)磁現(xiàn)象限于磁鐵之間，總結(jié)如下：1）磁性天然磁石成人工磁鐵吸收鐵(Fe)，鈷( Co)，鎳(Ni)的性質(zhì)。 磁體具有磁性的物體 永久磁體長期保持磁性的物體2）磁極條形磁鐵兩端磁性最強的部分 一支能夠在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動的條形磁鐵，在平衡時總是指向南北方向的，分別稱為磁鐵的兩極。 南極 S South Pole指向南極 北極 N North Pol

6、e指向北極 磁力磁體之間的相互作用，同極相斥，異極相吸，3）把磁鐵任意分割，每一小塊都有南北兩極，任意磁鐵總是南北兩極同時存在的，自然界中沒有單獨存在的N極與S極。近代理論認(rèn)為可能存在“磁單極”，但未觀察到。Dirac在1931年從理論上提出已知的量子理論允許存在磁單極子，磁單極子的磁荷qm與任意一個粒子的電荷q之間滿足 即若存在磁單極子，則電荷一定是量子化的。1975年、1982年分別有實驗報道找到磁單極子，但還沒有得到科學(xué)界的公認(rèn)。4）某些本來不顯磁性的物質(zhì)，在接近或接觸磁鐵后就有了磁性，稱為磁化。二、磁現(xiàn)象的本性 宋代陳顯微：陽陽學(xué)說 1600年 Gilbert出版<<磁論&

7、gt;>，對磁體作全面論述； 1820年 Oersted發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)；1821年 Anpere提出了分子電流的假設(shè)。安培認(rèn)為一切磁現(xiàn)象都起源于電流。在磁性物質(zhì)的分子中，存在著小的回路電流，稱為分子電流，它相當(dāng)于最小的基元磁體。物質(zhì)的磁性就是決定于這些分子電流對外磁效應(yīng)的總和。如果這些分子電流毫無規(guī)則地取各種方向，它們對外界引起的磁效應(yīng)就會互相抵消，整個物質(zhì)就不會顯磁性。當(dāng)這些分子電流的取向出現(xiàn)某種有規(guī)則的排列時，就會對外界產(chǎn)生一定的磁效應(yīng)，顯示出物質(zhì)的磁化狀態(tài)。 用近代的觀點看，安培假說中的分子電流，可以看成是由分子中電子饒原子核的運動和電子與核本身的自旋運動產(chǎn)生的。 三、磁與電之

8、間聯(lián)系：在歷史上很長的一段時間內(nèi)，電學(xué)與磁學(xué)的研究一直是彼此獨立地發(fā)展的，直到19世紀(jì)20年代，人們才認(rèn)識到電與磁之間的聯(lián)系。1820年7月21日丹麥物理學(xué)家Oersted首先發(fā)現(xiàn)電流的磁效立。（Oersted在課堂上做的演示實驗，原意在于證明電與磁之間沒有聯(lián)系，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)） 1820年10月30日法國物理學(xué)家Biot與Savart發(fā)表了長直導(dǎo)線通有電流時產(chǎn)生磁場的實驗，并從數(shù)學(xué)上找出了電流元產(chǎn)生磁場的公式。 1821年英國物理學(xué)家Faraday開始研究把“磁變成電”，經(jīng)過十年的努力，在1831年發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象。 1866年，在英國曼徹斯特制成了世界上第一臺直流發(fā)電機。 此時

9、，人們才逐漸認(rèn)識到電與磁之間的聯(lián)系，到20世紀(jì)初，由于科學(xué)技術(shù)的進步和原子結(jié)構(gòu)理論的建立與發(fā)展，認(rèn)識到磁場也是物質(zhì)存在的一種形式，磁力是運動電荷之間的一種作用力。此時，人們進一步認(rèn)識到磁場現(xiàn)象起源于電荷的運動，磁力就是運動電荷之間的一種相互作用力。磁現(xiàn)象與電現(xiàn)象之間有密切的聯(lián)系。電與磁相互聯(lián)系的實驗：1、 載流導(dǎo)體附近的磁針，會受引力作用而偏轉(zhuǎn)(Oersted)2、 放在蹄形鐵兩極間的載流導(dǎo)線，也會受力運動 3、載流導(dǎo)線之間也有相互作用力安培發(fā)現(xiàn)4、載流線圈對磁針有作用5、運動電荷通過磁極之間時會受到力的作用小結(jié)：l 電荷（不論靜止還是運動）在其周圍空間激發(fā)電場，而運動電荷在其周圍空間還要激發(fā)

10、磁場；l 在電磁場中，靜止的電荷只受到電場力的作用，而運動的電荷除了受到電場力的作用之外，還將受到磁場力的作用；l 一切磁現(xiàn)象起源于電荷的運動，磁場力就是運動電荷之間的一種相互作用力。*由于運動和靜止是相對的,同一客觀存在的場,在某一坐標(biāo)系中表現(xiàn)為電場,而在另一坐標(biāo)系中卻表現(xiàn)為磁場。磁性起源和電、磁本質(zhì)的統(tǒng)一性運動電荷既能產(chǎn)生磁效應(yīng)，也能受磁力的作用。一切磁現(xiàn)象都起源于電荷的運動。它們之間的相互作用力均為運動電荷之間的作用力。例子：計算機科技與電磁技術(shù)（1）存儲器 磁芯、Floppy and Hard disk、MO機等；（2）微型電機；（3）CRT顯示器；§11-1 磁場 磁感應(yīng)強

11、度Magnetic Field, Magnetic Induction一、磁場 Magnetic Field 運動電荷之間的磁力作用是這樣進行的？在歷史上曾經(jīng)有兩種觀點。一種是超距觀點，一種是場的觀點。 磁場：運動電荷（或電流）周圍空間存在的一種特殊形式的物質(zhì)。在運動電荷的周圍空間，除了產(chǎn)生電場外，還要產(chǎn)生磁場。運動電荷之間的相互作用是通過磁場進行的。磁場是物質(zhì)存在的一種形式。磁場物質(zhì)性：l 表現(xiàn)之一是磁場對磁體、運動電荷或載流導(dǎo)線有磁力的作用；l 表現(xiàn)之二是載流導(dǎo)線在磁場中運動時，磁力要作功，從而顯示出磁場具有能量。二、磁感應(yīng)強度Magnetic Induction1引言：小磁針在磁場中受力

12、的大小和方向與小磁針的位置有關(guān)，因而需要一個既具有大小又有方向的物理量來定量描述磁場。由于磁場對小磁針的作用本質(zhì)上是磁場對運動電荷的作用，因而可以根據(jù)實驗運動電荷在磁場中的受力情況來研究磁場。2實驗表明：1）運動電荷所受的磁場力不僅與運動電荷的電量q和速度有關(guān)，而且還與運動電荷的運動方向有關(guān)，且磁場力總是垂直于速度的；2）在磁場中的任一點存在一個特殊的方向，當(dāng)電荷沿此方向或其反方向運動時所受的磁場力為零，與電荷本身的性質(zhì)無關(guān)，而且這個方向就是自由小磁針在該點平衡時北極的指向；3）在磁場中的任一點，當(dāng)電荷沿與上述方向垂直的方向運動時，電荷所受到的磁場力最大（計為Fm），并且Fm與電荷q的比值是與

13、q、v無關(guān)的確定值，比值Fm/qv是位置的函數(shù)。3磁感應(yīng)強度的定義：由實驗結(jié)果可知，磁場中任一點都存在一個特殊的方向和確定的比值Fm/qv，與實驗運動電荷的性質(zhì)無關(guān)，它們分別客觀地反映了磁場在該點的方向特征和強弱特征。為了描述磁場的性質(zhì)，可據(jù)此定義一個矢量函數(shù)B，規(guī)定它的大小為 即以單位速率運動的單位正電荷所受到的磁力。其方向為放在該點的小磁針平衡時N極的指向。B稱為磁感應(yīng)強度。4磁感應(yīng)強度的單位： 在SI制中 F 牛頓N q 庫侖C v 米/秒 m·s-1則 B特斯拉 T Tesla1T=1N·A-1·m-1在工程中，磁感應(yīng)強度的單位有時還用：高斯（Gauss）

14、G 1G=10-4T，1T=104G幾種常見的磁場的數(shù)量級：地球磁場 0.5×10-4T 一般永磁體 1×10-2T 大型磁鐵 2T 超導(dǎo)材料 103 (強電流)赤道 0.3×10-4T 兩極 0.6×10-4T 心臟 0.3×10-9T脈沖星 1×108T原子核 1×104T5均勻磁場 Uniform Magnetic field：B的大小，方向都一致的磁場 非均勻磁場 Non-Uniform magnetic field：不符合上述條件的磁場。§112 畢奧薩伐爾定律Biot-savart law 本節(jié)討論穩(wěn)恒

15、電流產(chǎn)生磁場的規(guī)律。一、Biot-savart定律1引入： 在計算任意帶電體在空間某點的電場強度時，可把帶電體分成無限多個電荷元，先求出每個電荷元在該點產(chǎn)生的電場強度，再按場強疊加原理就可以計算出帶電體再該點產(chǎn)生的電場強度（）。對于穩(wěn)恒電流產(chǎn)生磁場的計算問題，可把穩(wěn)恒電流分成無限多個電流元，先求出每個電流元在該點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度，再按場強疊加原理就可以計算出帶電體再該點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度（）問題：？2BiotSavartLaplace定律 1820年10月30日（在距Oersted報道電流磁效應(yīng)不到三個月），法國的Biot和Savart在法國科學(xué)院發(fā)表文章，從實驗中分析了電流和磁效應(yīng)之間的關(guān)系。

16、如圖所示，小磁針轉(zhuǎn)動強弱反應(yīng)該點磁感應(yīng)強度的大小。實驗發(fā)現(xiàn)： 1.大，小， 2.大，大，結(jié)論：不久，Laplace假定，電流由電流元組成：l 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度與I成正比；l 磁感應(yīng)強度的大小與電流元的表觀長度成正比；l 磁感應(yīng)強度的大小與r的平方成反比。 在實驗上基礎(chǔ)上經(jīng)科學(xué)抽象得到：在載流導(dǎo)線上取電流元，空間任一點P，該點的磁感應(yīng)強度為，與矢徑的夾角為，實驗表明，真空中 在SI制中，k=0/4，其中0=4×10-7N·A-2為真空磁導(dǎo)率。故 的方向：即的方向(右手螺旋法則確定)寫成矢量形式為 或 其中為矢徑方向上的單位矢量。這就是BiotSavartLaplace定律，也

17、稱為BiotSavartLaplace定律。3任意載流導(dǎo)線在P點的磁感應(yīng)強度為 4說明：l 該定律是在實驗的基礎(chǔ)上抽象出來的，不能由實驗直接加以證明，但是由該定律出發(fā)得出的一些結(jié)果，卻能很好地與實驗符合。l 電流元的方向即為電流的方向；l 3.的方向由確定，即用右手螺旋法則確定；l BiotSavartLaplace定律是求解電流磁場的基本公式，利用該定律，原則上可以求解任何穩(wěn)恒載流導(dǎo)線的磁感應(yīng)強度。二、Biot-Savart定律應(yīng)用舉例：解題步驟：l 根據(jù)已知電流的分布與待求場點的位置，選取合適的電流元；l 選取合適的坐標(biāo)系。要根據(jù)電流的分布與磁場分布的的特點來選取坐標(biāo)系，其目的是要使數(shù)學(xué)運

18、算簡單；l 根據(jù)所選擇的坐標(biāo)系，按照BiotSavartLaplace定律寫出電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度；l 由疊加原理求出磁感應(yīng)強度的分布；l 一般說來，需要將磁感應(yīng)強度的矢量積分變?yōu)闃?biāo)量積分，并選取合適的積分變量，來統(tǒng)一積分變量。由于數(shù)學(xué)上的困難，下面僅計算幾個基本而又典型的穩(wěn)恒電流產(chǎn)生磁場問題。典型例題：兩種基本電流周圍的磁感應(yīng)強度的分布：載流直導(dǎo)線；圓電流。 例1.（課本P131）載流長直導(dǎo)線的磁場（1）一段載流直導(dǎo)線的磁場解：建立如圖坐標(biāo)系，在載流直導(dǎo)線上，任取一電流元Idz，由畢薩定律得元電流在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為：方向為。所有電流元在P點產(chǎn)生的磁場方向相同，所以求總磁感強度的積

19、分為標(biāo)量積分，即： （1）由圖得：,因此：此外，代入（1）可得：討論：（1）無限長直通電導(dǎo)線的磁場：，方向？（2）半無限長直通電導(dǎo)線的磁場：（3）其他例子、 （4）解題的關(guān)鍵：確定電流起點的和電流終點的。例2:（課本P132）圓形載流導(dǎo)線軸線上的磁場） 設(shè)在真空中，有一半徑為 R ，通電流為 I 的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，求其軸線上距圓心 O 為 x 處的P點的磁感應(yīng)強度。解：建立坐標(biāo)系如圖，任取電流元，由畢薩定律得：方向如圖：，所有形成錐面。將進行正交分解：，則由由對稱性分析得：，所以有：因為 常量，所以 因為 所以 方向：沿 x 軸正方向，與電流成右螺旋關(guān)系。討論：（1）圓心處的磁場：，。（

20、2）當(dāng)即P點遠(yuǎn)離圓環(huán)電流時，P點的磁感應(yīng)強度為：。例1載流長直導(dǎo)線周圍的磁場： Magnetic Field around a long straight carrying-current wire問題：設(shè)有一載流長直導(dǎo)線CD放在真空中，通過導(dǎo)線的電流為I，試求此長直導(dǎo)線旁任一點P的磁感應(yīng)強度，已知P點與長直導(dǎo)線間的垂直距離為a。解：如圖所示建立坐標(biāo)系，在z處取一電流元Idz，則此電流元在P點的磁感應(yīng)強度的大小為： 方向：，沿X軸負(fù)向因為CD上各電流元在P點的方向相同，所以CD在P點的大小為 下面首先把各變量轉(zhuǎn)化為的函數(shù)： , 因而 即一段直導(dǎo)線電流磁場公式為 說明：(1)角的定義： 1：從P

21、O轉(zhuǎn)到電流起點C時，PO與PC的夾角； 2：從PO轉(zhuǎn)到電流終點D時，PO與PD的夾角。(2)正負(fù)的規(guī)定 取正：的旋轉(zhuǎn)方向與電流的流向相同 取負(fù)：的旋轉(zhuǎn)方向與電流的流向相反 (3)對于無限長直線：1=-/2，2=/2 （方向可用右手螺旋法則判定） 這與早期的Biot-savart實驗一樣，間接地證明Biot-savart定律。 (4)半無限長直導(dǎo)線：1=0，2=/2 （5）若場點在導(dǎo)線的延長線上，則有B=0。注意： aP點與電流的垂直距離 的方向由確定例2圓形載流導(dǎo)線軸線上的磁場： Magnetic Field of circular current wire問題：在真空中有一半徑為R的載流導(dǎo)線

22、，通過的電流為I，試求通過圓心并垂直圓形導(dǎo)線平面的軸線上任意一點P的磁感應(yīng)強度。解：如圖所示建立坐標(biāo)系，取電流，在P點的大小為 由于，所以，因而 的方向垂直于與組成的平面。設(shè)與X軸夾角為。 把分解為平行于X軸的分量和垂直于X軸的分量，即 平行于X軸的分量 垂直于X軸的分量由于電流分布的軸對稱性可知垂直于X軸的分量的和為零，因而P點的為 由于 對于給定P點，為常數(shù)，故 因為 故 （方向可用右手螺旋法則判定）方向：沿X軸正向說明： (1)圓心處：x=0 (2)一段圓?。海e分可得圓心處的磁感應(yīng)強度為 (3)另一側(cè)：方向也是相同的。 (4)對于無窮遠(yuǎn)點：x >> R， 用圓電流的面積S=

23、R2表示，則為 (5)用圓電流的磁矩（即磁偶極矩）表示 設(shè)平面圓電流，其面積為S，電流為I，平面正法矢單位矢量為，與電流成右螺旋關(guān)系：定義圓電流的磁矩定義為： 將磁矩的定義代入前式，則有 x=0時， 注意：只有當(dāng)圓電流的面積很小時，或場點距圓電流很遠(yuǎn)時，才能把圓電流叫磁偶極子，這時即為磁偶極子的磁短，上式即為磁偶極子在極軸上所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。三、磁偶極矩1. 定義圓電流的磁矩，如果電流回路為N 匝線圈，則載流線圈的總磁矩為：2. 磁偶極子及磁偶極磁場當(dāng)圓電流的半徑很小或討論遠(yuǎn)離圓電流處的磁場分布時，把圓電流稱為磁偶極子，產(chǎn)生的磁場稱為磁偶極磁場。磁偶極子磁矩為：磁偶極矩磁場為：分子、原子、電

24、子、質(zhì)子等都可以等效為圓電流（具有磁矩）。地球可以等效為大磁偶極子，磁矩大小為：8.0×1022A·m2例3載流直螺線管軸線上的磁場問題：有一長為L，半徑為R的載流密繞螺線管，總匝數(shù)為N，管中電流為I，設(shè)把螺管放在直空中，求管內(nèi)軸線上一點磁感強度。解：由于螺線管上線圈是密繞的，每匝線圈可近似當(dāng)作閉合的圓形電流，于是軸線上任意一點P的磁感應(yīng)強度可以認(rèn)為是N個圓電流在該點各自產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的迭加，現(xiàn)取軸線上點P 為坐標(biāo)原點O，并以軸線為OX軸，在線管上取長為的一小段，匝數(shù)為 ndl，其中n=N/l為單位長度的匝數(shù)，這一小段載流線圈相當(dāng)于通有電流為的圓形電流，它在0x軸上P點的

25、大小為 沿OX軸正向考慮螺線管上各小段載流在OX軸上點P所產(chǎn)生的方向相同，均沿OX軸正向，所以整個載流螺線管在P 的應(yīng)為各小段載流線圈在該點的迭加。 為了計算方便，用代替x 代入上式： 討論：(1)若P點位于管內(nèi)軸線中點則：， 代入得 若，即螺線管可視為無限長，則可得管內(nèi)與軸線上中點處大小為 若螺線管為無限長，則有1=，2=0 的方向：沿OX軸正向(2)若點P位于半無限長載流螺線管一端1=/2，2=0或1=/2，2=則 其值為軸線上中點處的值的一半。（3）長直螺線管內(nèi)軸線上磁感應(yīng)強度分布如圖所示。從圖中可以看出，長直螺線管內(nèi)中部的磁場可以看成是均勻的。直電流、圓電流以及螺線管軸線上的磁場是幾種典型的磁場，以它們?yōu)榛A(chǔ)，只要對磁場的疊加原理靈活運用