一元二次方程試題和答案

1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一、選擇題1. (2020南通)假設(shè)3是關(guān)于方程a?-5.y+c=0的一個(gè)根，那么那個(gè)方程的另一個(gè)根是()A、-2B、2C、-5D、5分析：由根與系數(shù)的關(guān)系，即3加另一個(gè)根等于5,計(jì)算得.解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)另一個(gè)根為x,那么3+x=5,即x=2.應(yīng)選B.點(diǎn)評：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，從兩根之和動(dòng)身計(jì)算得.2. (2020南昌，9,3分)已知戶1是方程¥+幾-2:0的一個(gè)根，那么方程的另一個(gè)根是()C.-2D.-1分析：依照根與系數(shù)的關(guān)系得出對.”£二-2,即可得出另一根的值.a解答：解：.石1是方程+6*-2=0的一個(gè)根，.氏心導(dǎo)-2

2、,.1乂心=-2,那么方程的另一個(gè)根是：-2,應(yīng)選C.點(diǎn)評：此題要緊考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出兩根之積求出另一根是解決問題的關(guān)鍵.3. (2020湖北荊州,9,3分)關(guān)于x的方程ax二一(3a+l)x+2(a+1)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根治、x:,且有Xi-XiX：+x：na,那么a的值是()A、1B、-1C、1或一1D、2分析：依照根與系數(shù)的關(guān)系得出x,+x廣一ba,x區(qū)二ca,整理原式即可得出關(guān)于a的方程求出即可.解答：解:依題意>(),即(3a+l)s-8a(a+1)>0,即£2a+l>0,(a1)二>0,aRl,關(guān)于x的方程ax-(3a+l)

3、x+2(a+1)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1、x”且有Xx-xix：+x2=l-a,，xt+xz-xix：=l-a,/3a+la-2a+2a=1一a,解得：a二±1,又aWl,a二一1.應(yīng)選：B.點(diǎn)評：此題要緊考查了根與系數(shù)的關(guān)系，由AX1X2+X2T-a,得出X1+X2-xX2=l-a是解決問題的關(guān)鍵.4. （2020湖北咸寧，6,3分）假設(shè)關(guān)于x的方程x2-2x+m=O的一個(gè)根為-1,那么另一個(gè)根為（）A、-3B、-1C、1D、3分析：設(shè)方程另一個(gè)根為xi，依照一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系取得xi+（-1）=2,解此方程即可.解答：解：設(shè)方程另一個(gè)根為X,xi+（-1）=2,解得xi

4、=3.應(yīng)選D.點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a翔）的根與系數(shù)的關(guān)系：假設(shè)方程的兩根別離為Xi，X2，那么X1+X2=-畜XpX2=.5. （2020貴港）假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-2=0的一個(gè)根為-1,那么另一個(gè)根為（）A、1B、-1C、2D、-2分析：依照一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系X1X2言來求方程的另一個(gè)根.解答：解：設(shè)XI、X2是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-2=0的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理,得XlX2=-2,即-X2=-2,解得，X2=2.即方程的另一個(gè)根是2.應(yīng)選C.hC點(diǎn)評：此題要緊考查了根與系數(shù)的關(guān)系.在利用根與系數(shù)的關(guān)系Xl+X2=-五、XIX2=&

5、#163;時(shí)，要注意等式中的a、b、c所表示的含義.6. （2020年四川省綿陽市，12,3分）假設(shè)X"x2<X1<x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a<b）的兩個(gè)根，那么實(shí)數(shù)xi，X2,a,b的大小關(guān)系為（）A、xi<x2<a<bB>xj<a<x2<bC、x）<a<b<x2D、a<X<b<x2.分析:因?yàn)閄I和X2為方程的兩根，因此知足方程（x-a）（x-b）=1,再有已知條件X|VX2、aVb可取得xi,x2,a,b的大小關(guān)系.解答:解：,.卬和X2為方程的兩根，（xi-a）（xi

6、b）=1且（X2-a）（xz-b）=1,/（xi-a）和（xib）同號且（X2-a）和（X2-b）同號;Vxj<x2>，（xja）和（X一b）同為負(fù)號而（x?-a）和（x2-b）同為正號，可得：x】一aVO且x1-bVO,x】Va且x】Vb,/.x）<a,x2a>0且x?b>0,AX2>a且X2>b,，X2>b,綜上可知a,b,xhX2的大小關(guān)系為：xi<a<b<xz.故選c.點(diǎn)，汽此題考查了一元二次方程根的情形，假設(shè)XI和X2為方程的兩根那么代入必然知足方程，關(guān)于此題要把握同號兩數(shù)相乘為正：異號兩數(shù)相乘為負(fù).7（2020年江西

7、省，5,3分）已知x=l是方程x2+bx2=0的一個(gè)根，那么方程的另一個(gè)根是（）C.-2D.-1分析：依照根與系數(shù)的關(guān)系得出x1X2=-2,即可得出另一根的值.解答：解：.x=l是方程x?+bx2=0的一個(gè)根，XX2=-2,Alxx2=-則方程的另一個(gè)根是：一2,故選C.點(diǎn)評：此題要緊考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出兩根之積求出另一根是解決問題的關(guān)鍵.8. （2020湖北武漢，5,3分）假設(shè)不，也是一元二次方程f+4x+3=0的兩個(gè)根，那么加也的值是（）A.4B.3C.-4D.-3分析：依照一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系mX2=£解答并作出選擇.a解答：解：一元二次方程:+4.r

8、+3=0的二次項(xiàng)系數(shù)”=1,常數(shù)項(xiàng)c=3,.c.JV|*X2=3.a應(yīng)選艮點(diǎn)評：此題要緊考查了根與系數(shù)的關(guān)系.解答此題時(shí)，注意，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系q%2=£中的a與c的意義.a二、填空題1. （2020江蘇蘇州，15,3分）巳知a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式（a-b）（a+b-2）+ab的值等于.考點(diǎn).根與系數(shù)的關(guān)系.專題:計(jì)算題.分析:欲求（a-b）（a+b-2）+ab的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式,代入數(shù)值計(jì)算即可.解答:解：.飛、b是一元二次方程x2-2x-l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，ab=-1»a+b=2»

9、;(ab)(a+b2)+ab=(a-b)(2-2)+ab=O+ab=-1»故答案為：一1.點(diǎn)用:此題要緊考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種常常利用的解題方式.2. (2020江蘇鎮(zhèn)江常州，12,3分)已知關(guān)于a-的方程/+叩-6=0的一個(gè)根為2,那么m=j,另一個(gè)根是-3.分析：依照一元二次方程的解概念，將m2代入關(guān)于x的方程，+吹-6=0,然后解關(guān)于相的一元一次方程；再依照根與系數(shù)的關(guān)系Xl+X2=-2解出方程的另一個(gè)根.a解答：解：依照題意，得4+2加6=0,即2m-2=0,解得，/=1；由韋達(dá)定理，知X+X2=-»?;2+X2=-1f解

10、得，X2=-3.故答案是：1.-3.點(diǎn)評：此題要緊考查了一元二次方程的解.根與系數(shù)的關(guān)系.在利用根與系數(shù)的關(guān)系Xl+X2=I)c.XQ=來計(jì)算時(shí)，要弄清楚ab.C的意義.aa3. (2020山東日照，14,4分)如圖，在以AB為直徑的半圓中，有一個(gè)邊長為1的內(nèi)接正方形CDEF,那么以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是一如：x?-后x+l=0.分析:連接AD,BD,OD,由AB為直徑與四邊形DCFE是正方形，即可證得ACDADCB,那么可求得ACBC=DCZ1,又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB,依照根與系數(shù)的關(guān)系即可求得答案.注意此題答案不唯一.解答：解：連接AD,BD,OD,

11、VAB為直徑，:.ZADB=90°,.四邊形DCFE是正方形，ADC1AB,:.ZACD=ZDCB=90°,:.ZADC+ZCDB=ZA+ZADC=90°,，NA=NCDB,AAACDADCB,.ACDC,DCBC'又正方形CDEF的邊長為1,vac>bc=dc2=lVAC+BC=AB>在RSOCD中，OC2+CD2=OD2,.-.OD=,2，AC+BC=AB=、后，以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是X2-y/5x+l=O.故答案為：此題答案不唯一，如：x2-V5x+l=o.點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)和根與系數(shù)的關(guān)

12、系.此題屬于開放題，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.4. （2020德州，14,4分）假設(shè)xi，X2是方程x?+x-1=0的兩個(gè)根，那么xj+x?：.分析：先依照根與系數(shù)的關(guān)系求出X1+X2和X1X2的值，再利用完全平方公式對所求代數(shù)式變形，然后把X1+X2和X1-X2的值整體代入計(jì)算即可.解答：解：xi，X2是方程x?+x-1=0的兩個(gè)根，bc.X1+X2="=-1,X1*X2=-1,aaAXi*"+X2"=（X1+X2）2-2xieX2=（-1）2-2x（-I）=1+2=3.故答案是：3.點(diǎn)評：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式.解題的關(guān)鍵是先求出X1+X2

13、和X1X2的值.5. （2020四川眉山，17,3分）已知一元二次方程）2-3y+l=O的兩個(gè)實(shí)數(shù)根別離為以、2,那么（），1-1）（”-1）的值為-1.分析：先依照一元二次方程），2-3y+l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根別離為yi、丫2,求出yi+y2及yiy2的值，再代入（A-1）（*-1）進(jìn)行計(jì)算即可.解答：解：一元二次方程y-3y+l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根別離為），/.”，w+j2=3，yry2=,/（yi-1）（光-1）,=yij2-y-V2+b=yij2-（V1+J2）+1，=1-3+1,=-1.故答案為：-1.點(diǎn)評：此題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及代數(shù)式求值，假設(shè)XI，X2是一元二次bc方

14、程ax、bx+c=0（a翔）的兩根時(shí)，xi+x?=，xiX2=.aa6. （2020四川瀘州，16,3分）已知關(guān)于x的方程好+（2-1）.葉/一2=0的兩實(shí)根的平方和等于11,那么女的值為.分析：由題意設(shè)方程（2%+程/-2=0兩根為和M，得xi+m=（2+1）,xi*x2=k2一2,然后再依照兩實(shí)根的平方和等于11,從而解出k值.解答：解：設(shè)方程方程+（2"l）x+k2-2=0設(shè)其兩根為X1，X2,得X+X2=-（2k+l）,XieX2=k2-2»9=(2k+l)2-4x(k2-2)=4k+9>0,Ak>-,4Vxj2+X22=11>:.(x)+X2)2

15、2xieX2=ll»：(2k+l)22(k2-2)=11,9解得k=1或-3：,故答案為*=1.4點(diǎn)評：此題應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題，利用兩根的和與兩根的積表示兩根的平方和，把求未知系數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為解方程的問題.7. (2020四川遂寧，12,4分)假設(shè)乂1、*2是方程*2-2x-5=0的兩根，那么x/+xiX2+X22=.分析：由于方程x2-2x-5=O的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為X|,X2,因此直接利用根與系數(shù)的關(guān)系即可取得兩根之和和兩根之積，然后利用完全平方公式就能夠夠求出X+XX2+X22的值.解答：解：*.*XhX2是方程X?-2x-5=0的兩根,.*.X1+X2=2,X1*X

16、2=-5,X12+X1X2+X22=(X1+X2)2-X1X2=4+5=9.故答案為9.點(diǎn)評：此題要緊考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種常常利用的解題方式.8. (2020四川省宜賓市.，12,3分)已知一元二次方程5=0兩根為、b,那么5+(的值是分析：依照根與系數(shù)的關(guān)系，取得a+b=6,ab=-5,把a(bǔ)+b和ab的值代入化簡后的代數(shù)式,求出代數(shù)式的值.答案：解：:.a,b是一元二次方程的兩根，a+b=6tab=-5,= To 吩=6-56故答案是：一5.解：:七，b是一元二次方程的兩根,，a+b=6,ab=-5,= 吩=+6-5故答案是：一6-5點(diǎn)評：此題考

17、查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出代數(shù)式的值.9. （2020杭州，15,4分）已知分式-J”,當(dāng)m2時(shí)，分式無心義，那么”=：當(dāng)廠-5/+?！癡6時(shí)，使分式無心義的x的值共有一個(gè).分析：依照分式無心義的條件：分母等于零求解.解答：解：由題意，知當(dāng)x=2時(shí)，分式無心義，分母=爐-5x+a=22-5x2+a=-6+«=0,/4=6；當(dāng)X25x+</=0時(shí)，=524</=25,:a<6,.方程/一5x+“=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即X有兩個(gè)不同的值使分式.二3無心義.x-5x+t/故當(dāng)“V6時(shí)，使分式無心義的x的值共有2個(gè).故答案為6,2.點(diǎn)評：此

18、題要緊考查了分式無心義的條件及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.（2）中要求當(dāng)"V6時(shí)，使分式無心義的a-的值的個(gè)數(shù),確實(shí)是判別當(dāng)。<6時(shí),一元二次方程1-5x+=0的根的情形.10. （2020廣西賓客，17,3分）已知一元二次方程/+如2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根別離是玉石.那么玉=分析：依照一元二次方程ax?+bx+c=0（a翔）的根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)方程的兩根別離為xi,X2,那么X|+X2=4,X|X2號即可取得答案.解答：解：一元二次方程x2+mx-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根別離為xi，X2，._2X1-2.故答案為-2.點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a翔）的根與系數(shù)的關(guān)

19、系：設(shè)方程的兩根別離、，uC為X1,X2，那么X+X2=-f，Xi*X2=.三、解答題1.（2020湖北潛江，17,6分）假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程9Tr+J3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為占、X2,且知足片=3小，試求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根及k的值.bc分析：依照根與系數(shù)的關(guān)系（不+*=,xrx2=-）列出等式，再由已知條件。aa聯(lián)立組成三元一次方程組，然后解方程組即可.解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得Ai4-A2=4，X"2=k3（2分）又."1=3必，聯(lián)立、，解方程組得'（4分）、工2=1，k=xi/2+3=3xl+3=6（5分）答：方程兩根為Xi=3,X2=l：k=6.（6分）

20、I）c點(diǎn)評：此題要緊考查了根與系數(shù)的關(guān)系：小+也=，M應(yīng)=一.解答此題時(shí)，必然要弄aa清楚韋達(dá)定理中的“、b、。的意義.2. （2020南充，18,8分）關(guān)于的一元二次方程x2+2x+k+l=0的實(shí)數(shù)解是xi和X2.（1）求k的取值范圍：（2）若是XI+X2-xix2<-1且k為整數(shù)，求k的值.分析：（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必需知足aub?-4acN）,從而求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得Xl+X2=-2,XlX2=k+l.再代入不等式X1+X2-XIX2V-1，即可求得k的取值范圍，然后依照k為整數(shù)，求出k的值.解答：解：（1）.方程有實(shí)數(shù)根，/.A=22

21、-4(k+1)>0,解得k£0.故K的取值范圍是ksO.（2）依照一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得X|+X2=-2,x1X2=k+lX1+X2-xiX2=-2-（k+1）.由已知，得-2-（k+1）<-1,解得k>-2.又由（1）k<0,.-2<k<0.k為整數(shù)，Ak的值為-1和0.點(diǎn)評：此題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系.在運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，必然要注意其前提是此方程的判別式>0.3. （2020湖南張家界，23,8）閱讀材料:bc若是X、X2是一元二次方程ax、bx+c=0（aM）的兩根，那么，x+占=，2八=一.這

22、a"a確實(shí)是聞名的韋達(dá)定理.此刻咱們利用韋達(dá)定明白得決問題：已知m與n是方程2x1 m + n 3（2） + - = -=2.m n mn 3點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a翔）的根與系數(shù)的關(guān)系：假設(shè)方程的兩根別 bc離為X, X2，那么須+&=一一，$ 占=一 a a4. （2020湖北孝感，22, 10分）已知關(guān)于x的方程-2（&-1）的垢=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根同，刀2（1）求k的取值范圍:-6x+3=0的兩根<1）填空：m+n=,m*n=：（2）計(jì)算,的值.mn分析：（1）直接依照韋達(dá)定理計(jì)算即可取得m+n和mn：（2）先把變形，用m+n和

23、mn表示，然后把（1）的值整體代入進(jìn)行計(jì)算即可.解答：解：（1）答案為3,2（2）假設(shè)h+x2l=xiX2-1,求k的值.分析：（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得=及-4位女），代入可解出上的取值范陽：（2）結(jié)合（1）中左的取值范圍，由題意可知，蟲+也=2（k-）<0,去絕對值號結(jié)合等式關(guān)系，可得出人的值.解答：解：（1）由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得=b2-4"c=4（k-1）2-4k2>0,解得，kJ:2（2）依據(jù)題意可得，xi+A2=2（%-1）,由（1）可知仁2：.2（）V0,，-2（）=必一,解得女1=1（舍去），&2=-3,:k的值是-3.答：（1）A的取值范圍是

24、太上：（2）&的值是-3.2點(diǎn)評：此題要緊考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式相結(jié)合解題是一種常常利用的解題方式；注意k的取值范闈是正確解答的關(guān)鍵.5. （2020玉林，20,6分）已知：xi、X2是一元二次方程x?-4x+l的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.求：（X1+X2），（+）的值.王4分析：先依照一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系確信出XI與X2的兩根之積與兩根之和的值，再依照_L+_L=+i士士即可解答.Xxx2X|X2解答：解：一元二次方程x2-4x+l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是XI、X2，/Xl+X2=4»X1*X2=1>（X1+X2）4-（1）_梳再+/中2=42-

25、?4=4.點(diǎn)評：此題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題型.6. （2020貴州遵義，24,10分）有四張卡片（反面完全相同），別離寫有數(shù)字一、二、一一、一2,把它們反而朝上洗勻后，甲同窗抽取一張記下那個(gè)數(shù)字后放回洗勻，乙同窗再從中抽出一張，記下那個(gè)數(shù)字，用字母b、c別離表示甲、乙兩同窗抽出的數(shù)字。（1）用列表法求關(guān)于X的方程/+x+c=0有實(shí)數(shù)解的概率：（2）求（1）中方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解的概率?！究键c(diǎn)】列表法與樹狀圖法；根的判別式.分析（1）依照題意列表，然后依照表格求得所有等可能的結(jié)果與關(guān)于x的方程x2+bx+c=0有實(shí)數(shù)解的情形數(shù)，依照即可概率公式求解：（2）首先求得（1）中方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解的情況，然后即可根據(jù)概率公式求解.【解答】解：（1）列表得：(1,-2)(2,-2)(一1,-2)(一2,-2)(1,-1)(2,1)(-1,-1)(一2,-1)(1,2)(2,2)(一1,2)(-2,2)(1,1)1)(一1,1)