一元二次方程試題和答案

1、一元二次方程根與系數的關系一、選擇題1. (2020南通)假設3是關于方程a?-5.y+c=0的一個根，那么那個方程的另一個根是()A、-2B、2C、-5D、5分析：由根與系數的關系，即3加另一個根等于5,計算得.解答：解：由根與系數的關系，設另一個根為x,那么3+x=5,即x=2.應選B.點評：此題考查了根與系數的關系，從兩根之和動身計算得.2. (2020南昌，9,3分)已知戶1是方程¥+幾-2:0的一個根，那么方程的另一個根是()C.-2D.-1分析：依照根與系數的關系得出對.”£二-2,即可得出另一根的值.a解答：解：.石1是方程+6*-2=0的一個根，.氏心導-2

2、,.1乂心=-2,那么方程的另一個根是：-2,應選C.點評：此題要緊考查了一元二次方程根與系數的關系，得出兩根之積求出另一根是解決問題的關鍵.3. (2020湖北荊州,9,3分)關于x的方程ax二一(3a+l)x+2(a+1)=0有兩個不相等的實根治、x:,且有Xi-XiX：+x：na,那么a的值是()A、1B、-1C、1或一1D、2分析：依照根與系數的關系得出x,+x廣一ba,x區(qū)二ca,整理原式即可得出關于a的方程求出即可.解答：解:依題意>(),即(3a+l)s-8a(a+1)>0,即£2a+l>0,(a1)二>0,aRl,關于x的方程ax-(3a+l)

3、x+2(a+1)=0有兩個不相等的實根x1、x”且有Xx-xix：+x2=l-a,，xt+xz-xix：=l-a,/3a+la-2a+2a=1一a,解得：a二±1,又aWl,a二一1.應選：B.點評：此題要緊考查了根與系數的關系，由AX1X2+X2T-a,得出X1+X2-xX2=l-a是解決問題的關鍵.4. （2020湖北咸寧，6,3分）假設關于x的方程x2-2x+m=O的一個根為-1,那么另一個根為（）A、-3B、-1C、1D、3分析：設方程另一個根為xi，依照一元二次方程根與系數的關系取得xi+（-1）=2,解此方程即可.解答：解：設方程另一個根為X,xi+（-1）=2,解得xi

4、=3.應選D.點評：此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a翔）的根與系數的關系：假設方程的兩根別離為Xi，X2，那么X1+X2=-畜XpX2=.5. （2020貴港）假設關于x的一元二次方程x2-mx-2=0的一個根為-1,那么另一個根為（）A、1B、-1C、2D、-2分析：依照一元二次方程的根與系數的關系X1X2言來求方程的另一個根.解答：解：設XI、X2是關于x的一元二次方程x2-mx-2=0的兩個根,由韋達定理,得XlX2=-2,即-X2=-2,解得，X2=2.即方程的另一個根是2.應選C.hC點評：此題要緊考查了根與系數的關系.在利用根與系數的關系Xl+X2=-五、XIX2=&

5、#163;時，要注意等式中的a、b、c所表示的含義.6. （2020年四川省綿陽市，12,3分）假設X"x2<X1<x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a<b）的兩個根，那么實數xi，X2,a,b的大小關系為（）A、xi<x2<a<bB>xj<a<x2<bC、x）<a<b<x2D、a<X<b<x2.分析:因為XI和X2為方程的兩根，因此知足方程（x-a）（x-b）=1,再有已知條件X|VX2、aVb可取得xi,x2,a,b的大小關系.解答:解：,.卬和X2為方程的兩根，（xi-a）（xi

6、b）=1且（X2-a）（xz-b）=1,/（xi-a）和（xib）同號且（X2-a）和（X2-b）同號;Vxj<x2>，（xja）和（X一b）同為負號而（x?-a）和（x2-b）同為正號，可得：x】一aVO且x1-bVO,x】Va且x】Vb,/.x）<a,x2a>0且x?b>0,AX2>a且X2>b,，X2>b,綜上可知a,b,xhX2的大小關系為：xi<a<b<xz.故選c.點，汽此題考查了一元二次方程根的情形，假設XI和X2為方程的兩根那么代入必然知足方程，關于此題要把握同號兩數相乘為正：異號兩數相乘為負.7（2020年江西

7、省，5,3分）已知x=l是方程x2+bx2=0的一個根，那么方程的另一個根是（）C.-2D.-1分析：依照根與系數的關系得出x1X2=-2,即可得出另一根的值.解答：解：.x=l是方程x?+bx2=0的一個根，XX2=-2,Alxx2=-則方程的另一個根是：一2,故選C.點評：此題要緊考查了一元二次方程根與系數的關系，得出兩根之積求出另一根是解決問題的關鍵.8. （2020湖北武漢，5,3分）假設不，也是一元二次方程f+4x+3=0的兩個根，那么加也的值是（）A.4B.3C.-4D.-3分析：依照一元二次方程的根與系數的關系mX2=£解答并作出選擇.a解答：解：一元二次方程:+4.r

8、+3=0的二次項系數”=1,常數項c=3,.c.JV|*X2=3.a應選艮點評：此題要緊考查了根與系數的關系.解答此題時，注意，一元二次方程的根與系數的關系q%2=£中的a與c的意義.a二、填空題1. （2020江蘇蘇州，15,3分）巳知a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的兩個實數根，那么代數式（a-b）（a+b-2）+ab的值等于.考點.根與系數的關系.專題:計算題.分析:欲求（a-b）（a+b-2）+ab的值，先把此代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式,代入數值計算即可.解答:解：.飛、b是一元二次方程x2-2x-l=0的兩個實數根，ab=-1»a+b=2»

9、;(ab)(a+b2)+ab=(a-b)(2-2)+ab=O+ab=-1»故答案為：一1.點用:此題要緊考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種常常利用的解題方式.2. (2020江蘇鎮(zhèn)江常州，12,3分)已知關于a-的方程/+叩-6=0的一個根為2,那么m=j,另一個根是-3.分析：依照一元二次方程的解概念，將m2代入關于x的方程，+吹-6=0,然后解關于相的一元一次方程；再依照根與系數的關系Xl+X2=-2解出方程的另一個根.a解答：解：依照題意，得4+2加6=0,即2m-2=0,解得，/=1；由韋達定理，知X+X2=-»?;2+X2=-1f解

10、得，X2=-3.故答案是：1.-3.點評：此題要緊考查了一元二次方程的解.根與系數的關系.在利用根與系數的關系Xl+X2=I)c.XQ=來計算時，要弄清楚ab.C的意義.aa3. (2020山東日照，14,4分)如圖，在以AB為直徑的半圓中，有一個邊長為1的內接正方形CDEF,那么以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是一如：x?-后x+l=0.分析:連接AD,BD,OD,由AB為直徑與四邊形DCFE是正方形，即可證得ACDADCB,那么可求得ACBC=DCZ1,又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB,依照根與系數的關系即可求得答案.注意此題答案不唯一.解答：解：連接AD,BD,OD,

11、VAB為直徑，:.ZADB=90°,.四邊形DCFE是正方形，ADC1AB,:.ZACD=ZDCB=90°,:.ZADC+ZCDB=ZA+ZADC=90°,，NA=NCDB,AAACDADCB,.ACDC,DCBC'又正方形CDEF的邊長為1,vac>bc=dc2=lVAC+BC=AB>在RSOCD中，OC2+CD2=OD2,.-.OD=,2，AC+BC=AB=、后，以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是X2-y/5x+l=O.故答案為：此題答案不唯一，如：x2-V5x+l=o.點評：此題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質和根與系數的關

12、系.此題屬于開放題，注意數形結合與方程思想的應用.4. （2020德州，14,4分）假設xi，X2是方程x?+x-1=0的兩個根，那么xj+x?：.分析：先依照根與系數的關系求出X1+X2和X1X2的值，再利用完全平方公式對所求代數式變形，然后把X1+X2和X1-X2的值整體代入計算即可.解答：解：xi，X2是方程x?+x-1=0的兩個根，bc.X1+X2="=-1,X1*X2=-1,aaAXi*"+X2"=（X1+X2）2-2xieX2=（-1）2-2x（-I）=1+2=3.故答案是：3.點評：此題考查了根與系數的關系、完全平方公式.解題的關鍵是先求出X1+X2

13、和X1X2的值.5. （2020四川眉山，17,3分）已知一元二次方程）2-3y+l=O的兩個實數根別離為以、2,那么（），1-1）（”-1）的值為-1.分析：先依照一元二次方程），2-3y+l=0的兩個實數根別離為yi、丫2,求出yi+y2及yiy2的值，再代入（A-1）（*-1）進行計算即可.解答：解：一元二次方程y-3y+l=0的兩個實數根別離為），/.”，w+j2=3，yry2=,/（yi-1）（光-1）,=yij2-y-V2+b=yij2-（V1+J2）+1，=1-3+1,=-1.故答案為：-1.點評：此題考查的是一元二次方程根與系數的關系及代數式求值，假設XI，X2是一元二次bc方

14、程ax、bx+c=0（a翔）的兩根時，xi+x?=，xiX2=.aa6. （2020四川瀘州，16,3分）已知關于x的方程好+（2-1）.葉/一2=0的兩實根的平方和等于11,那么女的值為.分析：由題意設方程（2%+程/-2=0兩根為和M，得xi+m=（2+1）,xi*x2=k2一2,然后再依照兩實根的平方和等于11,從而解出k值.解答：解：設方程方程+（2"l）x+k2-2=0設其兩根為X1，X2,得X+X2=-（2k+l）,XieX2=k2-2»9=(2k+l)2-4x(k2-2)=4k+9>0,Ak>-,4Vxj2+X22=11>:.(x)+X2)2

15、2xieX2=ll»：(2k+l)22(k2-2)=11,9解得k=1或-3：,故答案為*=1.4點評：此題應用一元二次方程根與系數的關系解題，利用兩根的和與兩根的積表示兩根的平方和，把求未知系數的問題轉化為解方程的問題.7. (2020四川遂寧，12,4分)假設乂1、*2是方程*2-2x-5=0的兩根，那么x/+xiX2+X22=.分析：由于方程x2-2x-5=O的兩個實數根為X|,X2,因此直接利用根與系數的關系即可取得兩根之和和兩根之積，然后利用完全平方公式就能夠夠求出X+XX2+X22的值.解答：解：*.*XhX2是方程X?-2x-5=0的兩根,.*.X1+X2=2,X1*X

16、2=-5,X12+X1X2+X22=(X1+X2)2-X1X2=4+5=9.故答案為9.點評：此題要緊考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種常常利用的解題方式.8. (2020四川省宜賓市.，12,3分)已知一元二次方程5=0兩根為、b,那么5+(的值是分析：依照根與系數的關系，取得a+b=6,ab=-5,把a+b和ab的值代入化簡后的代數式,求出代數式的值.答案：解：:.a,b是一元二次方程的兩根，a+b=6tab=-5,= To 吩=6-56故答案是：一5.解：:七，b是一元二次方程的兩根,，a+b=6,ab=-5,= 吩=+6-5故答案是：一6-5點評：此題考

17、查的是一元二次方程根與系數的關系，利用根與系數的關系求出代數式的值.9. （2020杭州，15,4分）已知分式-J”,當m2時，分式無心義，那么”=：當廠-5/+?！癡6時，使分式無心義的x的值共有一個.分析：依照分式無心義的條件：分母等于零求解.解答：解：由題意，知當x=2時，分式無心義，分母=爐-5x+a=22-5x2+a=-6+«=0,/4=6；當X25x+</=0時，=524</=25,:a<6,.方程/一5x+“=0有兩個不相等的實數根，即X有兩個不同的值使分式.二3無心義.x-5x+t/故當“V6時，使分式無心義的x的值共有2個.故答案為6,2.點評：此

18、題要緊考查了分式無心義的條件及一元二次方程根與系數的關系.（2）中要求當"V6時，使分式無心義的a-的值的個數,確實是判別當。<6時,一元二次方程1-5x+=0的根的情形.10. （2020廣西賓客，17,3分）已知一元二次方程/+如2=0的兩個實數根別離是玉石.那么玉=分析：依照一元二次方程ax?+bx+c=0（a翔）的根與系數的關系：設方程的兩根別離為xi,X2,那么X|+X2=4,X|X2號即可取得答案.解答：解：一元二次方程x2+mx-2=0的兩個實數根別離為xi，X2，._2X1-2.故答案為-2.點評：此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a翔）的根與系數的關

19、系：設方程的兩根別離、，uC為X1,X2，那么X+X2=-f，Xi*X2=.三、解答題1.（2020湖北潛江，17,6分）假設關于x的一元二次方程9Tr+J3=0的兩個實數根為占、X2,且知足片=3小，試求出方程的兩個實數根及k的值.bc分析：依照根與系數的關系（不+*=,xrx2=-）列出等式，再由已知條件。aa聯(lián)立組成三元一次方程組，然后解方程組即可.解答：解：由根與系數的關系，得Ai4-A2=4，X"2=k3（2分）又."1=3必，聯(lián)立、，解方程組得'（4分）、工2=1，k=xi/2+3=3xl+3=6（5分）答：方程兩根為Xi=3,X2=l：k=6.（6分）

20、I）c點評：此題要緊考查了根與系數的關系：小+也=，M應=一.解答此題時，必然要弄aa清楚韋達定理中的“、b、。的意義.2. （2020南充，18,8分）關于的一元二次方程x2+2x+k+l=0的實數解是xi和X2.（1）求k的取值范圍：（2）若是XI+X2-xix2<-1且k為整數，求k的值.分析：（1）方程有兩個實數根，必需知足aub?-4acN）,從而求出實數k的取值范圍；（2）先由一元二次方程根與系數的關系，得Xl+X2=-2,XlX2=k+l.再代入不等式X1+X2-XIX2V-1，即可求得k的取值范圍，然后依照k為整數，求出k的值.解答：解：（1）.方程有實數根，/.A=22

21、-4(k+1)>0,解得k£0.故K的取值范圍是ksO.（2）依照一元二次方程根與系數的關系，得X|+X2=-2,x1X2=k+lX1+X2-xiX2=-2-（k+1）.由已知，得-2-（k+1）<-1,解得k>-2.又由（1）k<0,.-2<k<0.k為整數，Ak的值為-1和0.點評：此題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系.在運用一元二次方程根與系數的關系解題時，必然要注意其前提是此方程的判別式>0.3. （2020湖南張家界，23,8）閱讀材料:bc若是X、X2是一元二次方程ax、bx+c=0（aM）的兩根，那么，x+占=，2八=一.這

22、a"a確實是聞名的韋達定理.此刻咱們利用韋達定明白得決問題：已知m與n是方程2x1 m + n 3（2） + - = -=2.m n mn 3點評：此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a翔）的根與系數的關系：假設方程的兩根別 bc離為X, X2，那么須+&=一一，$ 占=一 a a4. （2020湖北孝感，22, 10分）已知關于x的方程-2（&-1）的垢=0有兩個實數根同，刀2（1）求k的取值范圍:-6x+3=0的兩根<1）填空：m+n=,m*n=：（2）計算,的值.mn分析：（1）直接依照韋達定理計算即可取得m+n和mn：（2）先把變形，用m+n和

23、mn表示，然后把（1）的值整體代入進行計算即可.解答：解：（1）答案為3,2（2）假設h+x2l=xiX2-1,求k的值.分析：（1）方程有兩個實數根，可得=及-4位女），代入可解出上的取值范陽：（2）結合（1）中左的取值范圍，由題意可知，蟲+也=2（k-）<0,去絕對值號結合等式關系，可得出人的值.解答：解：（1）由方程有兩個實數根，可得=b2-4"c=4（k-1）2-4k2>0,解得，kJ:2（2）依據題意可得，xi+A2=2（%-1）,由（1）可知仁2：.2（）V0,，-2（）=必一,解得女1=1（舍去），&2=-3,:k的值是-3.答：（1）A的取值范圍是

24、太上：（2）&的值是-3.2點評：此題要緊考查了一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式相結合解題是一種常常利用的解題方式；注意k的取值范闈是正確解答的關鍵.5. （2020玉林，20,6分）已知：xi、X2是一元二次方程x?-4x+l的兩個實數根.求：（X1+X2），（+）的值.王4分析：先依照一元二次方程根與系數的關系確信出XI與X2的兩根之積與兩根之和的值，再依照_L+_L=+i士士即可解答.Xxx2X|X2解答：解：一元二次方程x2-4x+l=0的兩個實數根是XI、X2，/Xl+X2=4»X1*X2=1>（X1+X2）4-（1）_梳再+/中2=42-

25、?4=4.點評：此題考查的是一元二次方程根與系數的關系，是一道基礎題型.6. （2020貴州遵義，24,10分）有四張卡片（反面完全相同），別離寫有數字一、二、一一、一2,把它們反而朝上洗勻后，甲同窗抽取一張記下那個數字后放回洗勻，乙同窗再從中抽出一張，記下那個數字，用字母b、c別離表示甲、乙兩同窗抽出的數字。（1）用列表法求關于X的方程/+x+c=0有實數解的概率：（2）求（1）中方程有兩個相等實數解的概率。【考點】列表法與樹狀圖法；根的判別式.分析（1）依照題意列表，然后依照表格求得所有等可能的結果與關于x的方程x2+bx+c=0有實數解的情形數，依照即可概率公式求解：（2）首先求得（1）中方程有兩個相等實數解的情況，然后即可根據概率公式求解.【解答】解：（1）列表得：(1,-2)(2,-2)(一1,-2)(一2,-2)(1,-1)(2,1)(-1,-1)(一2,-1)(1,2)(2,2)(一1,2)(-2,2)(1,1)1)(一1,1)