最全的圓錐曲線軌跡方程求法

1、最全的圓錐曲線軌跡方程求法圓錐曲線軌跡方程的解法目錄一題多解錯(cuò)誤！未定義書簽。一.直接法錯(cuò)誤！未定義書簽。二.相關(guān)點(diǎn)法錯(cuò)誤！未定義書簽。三.幾何法錯(cuò)誤！未定義書簽。4 .參數(shù)法錯(cuò)誤！未定義書簽。5 .交軌法錯(cuò)誤！未定義書簽。6 .定義法錯(cuò)誤！未定義書簽。一題多解設(shè)圓C: (x-1) 2+y2=1,過原點(diǎn)O作圓的任意弦OQ求所對(duì)弦 的中點(diǎn)P的軌跡方程。一.直接法設(shè)P (x,y ) , O渥圓C的一條弦，P是OQ勺中點(diǎn)，則CPLOQ x?0,設(shè) OC 中點(diǎn)為 M(),則 |MP|=|OC|=,得(x ) 2+y2=(x?0), 即點(diǎn)P的軌跡方程是(x-) 2+y2= (0 <x<1)o

2、二.定義法 /OPC=90 , 動(dòng)點(diǎn)P在以M()為圓心，OS直徑的圓(除 去原點(diǎn)O)上，|OC|=1,故P點(diǎn)的軌跡方程為(x-) 2+y2=(0<x<1)三.相關(guān)點(diǎn)法設(shè) P (x,y ) ,Q(x1,y1),其中 x1-0, .x1=2x,y1=2y,而(x11) 2+y2=1 (2x 1)2+2y2=1，又 x1?0,. .x?0,即(x ) 2+y2=(0<x<1)四.參數(shù)法設(shè)動(dòng)弦PQ的方程為y=kx,代入圓的方程(x1) 2+kx2=1,即(1+k2) x2 2x=0,設(shè)點(diǎn)P (x,y ),則消去 k 得(x ) 2+y2=(0<x<1)另解 設(shè) Q點(diǎn)

3、(1+cos 0 ,sin 0 ),其中 cos 0 # 1,P(x,y),則消去 0 得(x ) 2+y2=(0<x<1)課本中主要介紹的方法。若命題中所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與已知條件 能直接發(fā)生關(guān)系，這時(shí)，設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)后，就可根據(jù)命題中的已 知條件研究動(dòng)點(diǎn)形成的幾何特征，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用幾何或代數(shù)的基本 公式、定理等列出含有、的關(guān)系式。從而得到軌跡方程，這種求軌跡 方程的方法稱為直接法。例題1等腰三角形的定點(diǎn)為，底邊一個(gè)端點(diǎn)是，求另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方 程。練習(xí)一1.已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足。求點(diǎn)的軌跡方程。2 .線段AB的長(zhǎng)等于2a,兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求AB中點(diǎn)P的軌跡

4、方程？3 .動(dòng)點(diǎn)P (x,y )到兩定點(diǎn)和的距離的比等于 2 (即：)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程？4 .動(dòng)點(diǎn)P到一高為h的等邊 ABC兩頂點(diǎn)A B的距離的xx等于它到頂點(diǎn)C的距離平方，求點(diǎn)P的軌跡?* 5.點(diǎn)與一定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是。求點(diǎn)的軌 跡方程，并說明軌跡是什么圖形。 7.已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)，A B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足/ APB=90 ,求矩形APBQ勺頂點(diǎn)Q的軌跡方程。8.過原點(diǎn)作直線和拋物線交于 A B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的 軌跡方程。二.相關(guān)點(diǎn)法利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它，那么可尋它們 坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解， 就得到原動(dòng)點(diǎn)的 軌跡。

5、例題2已知一條長(zhǎng)為6的線段兩端點(diǎn)A B分別在X、Y軸xx滑動(dòng)，點(diǎn)M在線段ABxx,且AM : MB=1 : 2 ,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。練習(xí)二1 .已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn) M的軌跡方程。2 .設(shè)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)。求點(diǎn)M的軌跡方程。3 .設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，當(dāng)點(diǎn)P在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程。4 .已知4ABC勺頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A在曲線上運(yùn)動(dòng), 求ABC!心G的軌跡方程。5 .已知A、B D三點(diǎn)不在同一條直線上，且、，,求E點(diǎn)的軌跡方程。6. ABC的xxAB BC CA的長(zhǎng)成等比數(shù)列，且，點(diǎn) B、C坐標(biāo)分別為、，求定點(diǎn) A的軌跡方程。7 .已知點(diǎn)，P是圓Q

6、上任意一點(diǎn)，P在x軸上的射影為Q ,，動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為C,求軌跡C的方程。8 .已知橢圓xx任意一點(diǎn)P,由點(diǎn)P向x軸作垂線xxPQ垂足為Q，點(diǎn)M在PQxx且，點(diǎn)M的軌跡為C,求曲線C的方程9 .如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn) 的軌跡方程。10 .已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線 相交于A B兩點(diǎn)。 若動(dòng)點(diǎn)M滿足(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)M的軌跡方程；(II )在軸上是否存在定點(diǎn)C,使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由三.幾何法求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的幾何特征與平面幾何中的定理及有關(guān) 平面幾何知識(shí)有著直接或間接的聯(lián)系，且利用平面幾何的知識(shí)

7、得到包 含已知量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的等式，化簡(jiǎn)后就可以得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程， 這 種求軌跡方程的方程的方法稱為幾何法。例題3已知定點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，/ AOP勺平分線交于Q點(diǎn)，其中 O為原點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程。練習(xí)三1.如圖，在正方體 ABCD-A1B1C1D1xxP是側(cè)面BC1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線。2.已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是，過點(diǎn)C的直線CA與X軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與Y軸交于點(diǎn)B。設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程。3.已知經(jīng)過點(diǎn)的直線，經(jīng)過的直線為，若，求與交點(diǎn) S的軌跡 方程。4 .求圓心在拋物線()上，并且與拋物線

8、的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程。5 .已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于M N兩點(diǎn)，M俎點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線方程。6 .已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F (1, 0)和直線x=3的距離之和等于4, 求點(diǎn)P的軌跡方程。四.參數(shù)法有時(shí)候很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間關(guān)系。如果借助中間 量（參數(shù)），使之間的關(guān)系建立起聯(lián)系，然后再?gòu)乃笫阶又邢?數(shù)，這便可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。例題4過不在坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的動(dòng)直線交兩坐標(biāo)軸于點(diǎn)A B,過A、B坐標(biāo)軸的垂線交于點(diǎn)P,求交點(diǎn)P的軌跡方程。練習(xí)四1.過點(diǎn)P （2, 4）作兩條互相垂直的直線、，若交 x軸于A6 交八、）y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程

9、。最全的圓錐曲線軌跡方程求法2 .一個(gè)動(dòng)圓的解析式為，求圓心的軌跡方程。3 .過圓Q外一點(diǎn)A (4, 0),作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點(diǎn)M的軌跡。4 .點(diǎn)，B、C是圓上的動(dòng)點(diǎn)，且AB! AC求BC中點(diǎn)P的軌跡方程。五.交軌法求兩條動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，可選擇同一個(gè)參數(shù)及動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) X、Y分別表示兩條曲線方程，然后聯(lián)立消去參數(shù)便得到交點(diǎn)的軌跡 方程，這種方法稱為交軌法。例5已知直線過定點(diǎn)，且是曲線的動(dòng)弦 P1P2的中垂線，求直線與動(dòng) 弦P1P2交點(diǎn)M的軌跡方程。練習(xí)五2.當(dāng)參數(shù)m隨意變化時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方程。3.設(shè)A1、A2是橢圓的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2 的

10、弦的端點(diǎn)。求直線 A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程。4 .已知雙曲線=1 (m>0, n>0)的頂點(diǎn)為A1、A2,與y軸平行的直線交雙曲線于點(diǎn)P、Q。求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程。1.求兩條直線與的交點(diǎn)的軌跡方程。最全的圓錐曲線軌跡方程求法5 .已知橢圓，直線l : , P是Lxx一點(diǎn)，射線O汽橢圓于R,有點(diǎn)Q在OPxx且滿足，當(dāng)P在Lxx移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方 程，并說明軌跡是什么曲線。六.定義法求軌跡方程時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件滿足某種已知曲線(圓、橢圓、 雙曲線、拋物線)的定義，則可以直接根據(jù)定義求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程， 這種求軌跡方程的方法叫定義法。常見已知曲線：(1)圓：

11、到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)(2)橢圓：到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)(大于兩定點(diǎn)的距離)最全的圓錐曲線軌跡方程求法(3)雙曲線：到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于兩定點(diǎn) 的距離)(4)拋物線：到定點(diǎn)與定直線距離相等。例題61 .設(shè)圓的圓心為A,直線過點(diǎn)且與x軸不重合，交圓A于C、D兩 點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E。證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌 跡方程。2 .已知 ABC的頂點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為，C為動(dòng)點(diǎn)，且滿足。求點(diǎn)C的軌跡。練習(xí)六構(gòu)成等差數(shù)列，且，求頂點(diǎn)的軌跡方程。1 .已知圓M ,圓N:,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓 心P的軌跡為曲線a求C的方程。2 .動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離與它到點(diǎn)(2, 1)的距離之比為，則點(diǎn)P的軌跡是什么？3 .點(diǎn)M到點(diǎn)F (4, 0)的距離比它