課題學習最短路徑問題

1、13.4課題學習最短路徑問題教學目標1. 目標：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題， 體會圖形的變化在解決最值問 題中的作用；感悟轉(zhuǎn)化思想2. 能利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“連點之間，線段最短”問題；在探索最算路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想重點：禾I用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“連點之間，線段最短”問題 難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題 教學過程教學內(nèi)容與教師活動學生活 動設(shè)計意圖一、創(chuàng)設(shè)情景引入課題師：前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段 最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線 段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂?/p>

2、問題現(xiàn)實生活 中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探 究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題” （板書）課題學生思 考教師 展示問 題，并觀 察圖片， 獲得感 性認識從生活中問 題出發(fā)，喚 起學生的學 習興趣及探 索欲望二、自主探究合作交流建構(gòu)新知 追冋1:觀祭思考，抽象為數(shù)學冋題 這是一個實際冋題，你打算首先做什么？ 活動1:思考畫圖、得出數(shù)學問題將A，B兩地抽象為兩個點，將河1抽象為一條直線.動手畫 直線為學生提供 參與數(shù)學活 動的生活情B。A觀察口 答鄉(xiāng)J H J 丁亠1 口丨曰 境，培養(yǎng)學 生的把?；?問題轉(zhuǎn)化為 數(shù)學問題的 能力l追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把

3、它抽象為數(shù)學問題嗎？師生活動：學生嘗試回答， 并互相補充，最后達成共識：（1）從A地出發(fā)，到河邊I飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A,B連 接起來的兩條線段的長度之和，就是從 A地 到飲馬地點，再回到B地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問題是怎 樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線 I上的點.設(shè)C為 直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當點 C在I的 什么位置時，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）.動手連 線觀察口 答經(jīng)歷觀察- 畫圖-說理 等活動，感 受幾何的研 究方法，培 養(yǎng)學生的邏 輯思考能 力.活動2:嘗試解決數(shù)學問題問題2 :如圖，點A，B在直線I的同側(cè)，點C是直線

4、 上的一個動點，當點C在I的什么位置時，AC與CB的和 最??？追問1你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條 件的點B'嗎？B獨立思 考合作交流匯報交 流成果, 書寫理由達到軸對稱 知識的學以 致用注意問題解 決方法的小 結(jié)：抓對稱 性來解決思考感 悟活動1 中的將 軍飲馬 問題，把 剛學過 的方法 經(jīng)驗遷 移過來及時進行學 法指導，注 重方法規(guī)律 的提煉總結(jié).學生獨 立完成， 集體訂 正學以致用, 及時鞏固問題3如圖，點A, B在直線I的同側(cè)，點C是直線 上的一個動點，當點C在I的什么位置時，AC與CB的和 最??？師生活動：學生獨立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相 補充如果學生有困

5、難，教師可作如下提示 作法：（1）作點B關(guān)于直線I的對稱點B'（2）連接AB，與直線I相交于點C,則點C即為所求. 如圖所示：學生獨 立完成， 集體訂 正經(jīng)歷觀察- 畫圖-說理 等活動，感 受幾何的研 究方法，培 養(yǎng)學生的邏 輯思考能 力.注意問題解 決方法的小 結(jié)：抓軸對 稱來解決問題3你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎?教師展示：證明：如圖，在直線I上任取一點C （與點 C不重合），連接AC，BC，B' C'.由軸對稱的性質(zhì)知，BC =B C, BC =B ' C AC +BC=AC +B ' C = AB '，AC ' +BC=

6、AC ' +B' C互相交 流解題 經(jīng)驗提煉思想方 法：軸對稱, 線段和最短方法提煉：將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”.問題4'獨立完 成，交流 經(jīng)驗觀察思 考，動手 畫圖，用 軸對稱 知識進 行解決體會轉(zhuǎn)化思 想，體驗軸對稱 知識的應用練習 如圖，一個旅游船B大橋AB的P處前往山腳下的 Q處接游客，然后將游客送往河岸 BC上，再返回P處，請 畫出旅游船的最短路徑.基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接 PQ 線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一 條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P，Q在直線BC的同側(cè), 如何在BC上找到一點R,使PR與QR的

7、和最小”.問題5造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋 MN喬早在何處才能使從 A到B的路徑AMN最短？（假定河 的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）思維分析：1、如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和 BN,從A到B的路徑是AM+MN+B那么怎樣確定什么情況 下最短呢？各抒己 見動手體驗合作與 交流動手作圖2、禾U用線段公理解決問題我們遇到了俘障礙呢？思維點撥：改變 AM+MN+B的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？ 什么圖形變換能幫助我們呢？（估計有以下方法）1、把A平移到岸邊2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.教師：上述方法都能做到使AM+MN+

8、B不變呢？請檢驗.1、2兩種方法改變了 .怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或 上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢 ？問題解決：如圖，平移 A到A1,使A A1等于河寬，連接 A1B交河岸于N作橋MN,此時路徑AM + MN+BN最 短. 理由；另任作橋MINI,連接AM1,BN1,A INI . 由平移性質(zhì)可知，AM=A1N,AA1=MN = M1N1,AM1=A1N1. AM+MN+B轉(zhuǎn)化為 AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1 轉(zhuǎn)化為AA1+ A1N1+BN1 . 在A1N1B中，由線段公理知 A1N1+BNA A1B 因此 AM1+M1N1 + BN1 > AM+MN+BN如0

9、 圖所示：A交流體 會體驗轉(zhuǎn)化思 想Ai*M、 MiJ11方法提煉：7、 7將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“線段和最小問題N 1教學內(nèi)容與教師活動學生活 動設(shè)計意圖三、鞏固訓練1、最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求.如圖所示，點A, B分別是直線l異側(cè)的兩個點，在1上找一個點 C,使CA + CB最短，這時點 C是直線1與AB的交點.A ,(2)求直線冋側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點， 則與該直線的交點即為所求.如圖所示，點A, B分別是直線l同側(cè)的兩個點，在

10、1上找一個點 C,使CA + CB最短，這時先作點B關(guān)于直線l的對稱點B',則點C 是直線1與AB'的交點.學生獨 立思考 解決問 題鞏固所學知 識，增強學 生應用知識 的能力，滲 透轉(zhuǎn)化思 想.X V I1込2.如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一 座橋MN和PQ橋分別建在何處才能使從 A到B的路徑最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直)如圖，問題中所走總路徑是 AM+MN+NP+RQB .橋 MN和PQ 在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線 段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè) 先走橋長.平移的方法有三種：兩個橋長都平

11、移到A點處、都 平移到B點處、MN平移到A點處，PQ平移到B點處獨立思 考，合提煉方法， 為課本例題 奠定基礎(chǔ).作a.交四、反思小結(jié)布置作業(yè)自由發(fā)總結(jié)回顧學小結(jié)反思-_:言,相習內(nèi)容，幫(1)本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？互借助學生歸納(2)軸對稱在所研究問題中起什么作用？鑒.自反思所學知解決問題中，我們應用了哪些數(shù)學思想方法？我評識及思想方你還有哪些收獲？價法.作業(yè)布置、課后延伸關(guān)注學生的必做題：課本P93-15題；選做題：生活中，你發(fā)現(xiàn)那些需要 用到本課知識解決的最短路徑問題個體差異.板書設(shè)計：13.4最短路徑問題兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂

12、線段取短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}. 方法提煉：將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“線段和最小問題”教學反思：第2課時 含30°角的直角三角形的性質(zhì)2能靈活運用含30。角的直角三角形的性質(zhì)定理解決有關(guān)問題.（難點）一、情境導入問題：1. 我們學習過直角三角形，直角三角形的角之間都有什么數(shù)量關(guān)系？2. 用你的30°角的直角三角尺，把斜邊和30°角所對的直角邊量一量， 你有什么發(fā)現(xiàn)? 今天，我們先來看一個特殊的直角三角形，看它的邊角具有什么性質(zhì).二、合作探究探究點：含30°角的直角三角形的性質(zhì)【類型一】 利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長D 如圖

13、，在 Rt ABC中, / ACB= 90°, / B= 30°, CD是斜邊 AB上的高，AD= 3cm, 則AB的長度是（）A. 3cm B . 6cm C. 9cm D . 12cm解析：在 Rt ABC中，T CD是斜邊 AB上的高，./ ADC= 90°,./ ACD= / B= 30°在 Rt ACD中, AC= 2AD= 6cm 在 Rt ABC中，AB= 2AG= 12cm. / AB的長度是 12cm.故選 D.【類型二】與角平分線或垂直平分線性質(zhì)的綜合運用12如圖,AO圧/ BO圧 15°, PC/ OA交 OB于 C, P

14、D丄 OA于 D 若 PC= 3,貝U PD方法總結(jié)：運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時，要分清線段所在的直角三角形.等于（）A. 3 B . 2 C . 1.5 D . 1解析：如圖，過點 P 作 PEL OB于 E T PC/ OAAOP= / CPO/ PCE= Z BOP-/ CPO= Z BOZ AOP= Z AOB= 30 ° .又 t PC= 3, a PE= |pC= | x 3 = 1.5. tZ AOP= Z BOPPDL OA a PD= PE= 1.5.故選 C.方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運用時，關(guān)

15、鍵是尋 找或作輔助線構(gòu)造含 30°角的直角三角形.【類型三】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)探究線段之間的倍、分關(guān)系D如圖，在 ABC中，/ C= 90°, AD是/ BAC勺平分線，過點 D作DEL AB DE恰好 是/ ADB的平分線.CD與 DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.解析：由條件先證 AEDA BED得出/ BAD= Z CAD= Z B,求得/ B= 30°,即可得到1CD= 2DB1解：CD= qDB 理由如下：T DEI AB / AED=Z BED= 90° . / DE 是Z ADB的平分線，Z ADE=Z BDE又t

16、DE= DE AEDA BEDASA), AD= BD Z DAE=Z B. tZ BAD=1Z CAD= -Z BAC Z BAD=Z CAD=Z B tZ BADfZ CA9Z B= 90° , / B=Z BAD=Z CAD1 1 1=30° .在 Rt ACC中,tZ CAD= 30°, CD= -AD= -BD 即 CD= qDB方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個重要的依據(jù)，如 果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時，要聯(lián)想此性質(zhì).14【類型四】利用含30°角的直角三角形解決實際問題某市在“舊城改造”中計劃在

17、市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知 AC= 50m AB= 40m Z BAC= 150 ° ,這種草皮每平方米的售價是a元，求購買這種草皮至少需要多少元？解析：作BDL CA交CA的延長線于點 D.在Rt ABD中 ,利用30°角所對的直角邊是斜 邊的一半求BD即厶ABC勺高運用三角形面積公式計算面積求解.解：如圖所示,作 BDL CA于 D 點.tZ BAC= 150 ° ,DAB= 30° . t AB= 40m - BD1 1 2=-AB= 20m -&abc= - x 50 x 20= 500(m ).已知這種草皮每平方米 a元，所以