立體幾何定理集錦

1、（2） 異面直線所成角1. 定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交的兩條直線叫異面直線。2.畫法：借助輔助平面。1. 定義：對(duì)于異面直線a和b，在空間任取一點(diǎn)P，過(guò)P分別作a和b的平行線和，我們把和所成的銳角或者叫做異面直線a和b所成的角。2. 范圍：(0，90】(空間兩條直線所成角范圍：【0，90】)（3） 線面角1. 定義：當(dāng)直線l與平面相交且不垂直時(shí)，叫做直線l與平面斜交，直線l叫做平面的斜線。設(shè)直線l與平面斜交與點(diǎn)M，過(guò)l上任意點(diǎn)A，做平面的垂線，垂足為O，把點(diǎn)O叫做點(diǎn)A在平面上的射影，直線OM叫做直線l在平面上的射影。1.定義：把直線l與其在平面上的射影所成的銳角叫做

2、直線l和平面所成的角。2. 范圍【0，90】（斜線與平面所成角范圍：【0，90】）（三）二面角1. 定義：（1） 半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中每一個(gè)部分叫做半平面。（3） 二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。（4） 二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。1.定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。2. 表示：如下圖，可記作-AB-或P-AB-Q3. 范圍為【0，180】（5

3、） 六種距離1. 點(diǎn)到點(diǎn)的距離：兩點(diǎn)之間的線段PQ的長(zhǎng)。2. 點(diǎn)到線的距離：過(guò)P點(diǎn)作，交于，線段的長(zhǎng)。3. 點(diǎn)到面的距離：過(guò)P點(diǎn)作，交于，線段的長(zhǎng)。 兩條平行線的距離4.線到線的距離： 異面直線的距離：公垂線段PQ， PQ，則 線段PQ的長(zhǎng)。（兩條異面直線有且只有一條公垂線。）5.線到面的距離（/）：過(guò)上一點(diǎn)P作，交于，線段的長(zhǎng)。面到面的距離（/)：過(guò)上一點(diǎn)P作，交于，線段的長(zhǎng)。二證明（位置關(guān)系）（一）點(diǎn)與直線 外（）點(diǎn)在直線 上（） “上”的判定：（1）借助法：公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那它還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線 。（2） 點(diǎn)與平面 外（）點(diǎn)在平面 上（）“上”的

4、判定：（1） 借助法：（線在面上點(diǎn)在面上） （2）借助法：（同一平面內(nèi)點(diǎn)在面上）（3） 直線與平面 上（）： 斜交直線在平面 相交（） 外（） 垂直（） 平行（）“上”的判定：（1） 定義法：直線與平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)。（2）判定法：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（）（3）其它法：公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那它還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線 。（4）其它法：如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)。“垂直”的判定：（1）定義法：如果一條直線和一個(gè)平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線

5、和平面 互相垂直.（2）判定法：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。（線線垂直線面垂直）（3） 推理法：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。（面面垂直線面垂直）（4） 借助法：兩條平行直線，若其中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條必定也垂直于這個(gè)平面。（5） 借助法：一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面?！捌叫小钡呐卸ǎ海?） 定義法：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行。（2） 判定法：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。（線線平行

6、線面平行）（3）推理法：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。（面面平行線面平行）（4）借助法：兩條平行直線，若其中一條平行于一個(gè)平面，則另一條必定也平行于這個(gè)平面。（四）點(diǎn)與點(diǎn)1.不重合2.重合（符合某一共同特征，適合用“同一法”）（5） 直線與直線 不垂直 異面 垂直（異面直線）直線與直線 不垂直 相交 共面 垂直（） 平行（）“異面垂直”的判定：（1） 定義法：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么這兩條異面直線互相垂直。（2）其它法：三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。“共面垂直”的判定：（1） 定義法：如果兩條直線

7、所成的角是直角，那么這兩條直線互相垂直。（2） 推理法：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的任何一條直線。（線面垂直線線垂直）（2）借助法：兩條平行線，若一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線。（3）其它法：三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直。“平行”的判定：（1）定義法：如果兩條直線沒有公共點(diǎn)，那么這兩條直線平行。（2）推理法：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。（線面平行線線平行）（3）推理法：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平

8、行線線平行）（4）借助法：公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行（5）借助法：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。（6） 平面與平面 平行（）平面與平面 不垂直 相交 垂直（）“平行”的判定：（1） 定義法：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，稱兩個(gè)平面平行。（2） 判定法：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。（線面平行面面平行）（3） 借助法：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。“垂直”的判定：（1） 定義法：若兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則稱這兩個(gè)平面垂直。（2）判定法：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。（線面垂直面面垂直）（七）

9、其它1.異面直線的判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。2. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。3. 確定平面公理3：經(jīng)過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面。 推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且僅有一個(gè)平面。推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行線，有且僅有一個(gè)平面。4. 射影長(zhǎng)定理：5. 最小角定理：斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角。6.折疊角公式：三思想方法1. 降維：三維二維2. 有且只有：存在性and唯一性3. 直接證明/間接證明4.

10、 換序（尤其證垂直時(shí)）5. 空間圖形平面化。6. 反證法7. 同一法四心得體會(huì)要把所有的已知條件標(biāo)在圖上，并根據(jù)這些挖掘隱藏條件。5 一些結(jié)論1. 經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條直線和已知平面平行。2. 經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面和已知平面平行。3. 經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知平面垂直。4. 經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)個(gè)平面和已知平面垂直。5. 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知直線平行。6. 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)個(gè)平面和已知直線平行。7. 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知直線垂直。8. 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)個(gè)平面和已知直線垂直。9.如果平面的一條斜線和這個(gè)平面內(nèi)以斜足為頂點(diǎn)的角的兩邊成等角，那么這條斜線在這個(gè)平面上的射影是這個(gè)角的平分線所在直線。10.116 題型總結(jié)1.2. 證明是公垂線：（1） 證明與兩條異面直線都垂直（2） 證明與兩條異面直線都相交 鈍角三角形 Cos最大角03. 證明是 銳角三角形 三個(gè)Cos都0 直角三角形 見平面幾何4. 空間想象點(diǎn)線面的位置關(guān)系：回想判定定理，每個(gè)點(diǎn)一一對(duì)照。5.求角No1.異面直線所成角：（1） 先平移，是兩線在同一平面內(nèi)，成為相交直線。平移一條直線/兩條直線一起平移，分為直接平移法、中點(diǎn)平移法、補(bǔ)形平移法。（2） 交待角，.即為所求角或其補(bǔ)角。（3） 求角，放于一個(gè)三角形中，用余弦