第二章連續(xù)時間傅里葉變換

1、第二章連續(xù)時間傅里葉變換1周期信號的頻譜分析一一傅里葉級數(shù)FS(1)狄義赫利條件：在同一個周期T1內(nèi)，間斷點的個數(shù)有限；極大值和極小值的數(shù)目有限；信號絕對可積T1f (t)dt 。(2)傅里葉級數(shù)：正交函數(shù)線性組合。正交函數(shù)集可以是三角函數(shù)集 1,cosn 1t,sinn 1t：n N或復(fù)指數(shù)函數(shù)集ejn1t:n Z,函數(shù)周期為Ti,角頻率為1 2 f1 oT1(3)任何滿足狄義赫利條件周期函數(shù)都可展成傅里葉級數(shù)。(4)三角形式的FS:(i)展開式：f(t) a0(ancon 1t bn sin n 1t)n 1(ii)系數(shù)計算公式：1(a) 直流分量：a0 一 f (t)dtTi ti(b)

2、 n 次諧波余弦分量：an f (t) cosn 1tdt, n NTi ti(c) n次諧波的正弦分量：bn f (t)sinn 1tdt, n Nn T1T1(iii) 系數(shù)an和bn統(tǒng)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。(iv) 稱L 1/T1為信號的基波、基頻；n%為信號的n次諧波。(v) 合并同頻率的正余弦項得：n和n分別對應(yīng)合并后 n次諧波的余弦項和正弦項的初相位。(vi) 傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系：(5)復(fù)指數(shù)形式的FS:(i) 展開式：f (t) Fnejn 1t n(ii) 系數(shù)計算：Fn f(t)e jn 1tdt, n Z T1T1(iii) 系數(shù)之間的關(guān)系：(iv

3、) Fn關(guān)于n是共扼對稱的，即它們關(guān)于原點互為共知。(v) 正負n ( n非零)處的Fn的幅度和等于cn或dn的幅度。(6)奇偶信號的FS:(i)偶信號的FS：cndnan2、,2-anf(t)cosn1tdt； bnf (t)sinn 1tdt0；nT1T1， n T1T1，n 0 ； n bn 2jFn；n 二；n 0an jbnan f n ( Fn 實，偶對稱)；22(ii) 偶的周期彳t號的FS系數(shù)只有直流項和余弦項。(iii) 奇信號的FS：2a0 an 0 ; bn f(t)sinntdt ； / dnT1 T11,FnF n -jbn ( Fn純虛，奇對稱)；(iv)奇的周期信

4、號的FS系數(shù)只有正弦項。周期信號的傅里葉頻譜：(i) 稱Fn為信號的傅里葉復(fù)數(shù)頻譜，簡稱傅里葉級數(shù)譜或FS譜(ii)稱Fn為信號的傅里葉復(fù)數(shù)幅度頻譜，簡稱FS幅度譜。(iii) 稱n為傅里葉復(fù)數(shù)相位頻譜，簡稱 FS相位譜。(iv)周期信號的FS頻譜僅在一些離散點角頻率n 1 (或頻率nf1)上有值。(v)FS也被稱為傅里葉離散譜，離散間隔為 1 2 /T1。(vi)FS譜、FS幅度譜和相位譜圖中表示相應(yīng)頻譜、頻譜幅度和頻譜相位的離散線段被稱為譜線、幅度譜線和相位譜線，分別表示FS頻譜的值、幅度和相位(vii)連接譜線頂點的虛曲線稱為包絡(luò)線，反映了各諧波處 FS頻譜、幅度譜和相位譜隨分量的變化情

5、況。(viii) 稱cn為單邊譜，表示了信號在諧波處的實際分量大小。(ix)稱Fn為雙邊譜，其負頻率項在實際中是不存在的。正負頻率的頻譜幅度相加，才是實際幅度。(8)周期矩形脈沖序列的FS譜的特點：(i) 譜線包絡(luò)線為 Sa函數(shù)；(ii)譜線包絡(luò)線過零點：(其中1為譜線間隔)：T1n k ,或 n 1 生，k Z,k 0T1即當(dāng) n 1 2k / 時，an Cn Fn 0。(iii)在頻域，能量集中在第一個過零點之內(nèi)。(iv)帶寬 2 /或f 1/只與矩形脈沖的脈寬有關(guān)，而與脈高和周期均無關(guān)。(定義02 /為周期矩形脈沖信號的頻帶寬度，簡稱帶寬)(9)周期信號的功率：Pf(t)|Fn|2n2(

6、10)帕斯瓦爾方程： f2(t)dt FnT1 T1n2非周期信號的頻譜分析傅里葉變換(FT) (1)信號f (t)的傅里葉變換：是信號f(t)的頻譜密度函數(shù)或FT頻譜，簡不為頻譜(函數(shù))。(2)頻譜密度函數(shù) F()的逆傅里葉變換為：f(t) F( )ej td ?F 1 F()2(3)稱e j t為FT的變換核函數(shù)，ej t為IFT的變換核函數(shù)。(4) FT與IFT具有唯一性。如果兩個函數(shù)的FT或IFT相等，則這兩個函數(shù)必然相等。(5) FT具有可逆性。如果 F f(t) F(),則必有F 1 F( ) f(t)；反之亦然。(6)信號的傅里葉變換一般為復(fù)值函數(shù)，可寫成F( ) F( )ej

7、( )(1) 稱F()為幅度頻譜密度函數(shù)，簡稱幅度譜，表示信號的幅度密度隨頻率變化的幅頻特性;(ii)稱()Arg F()為相位頻譜密度函數(shù)，簡稱相位譜函數(shù)，表示信號的相位隨頻率變化的相 頻特性。(7) FT頻譜可分解為實部和虛部：F( ) Fr( ) jFi()(8) FT存在的充分條件：時域信號f(t)絕對可積，即 f(t)dt o注意：這不必要條件。有一些并非絕對可積的信號也有FT。(9) FT及IFT在赫茲域的定義：F( f) f (t)e j2 ftdt ； f (t)F(f )ej2 ftdf(10)比較FS和FT:FSFT分析對象周期信號非周期信號頻率定義域離散頻率，諧波頻率處連

8、續(xù)頻率，整個頻率軸函數(shù)值意義頻率分量的數(shù)值頻率分量的密度值3典型非周期信號的FT頻譜(1)單邊指數(shù)彳t號：f (t) e atu(t)(a 0)幅度譜：F()1, a22a j相位譜：()Arg F( ) Arg 22a單邊指數(shù)信號及其幅度譜、相位譜如圖圖 1 (a)單邊指數(shù)信號arctg a1所示。(b)幅度譜(c)相位譜(2)偶雙邊指數(shù)信號：f(t) e at (a 0)0( a j )t(a j )t11e dt e dt 0a j a j幅度譜：F( )22a 2a相位譜：()02a-2 a2 ,為實偶函數(shù)。偶雙邊指數(shù)信號及其頻譜如圖2所示。圖2 (a)偶雙邊指數(shù)信號(b)頻譜(3)矩

9、形脈沖信號f(t) EG (t)(脈寬為、脈高為E)E sn2! /22 E Sa 5 ,為實函數(shù)幅度譜：|F( ) E Sa 0,也2(2k 1)(對應(yīng)F( ) 0)相位譜：()2(2k 1)4(k 1), (對應(yīng)5( ) 0)矩形脈沖信號及其頻譜如圖3所示。圖3 (a)矩形脈沖信號(b)頻譜矩形脈沖FT的特點：(i) FT 為Sa函數(shù)，原點處函數(shù)值等于矩形脈沖的面積；(ii) FT的過零點位置為2k / (k 0)；(iii) 頻域的能量集中在第一個過零點區(qū)間2 / ,2 /之內(nèi)(iv) 帶寬為B 2 /或Bf 1/ ,只與脈寬 有關(guān)，與脈高 E無關(guān)信號等效脈寬：F(0)/f(0)信號等效

10、帶寬：Bf(b)等效帶寬圖4 (a)信號的等效脈寬(4)符號函數(shù)：不滿足絕對可積條件，但存在FT。幅度譜：F( ) 2相位譜：()/2, /2,符號函數(shù)及其頻譜如圖005所示。圖5 (a)符號函數(shù)(b)頻譜沖激信號：均勻譜/白色譜：頻譜在任何頻率處的密度都是均勻的。強度為E的沖激函數(shù)的頻譜是均勻譜，密度就是沖激的強度。 單位沖激信號及直流信號的頻譜函數(shù)總結(jié)：FT定義FT可逆性FT可逆性IFT定義(6)階躍信號：不滿足絕對可積條件，但存在 FT在0處有一個沖激，該沖激來自u(t)中的直流分量。單位階躍信號及其幅度譜如圖6所示。圖6單位階躍函數(shù)及其幅度譜4 FT的性質(zhì)(1)線性性：Fan fnan

11、F fn(t)線性性包括：齊次性 F af (t) aF f (t);疊加性 F f1(t) f2(t)F f1(t)F f2(t) o奇偶虛實性:偶奇 實偶 實奇偶奇實偶(FT可變?yōu)橛嘞易儞Q)虛奇(FT可變?yōu)檎易儞Q)實信號的FT:(實信號可分解為：實偶 實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)：實偶共扼又t稱：F( ) F*()幅度譜為偶函數(shù)，相位譜為奇函數(shù):虛信號的FT具有奇共扼對稱性：F(+實奇)實偶+j實奇偶共知對稱或奇共知對稱的函數(shù)滿足幅度對稱:實偶EXP(實奇)F( ) F()。實信號或虛信號的 FT幅度譜偶對稱，幅度譜函數(shù)是偶函數(shù)。反褶和共樂性：時域頻域原信號f(t)F()反褶f (-1)F

12、(-)共扼f *(t)F * (-)反褶+共扼f *(-1)F *()*t*j t j t je e ; e對偶性:傅里葉正逆變換的變換核函數(shù)是共羯對稱的:e jtF g()g( )e j td表示按自變量進行傅里葉變換，結(jié)果是的函數(shù)。(6)(8)IFT可以通過 FT來實現(xiàn)。FT的對偶特性：FF(t)若f(t)為偶函數(shù)，則若f為奇函數(shù)，則尺度變換特性：Ff (at)2 f()F F(t) 2 f ();F F(t) 2 f ()。1F - , (a 0) a a此性質(zhì)表明：時域壓縮對應(yīng)頻域擴展、時域擴展對應(yīng)頻域壓縮。時移特性：F f (t t0) F( )e j to F f(t) e j t

13、0時移不影響幅度譜，只在相位譜上疊加一個線性相位。與尺度變換特性綜合：頻移特性:與尺度變換特性綜合：F 1 f - ej 0t/a F a 0 , (a 0)la a頻譜搬移：時域信號乘以一個復(fù)指數(shù)信號后，頻譜被搬移到復(fù)指數(shù)信號的頻率位置處。利用歐拉公式, 微分特性：通過乘以正弦或余弦信號達到頻譜搬移目的。時域微分：F頻域微分:df dtdF()dF()(jt)f(t)如果連續(xù)運用微分特性，則 積分特性：時域積分:tf ( )d(j ) 1F( )F(0)0處有界(或F(0) 0),則Ftf( )d(j ) 1F()頻域積分:F( )df(0) (t)f(t)jt(10)卷積定理：時域卷積定理

14、：Ff1(t)f2(t)F f1(t) Ff2(t)1頻域卷積TE理：Ff1(t)f2(t) F f1F f2(t)2、一 *(11)時域相關(guān)性定理:F Rfi f2 (t)Ffi(t)F f2(t)若f2(t)是實偶函數(shù)，則FRf也(t)F1()F2()。此時，相關(guān)性定理與卷積定理一致。自相關(guān)的傅里葉變換：FRf (t) Ff (t)F*f(t) |F f (t) |2 o即函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)與其幅度譜的平方是一對傅里葉變換對)。2,221(12)帕斯瓦爾定理：|f(t)| dt j |F( )| d |F(2 f)| df5周期信號的FT(1)正余弦信號的FT:余弦信號和正弦信號的頻譜如圖7

15、所示：圖7余弦信號和正弦信號的FT(2) 一般周期信號的FT:(i)設(shè)周期為工的周期信號f(t)在第一個周期內(nèi)的函數(shù)為"(t),則(ii)周期單位沖激序列的FT: F T1(t)1( n 1)11()n(a) FT 的對偶性(ejn 1t2 ( n 1)(b)沖激串 FS 為：T1(t)nejn 1tn(c) FT的線性性(iii) 一般周期信號的FT:1 _ .1 _ ,、(iv) F nF0(n 1) F0(n 1)2Ti(v)關(guān)系圖：圖8非周期信號FT與周期信號FS/FT比較6抽樣信號的FT1 (1)抽樣信號的 FT: Fs( ) F( n s)Tsn(2)理想抽樣前后信號頻譜的變化如圖9所示：(3)結(jié)論1:按間隔Ts進行沖激串抽樣后信號的傅里葉變換，是周期函數(shù)，是原函數(shù)傅里葉變換的Ts分之一按周期 s 2 /Ts所進行的周期延拓。(4)結(jié)論2:時域離散 頻域周期圖9理想抽樣信號的 FT7抽樣定理(1) 抽樣定理：要保證從信號抽樣后的離散時間信號無失真地恢復(fù)原始時間連續(xù)信號(即抽樣不會導(dǎo)致任何信息丟失)，必須滿足：信號是頻帶受限的(信號頻率區(qū)間有限)；采樣率s至少是信號最高頻率的兩倍。概念(名詞)：抽樣周期：進行理想采樣的沖激串的周期Ts。抽樣頻率：fs 1/Ts抽樣角頻率：s 2 /Ts奈奎斯特率：無失真恢復(fù)原信號條件允許的最小抽樣率奈奎斯特間隔：所