尺度函數(shù)與小波的構(gòu)造

1、第三章 尺度函數(shù)與小波的構(gòu)造1 框架 在第一章中，我們將小波變換定義為 （3.1）若滿足 (3.2)那么我們可以從的小波變換重構(gòu) (3.3)如果我們將參數(shù)a和b離散化，令，相應(yīng)的，那么上述變換和反變換函數(shù)將為 （3.4)也就是說(shuō)，我們可以計(jì)算連續(xù)小波變換的離散值 (3.5)現(xiàn)在的問(wèn)題是，離散化時(shí)我們是否丟失了某些關(guān)于信號(hào)的信息，或者說(shuō)，我們是否可以從這些離散值重構(gòu)信號(hào)。在多分辨率逼近中，我們討論了一種最典型的情況，且構(gòu)成的正交歸一基?，F(xiàn)在我們打算一般性地討論這個(gè)問(wèn)題。實(shí)際上，在多尺度邊緣檢測(cè)中，我們已放松了對(duì)正交性的要求。根據(jù)我們即將介紹的框架理論，如存在使 (3.6)則我們說(shuō)集為一個(gè)框架。這

2、樣我們可以構(gòu)造一個(gè)數(shù)值穩(wěn)定的算法，從小波系數(shù)重構(gòu)。不難驗(yàn)證，我們?cè)诙喾直媛时平幸氲男〔?jí)數(shù)只不過(guò)是（3.6）式中A=B=1的特殊情況。一、 框架 若存在使得滿足 (3.7)則我們稱構(gòu)成希爾伯特空間的一個(gè)框架。其中A，B稱為框架界。 若A = B，則我們稱之為緊框架。若A = B = 1,且，那么框架就是正交歸一基。這一結(jié)論很容易證明，令(3.7)式中，則有由于，故上式中。意味著，對(duì)于，即構(gòu)成框架的矢量是兩兩正交的。由此可以看到，正交歸一基確實(shí)只是框架的一種特殊情況。對(duì)于正交歸一基，重構(gòu)很簡(jiǎn)單 (3.8)上式就是我們提到的廣義傅里葉級(jí)數(shù)，但對(duì)于一般的框架而言，重構(gòu)問(wèn)題要復(fù)雜的多。二、 對(duì)偶框

3、架 首先引入對(duì)稱算子的定義：對(duì)任意的，若，則我們稱T1和T2為上的對(duì)稱算子，且將不等式表示為。 可以看到，框架實(shí)際上是定義了一個(gè)從到的映射，即將任意的映射稱為一個(gè)平方可和的序列。我們用 表示之，并稱T為框架算子。 對(duì)于任意一個(gè)平方可和序列,也可映射為一個(gè)函數(shù)，我們稱為的伴隨算子。 顯然，是一個(gè)從到的算子。因?yàn)閷?duì)任意的，我們有 (3.9)由上式可得 從而根據(jù)對(duì)稱算子的定義，我們可以將定義框架的不等式改寫(xiě)為 I為單位算子。 (3.10) 上式說(shuō)明，對(duì)稱算子是有界的，故可定義其逆算子，且逆算子滿足 (3.11)由逆算子及不等式(3.11),我們就可以定義對(duì)偶框架：定義，則構(gòu)成另一個(gè)框架，我們稱其為的

4、對(duì)偶框架。由(3.11)式可見(jiàn)，確實(shí)構(gòu)成一個(gè)框架，且其框架界為和。對(duì)于對(duì)偶框架，我們也可以相應(yīng)地定義框架算子和它的伴隨算子?？蚣芩阕佣x為 (3.12)而且，可以證明：， (3.13)其中，是到T的值域的正交投影算子。為什么我們要引入對(duì)偶框架呢？由(3.13)式可得，從而 （3.14） 上式告訴我們，如構(gòu)成一個(gè)堆積，那么任一 都可由它的內(nèi)積系數(shù)充分描述。因?yàn)榭梢园?3.14)式由這些內(nèi)積系數(shù)去重構(gòu)。由，可得 (3.15) (3.14)和(3.15)式還說(shuō)明對(duì)偶關(guān)系是相互的.即,也是，的對(duì)偶框架.三.重構(gòu)由(3.14)我們看到,由內(nèi)積系數(shù)重構(gòu)的關(guān)鍵是找到，為此，我們定義 （3.16）是一個(gè)從到的

5、算子。具體說(shuō)來(lái)，由上式可得 （3.17）由（3.10）可得 （3.18）由的定義 （3.19）我們先來(lái)討論一種比較簡(jiǎn)單的情況，既緊框架的情況。這時(shí) （3.20）如為 的緊框架，那么重構(gòu)公式從形式上看完全類似于正交展開(kāi)，即 （3.21）對(duì)一般情況，可將寫(xiě)為，從而將寫(xiě)成如下級(jí)數(shù)形式 （3.22）因?yàn)榛?（3.23）（3.22）式所示的級(jí)數(shù)總是收斂的，且越接近1，收斂越快，此時(shí)從而 （3.24）2. 小波框架現(xiàn)在我們知道,如將連續(xù)（或積分）小波變換中的核函數(shù)離散化為,要從連續(xù)小波變換的離散取值重構(gòu)的充分必要條件是構(gòu)成一個(gè)框架，即滿足（3.6）式。關(guān)于小波框架，我們關(guān)心兩個(gè)問(wèn)題：1）對(duì)給定的小波函數(shù)，

6、找出一個(gè)參數(shù),的值域R,當(dāng)時(shí)，構(gòu)成一個(gè)框架；2）對(duì)，計(jì)算框架界A，B的估值。首先，我們介紹下述定理。定理：如對(duì)于構(gòu)成具有框架界A,B的一個(gè)框架，那么 （3.25）與 （3.26）這是通過(guò)指數(shù)伸縮與整數(shù)平移構(gòu)成框架的必要條件。由上述定理不難看到，必須是一個(gè)允許小波。Daubechies很詳盡地研究了產(chǎn)生小波框架時(shí)，、必須滿足的條件，并估計(jì)了相應(yīng)的框架界。有興趣的讀者可參閱有關(guān)文獻(xiàn)。例如墨西哥帽函數(shù)，它是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) (3.27) 前面的系數(shù)是為了使。 墨西哥帽是視覺(jué)分析上常用的小波。當(dāng)， (3.22)式中k的上限為1時(shí),對(duì)各種不同的值，其框架界常數(shù)如表3.1所示。3. 半正交小波我們比較感

7、興趣的是，在構(gòu)成框架界的前提下，如何去計(jì)算其對(duì)偶框架。為此，我們引入伸縮算子和平移算子如下： (3.28)顯然，。從而的對(duì)偶為 (3.29)容易驗(yàn)證，對(duì)于所有 (3.30)故與是可交換的，從而 （3.31）如果與也是可交換的,那么即我們可以象生成一樣，由通過(guò)伸縮和平移得到, 即= 。但非常不幸的是, 與一般說(shuō)來(lái)是不可交換的。故對(duì)偶框架的計(jì)算還是比較繁雜的.當(dāng)然對(duì)于正交歸一基,由(3.11)式可見(jiàn), =I,從而= ，即正交歸一基是自對(duì)偶的。本節(jié)我們要討論半正交小波的對(duì)偶的計(jì)算問(wèn)題。半正交小波的定義：設(shè),如 (3.32)則稱為半正交小波。為了研究半正交小波，我們有必要先了解正交小波的若干性質(zhì)。一

8、正交歸一基 如通過(guò)平移構(gòu)成的函數(shù)族滿足 (3.33)則我們稱是的一個(gè)正交歸一基。我們很容易證明正交歸一的下述兩個(gè)等價(jià)條件 （3.34） (3.35)二Riesz基若 1）、 （3.36） 2）、 存在正常數(shù)A，B， 對(duì)所有的 （3.37）則我們說(shuō)是的Riesz基。稱為 函數(shù)。如是Riesz基。則下面兩個(gè)條件是等價(jià)的。 （3.38） (3.39)三半正交小波的對(duì)偶定理： 令 （3.40）則 (3.41)由此定義知，的對(duì)偶 即對(duì)偶框架可由通過(guò)二進(jìn)收縮和整數(shù)平移得到。由（3.15）式，對(duì)任意 有令則得從而得 將上式與(3.41)比較不難看到，而且不難體會(huì)到，半正交小波不外乎就是將正交性擴(kuò)展為框架函數(shù)和其對(duì)偶框架中的函數(shù)正交。上式還告訴我們?nèi)绾螌胝恍〔ā罢换?。?（3.42）其中是半正交小波，而是由構(gòu)造出來(lái)的