直線和橢圓?？碱}型

1、直線和圓錐曲線?？碱}型運(yùn)用的知識(shí)：r r1、兩條直線li：y kix匕上：丫 k?x b2垂直：則kh1 ；兩條直線垂直，則直線所在的向量 VigV2 02 bc2、韋達(dá)te理：右一兀一次方程ax bx c 0(a 0)有兩個(gè)不同的根x1, x2,則x1x2, x1x2。a a3、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：x x2,y 匚區(qū)，其中x,y是點(diǎn)AM,%), B(x2, y?)的中點(diǎn)坐標(biāo)。 224、弦長(zhǎng)公式：若點(diǎn) A(x(, y1), B(x2,y2)在直線y kx b(k 0)上，則y kx b, y kx2 b ,這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，AB(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(

2、kx1kx2)2(1 3)(人x2)2. (1/)(、)2例題2、過(guò)點(diǎn)T(-1,0)作直線l與曲線N : y2 x交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn) E( xo ,0),使得 ABE是等邊三角形，若存在，求出xo；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線 l:y k(x 1), k 0, A(x1,y1)，B(x2, y2)。由 y2 k(x1)消 y 整理，得 k2x2 (2k2 1)x k2 0 y x由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得 24221_ (2k1) 4k 4k 1 0 即 0 k 洶1 11221212或者 ab 他 x (y y) M(-xi-x&g

3、t;)(1 y2)；(1 初(yy2)J(1尸)(y4丫。V kkY kkk題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系22例題1、已知直線l:y kx 1與橢圓C： 上 1始終有交點(diǎn)，求 m的取值范圍4 m解：1 mH m 4。題型二：弦的垂直平分線問(wèn)題由韋達(dá)定理，得：x1 x22k2 1,2,取2k則線段AB的中點(diǎn)為(2k22,2k 2k111 2k線段的垂直平分線方程為：y 1(x 二)2kk2k211_ 11令 y=0,得 x0 j ,則 E( j -,0)2 k2 2 2k2 2d為咚| AB 。Q ABE為正三角形，11,一E(2 ,0)到直線AB的距離 2k2 2Q AB

4、71;x x2)2 (yiy2y.3 1 1 4k22k21 k21 k22 k39斛信k 滿足式，此時(shí)x013題型三：動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題2 x 例題3、已知橢圓C: Ga0)的離心率為Y從而橢圓的方程為 ,且在x軸上的頂點(diǎn)分別為Ai(-2,0),A2(2,0)。2(I )求橢圓的方程;(II )若直線l:x t(t 2)與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線l上異于點(diǎn)T的任點(diǎn)，直線PA,PA2分別與橢圓交于 并證明你的結(jié)論N點(diǎn),試問(wèn)直線MN是否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)A解：(I)由已知橢圓C的離心率-,a 2,則得 c V3, b 1。2y2 1(II)設(shè) M(x,y1),N(x2, y2),直線AiM的斜率為ki

5、,則直線AM的方程為y ki(x 2),由y2 k1(x 2)消 y 整理得(1 4kl2)x2 16k2x 16kl2 4 0x 4y 4Q 2和x1是方程的兩個(gè)根,2x1216K2 41 4kl2則x122 8k；1 4kl2y14 kl1 4 kl2同理,設(shè)直線Q ypki（t2）, ypk2（t 2）kik2k1k2Q直線MN的方程為:yyiXX1y2yiX2Xi令y=0,得xX2 yiXi y2y1y2,將點(diǎn)M N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：x又 Qt 2,0Q橢圓的焦點(diǎn)為(J3,0)4.33MNi橢圓的焦點(diǎn)。題型四：過(guò)已知曲線上定點(diǎn)的弦的問(wèn)題2 X例題4、已知點(diǎn)A、B C是橢圓E:彳 a

6、2 y b21 (a b 0)上的三點(diǎn),其中點(diǎn)A(2j3,0)是橢圓的右頂點(diǎn),uuur uuir直線BC過(guò)橢圓的中心 O,且ACgBCuuurBClLur2 AC ,如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程;(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q,使得直線PC與直線QC關(guān)于直線xJ3對(duì)稱，求直線PQ的斜率。,且BC過(guò)橢圓的中心Ouur 解：（I） Q BCuuurOCuurACuuur uuirQ ACgBC 0ACO2即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2_8,41萬(wàn))，1 4k12 1 4122A2N的斜率為k2,則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(8k2一-,2-)1 4k2 1 4k222又Q A (2、3,0)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(品串

7、)。Q A(2j3,0)是橢圓的右頂點(diǎn),22a 2,3,則橢圓方程為：與 112 b將點(diǎn)C(邪,的代入方程，得b2 4 ,22橢圓E的方程為1124(II) Q 直線PC與直線QC關(guān)于直線x 串對(duì)稱,設(shè)直線PC的斜率為k,則直線QC的斜率為 k,從而直線PC的方程為:y 33 k(x 73),即 y kx 瓜1 k),由 y k"囪(1 k)消 y,整理得：(1 3k2)x2 673k(1 k)x 9k218k 3 0x2 3y2 12 0Q x J3是方程的一個(gè)根,一 2 一 一9k 18k 3,3(1 3k2)_ 2- 一-9k 18k 3 日口xPgV3 2即 xP1 3k同理

8、可得:9k2 18k 3 xQ.3(1 3k2)Q Vp yQ kxP,3(1k) kxQ 73(1 k) = k(xp xq)2s/3k =12k.3(1 3k2)2_29k2 18k 3 9k2 18k 3* %.3(1 3k2),3(1 3k2)36 k、3(1 3k2)VpVqxpxq1,，“一、11則直線PQ的斜率為定值1 o33題型五：面積問(wèn)題例題5、已知橢圓C:yy 1 (a> b>0)的離心率為 b3,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為J3。(I)求橢圓C的方程; 、.3,_ (n)設(shè)直線l與橢圓C交于A B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) O到直線l的距離為上士，求4AOB面積的最大值。

9、2解：(I)設(shè)橢圓的半焦距為3,3,b 1,所求橢圓方程為y2 1。(n)設(shè) A(。y) B(x2,y2)。(1)當(dāng)AB, x軸時(shí),AB(2)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y kx由已知色，得m：kxm代入橢圓方程,整理得(3k2 1)x26kmx3m2 30,xi又26 km2,3k2 1Xx2-23(m1)3k2 1 °AB(1 k2)(x2x1)2(1 k2) 6M(3k2 1)212(m23k212(k21)(3k2 1(3k2 1)2m2)3(k2 1)(9 k21)(3k21)212k29 k4 6 k2 112一(k9k26k2123 64當(dāng)且僅當(dāng)219k 2

10、 ,即k2時(shí)等號(hào)成立。0 時(shí)，ABmax2。AB最大時(shí),AOB面積取最大值SABmax問(wèn)題六：范圍問(wèn)題(本質(zhì)是函數(shù)問(wèn)題)2例6、設(shè)F1、F2分別是橢圓 y21的左、右焦點(diǎn)。4(I)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PFi PF2的最大值和最小值;(n )設(shè)過(guò)定點(diǎn) M (0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,且/ AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，k24求直線l的斜率k的取值范圍。解：(i)易知 a 2,b 1,c J3所以F13,0,F273,0 ,設(shè)P x, y，則uuuPF1uuuu_PF2.3 x, y , .3 x,y2 32 x 一 34123x 84因?yàn)閤 2,2 ,故當(dāng)x 0,

11、即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),uurPF1uuiuiPF2有最小值 2uuur uum2,即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，PF1 PF2有最大值(n)顯然直線x 0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l ： y kx 2,A Xi,y2 , B X2,y2聯(lián)立y2 x4kx整理得:4kx 300xix24kA0Buuuuur4kk2900彳,為4x2k24k20得：k9或kcosA0BuuuOAuuuOBV1V2OA OByiy2kx 2 k為22 k xx2 2kxix23k22 1k 48k221k 4k23k* 2 -4k2k20 ,即 k2 4. 2 k 2故由、得丑或二k 2221+2好1 +左1+%2例7、

12、設(shè)橢圓E：與 a題型七、存在性問(wèn)題：（存在點(diǎn)，存在直線 y=kx+m,存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角）（II ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓， 使得該圓的任意一條切線與橢圓uurE恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且OAuurOB若存在,寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。解：（1）因?yàn)闄E圓E:2-y2 1 (a,b>0 )過(guò) M (2, 72) b2N( J6,1)兩點(diǎn),4所以a6 a_21解得1a1b118所以12ab288橢圓E的方程為4（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓uur uuuE恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且OA OB,設(shè)該圓的切線方程

13、為y kx m解方程組y2x8kx2y4x2 2(kx2_ 22m) 8,即(1 2k )x 4kmx2m2 8 0,貝14 =16k2m_ 2 _224(1 2k )(2 m 8) 8(8k2- _ 2m 4) 0,即 8kxix2X1X24km1 2k與 1 (a,b>0)過(guò)M (2, &),N(J6,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn), b（I ）求橢圓E的方程;2m2 81 2k2凡為=（電 4機(jī)X% +閥=M百叼+颯（可-+與）+/uuu 要使OAuuuOB ,需使 x1x2 y1y20,即2m2 82k2m2 8k21 2k20,所以3m2228k2 8 0,所以 k2_ 2 _

14、3m 88又 8k2 m,4 0,2所以m 93m2m 4m32.6因?yàn)橹本€kxm為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為k22m«2-,3m 81 82 .6所求的圓為8一,此時(shí)圓的切線3kxm都滿足2.6而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為2.6 一與橢圓31的兩個(gè)交點(diǎn)6為丁或（2,6uuu 滿足OAuuuOB ,綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓2 8、-，一y2 一,使得該圓的任意一條切線與橢圓3E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且uuuOAuuuOB .x1x2因?yàn)閄1X24km1 2k22m2 81 2k2所以（工即* =（而h巧y4方R -(1+J卜V(1+加了 ,32 4k4 5k2 132 k23 4k4 4k2 1，3 4k4 4k2 1 ,21因?yàn)?k22 4 8所