元二次不等式高次不等式分式不等式解法

1、課題： 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法目標(biāo)：1 .穩(wěn)固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系,掌握掌握簡(jiǎn)單 的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2 .培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的水平,一題多解的水平,培養(yǎng)抽象概括水平和邏輯思維 水平；3 .激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,培養(yǎng)勇于探索的精神,勇于創(chuàng)新精神,同時(shí)體會(huì) 從不同側(cè)面觀(guān)察同一事物思想.重點(diǎn)：簡(jiǎn)單的分式不等式和特殊的高次不等式的解法.難點(diǎn)：正確申根.過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入1. 一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系.2. 一元二次不等式的解法步驟.引言：今天我們來(lái)研究一元二次不等式的另外解法, 以及特殊的高次不等式、 分式不等式的解法.二、新

2、課1. 一元二次不等式與特殊的高次不等式解法例1解不等式(x 4)(x 1) 0.分析一：利用前節(jié)的方法求解;分析二：由乘法運(yùn)算的符號(hào)法那么可知,假設(shè)原不等式成立,那么左邊兩個(gè)因式必x 1 0x 1 0須異號(hào),原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組：與的解集x 4 0x 4 0x1 0x10的并集,即x| U x|=(|)Ux|-4<x<1=x|-4<x<1.書(shū)寫(xiě)時(shí)可x40x40按以下格式：x10x10解二：.3)僅+4)<0x 或 0x40x40xC(|)或-4<x<1-4<x<1 ,原不等式的解集是x|-4<x<1.小結(jié)：一元二次

3、不等式ax2 bx c 0(或ax2 bx c 0 )(a 0 )的代數(shù)解法：設(shè)一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0)相應(yīng)的方程aW bx c 0(a 0)的兩根為 x1、x2 且 x1x2,那么 ax2bx c 0 a(xx1)(xx2)0；4x x10, , x x10, x x1, , x x1,假設(shè)a 0,那么得 1'或 1'或x x2 0, x x2 0. x x2 ,x x2 .當(dāng)x1x2時(shí),得xx1或x x2 ；當(dāng)x1x2時(shí),得x R ,且xx1.xx0,xx0,xx,xx,假設(shè)a 0,那么得x1,或x1,x1,或x1,xx20,xx20.xx2,xx2.

4、當(dāng)x1 x2時(shí),得x x x2；當(dāng)* x2時(shí),得x .分析三：由于不等式的解與相應(yīng)方程的根有關(guān)系,因此可求其根并由相應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)表示出來(lái)即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0 ,解得x (從小到大排列)分別為-4, 1,這兩根將x軸分為三局部：(-,-4) (-4, 1) (1, + );分析這三局部中原不等式左邊各因式的符號(hào)(-,-4)(-4, 1)(1, + )x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知,原不等式的解集是3-4<x<1.例 2:解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0 ;解：檢查各因式中x的符號(hào)均正；求得相應(yīng)方程的

5、根為：-2, 1, 3;列表如下：-213x+2-+X-1-+x-3-+各因式積-+-+由上表可知,原不等式的解集為：x|-2<x<1或x>3.小結(jié)：此法叫列表法,解題步驟是：將不等式化為(X-X1)(x-X2)(x-xn)>0(<0)形式(各項(xiàng)x的符號(hào)化“ +),令 (X-X1)(X-X2)- (X-Xn)=0,求出各根,不妨稱(chēng)之為分界點(diǎn),一個(gè)分界點(diǎn)把(實(shí)數(shù))數(shù) 軸分成兩局部,n個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成n+1局部；按各根把實(shí)數(shù)分成的n+1局部,由小到大橫向排列,相應(yīng)各因式縱向排列(由對(duì)應(yīng)較小根的因式開(kāi)始依次自上而下排列)；計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號(hào),下面是乘積的符號(hào)；看

6、下面積的符號(hào)寫(xiě)出不等式的解集.練習(xí)：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.x|-1<x<0 或 2Vx<3.思考：由函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系,能否作出函數(shù)圖像求解例2圖練習(xí)圖直接寫(xiě)出解集：x|-2<x<1 或 x>3. x|-1<x<0 或 2Vx<3在沒(méi)有技術(shù)的情況下：可大致畫(huà)出函數(shù)圖星求解,稱(chēng)之為 申根法將不等式化為X-X1X-X2X-Xn>0<0形式,并將各因式X的系數(shù)化“+ ； 為了統(tǒng)一方便求根,并在數(shù)軸上表示出來(lái)；由右上方穿線(xiàn),經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)為什么？；假設(shè)不等式X的系數(shù)化“ +后是“ >0

7、那么找“線(xiàn)在X軸上方的區(qū)間； 假設(shè)不等式是“ <0那么找“線(xiàn)在X軸下方的區(qū)間.注意：奇穿偶不穿例 3 解不等式：x-22x-33x+1<0.解：檢查各因式中X的符號(hào)均正；求得相應(yīng)方程的根為：-1, 2, 3 注意：2是二重根,3是三重根；在數(shù)軸上表示各根并穿線(xiàn),每個(gè)根穿一次自右上方開(kāi)始,如以下圖:.原不等式的解集為：x|-1<x<2或2<x<3.說(shuō)明：: 3是三重根,在C處穿三次,2是二重根,.在B處穿兩次,結(jié) 果相當(dāng)于沒(méi)穿.由此看出,當(dāng)左側(cè)fx有相同因式X-X1n時(shí),n為奇數(shù)時(shí),曲線(xiàn)在 X1點(diǎn)處穿過(guò)數(shù)軸；n為偶數(shù)時(shí),曲線(xiàn)在X1點(diǎn)處不穿過(guò)數(shù)軸,不妨歸納為“奇

8、穿偶 不穿.練習(xí)：解不等式：x-3x+1x2+4x+4 0.解：將原不等式化為：x-3x+1x+2 2 0；求得相應(yīng)方程的根為：-2 二重,-1,3;在數(shù)軸上表示各根并穿線(xiàn),如圖:.原不等式的解集是x|-1 x 3或x=-2.說(shuō)明：注意不等式假設(shè)帶“二號(hào),點(diǎn)畫(huà)為實(shí)心,解集邊界處應(yīng)有等號(hào)；另外, 線(xiàn)雖不穿-2點(diǎn),但x=-2滿(mǎn)足“二的條件,不能漏掉.2.分式不等式的解法例4解不等式：0. x 7錯(cuò)解：去分母得x 3 0原不等式的解集是x|x 3 .解法1:化為兩個(gè)不等式組來(lái)解：xC|或 7x37 x 3,.x3門(mén) x3 0. x30 0或x7x7 0 x70原不等式的解集是 x| 7 x 3 .解

9、法2:化為二次不等式來(lái)解：.x 3 0 (x 3)(x 7) 0 ux 7x 7 0原不等式的解集是x| 7 x 30,那么不等式解集中應(yīng)注意x -7的條說(shuō)明：假設(shè)此題帶“=,即(x-3)(x+7) 件,解集應(yīng)是x|-7<x 3.小結(jié)：由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù),不等號(hào)方向不變；不 等式兩邊同乘以負(fù)數(shù),不等號(hào)方向要變；分母中有未知數(shù)x,不等式兩邊同乘以一個(gè)含x的式子,它的正負(fù)不知,不等號(hào)方向無(wú)法確定,無(wú)從解起,假設(shè)討論分母 的正負(fù),再解也可以,但太復(fù)雜.因此,解分式不等式,切忌去分母.解法是：移項(xiàng),通分,右邊化為0,左邊化為 半)的形式.g(x)例5解不等式：占泊0解法1:

10、化為不等式組來(lái)解較繁.解法2:2- 一.x 3x 2x2 2x 32_2(x 3x 2)( x x2 2x 3 02x 3) 0(x(x1)(x3)(x2)(x 3)(x1) 01).原不等式的解集為x| -1<x1 或 2 x<3.練習(xí)：1.課本P21練習(xí)：3；2.解不等式2x 5答案：1.x|-5<x<8;x|x<-4,或 x>-1/2 ; 2.x|-13<x<-5.練習(xí)：解不等式：言我x1.(答：x|x 0 或 1<x<2)三、小結(jié)1.特殊的高次不等式即右邊化為0,左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式,一般用區(qū)間法解,注意

11、：左邊各因式中x的系數(shù)化為“+,假設(shè)有因式為二次的(不能再分解了)二次項(xiàng)系數(shù)也化為“+,再按我們總結(jié)的規(guī)律作； 注意邊界點(diǎn)(數(shù)軸上表示時(shí)是“ 0還是“.).2 .分式不等式,切忌去分母,一律移項(xiàng)通分化為 半)>0(或¥)<0)的形g(x) g(x)式,轉(zhuǎn)化為：f(x)g(x) 0(或f(x)g(x) °),即轉(zhuǎn)化 g(x) 0 g(x) 0為一次、二次或特殊高次不等式形式.3 . 一次不等式,二次不等式,特殊的高次不等式及分式不等式,我們稱(chēng)之 為有理不等式.4 .注意必要的討論.5 . 一次、二次不等式組成的不等式組仍要借助于數(shù)軸.四、布置作業(yè)五、思考題：1. 解關(guān)于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.解：將二次項(xiàng)系數(shù)化“ +為：(x2-x-12)(x+a)>0,相應(yīng)方程的根為：-3, 4, -a,現(xiàn)a的位置不定,應(yīng)如何解？討論：i當(dāng)-a>4,即a<-4時(shí),各根在數(shù)軸上的分布及穿線(xiàn)如下：原不等式的解集為x|-3<x<4或x>-a.ii當(dāng)-3<-a<4,即-4<a<3時(shí),各根在數(shù)軸上的分布及穿線(xiàn)如下：原不等式的解集為x|-3<x<-a或x>4.iii當(dāng)-a<-3,即a>3時(shí),各根在數(shù)軸上的分布及穿線(xiàn)如下：原不等式的解集為x|-a&l