2012全國各地高考數(shù)學(xué)試題分類匯編解析幾何

1、2012全國各地高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（解析幾何）1.（2012安徽理）（本小題滿分13分） 如圖，分別是橢圓 的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)；（I）若點(diǎn)的坐標(biāo)為；求橢圓的方程；（II）證明：直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)。2.設(shè)；則 得： 過點(diǎn)與橢圓相切的直線斜率 得：直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)。3. (2012安徽文)（本小題滿分13分）如圖，分別是橢圓：+=1（）的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的頂點(diǎn)，是直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)，=60°.（）求橢圓的離心率；（）已知的面積為40，求a, b 的值. 4(2012北京理)（本小題共14分）已知曲線C:(5-m)

2、x2+(m-2)y2=8(mR)（1） 若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；（2） 設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證：A，G，N三點(diǎn)共線。5. (2012福建理)（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為幾點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知直線上兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，圓的參數(shù)方程為參數(shù)）。（）設(shè)為線段的中點(diǎn)，求直線的平面直角坐標(biāo)方程；（）判斷直線與圓的位置關(guān)系。6. (2012福建理)（本小題滿分13分）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離

3、心率。過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長為8。（）求橢圓的方程。（）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)。試探究： 在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以· 為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。7. (2012廣東理)（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值為3. （1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上，是否存在點(diǎn)使得直線：與圓：相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及相對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由。8. （2012廣東理）（本小題滿分14分） 點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到直線

4、L:x=的距離的比是常數(shù)。且直線L為4x-5y+40=0，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為C。求：（1）軌跡為C的方程；（2）軌跡為C上是否存在一點(diǎn)，它到直線L的距離最??？最小距離是多小？9（2012湖南文）（本小題滿分12分）如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD（）證明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積10（2012湖南文）（本小題滿分13分）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓C：的圓心（）求橢圓E的方程；（）設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)，過P作兩條

5、斜率之積為的直線l1，l2當(dāng)直線l1，l2都與圓C相切時(shí)，求P的坐標(biāo)11（2012湖北理）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 已知射線與曲線（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.解析：在直角坐標(biāo)系下的一般方程為，將參數(shù)方程（t為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程為表示一條拋物線，聯(lián)立上面兩個(gè)方程消去有，設(shè)兩點(diǎn)及其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則有韋達(dá)定理,又由于點(diǎn)點(diǎn)在直線上，因此的中點(diǎn).12（2012湖北理）（本小題滿分13分）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足. 當(dāng)

6、點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線（）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)； （）過原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn).是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.解析：（）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以，. 因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以. 將式代入式即得所求曲線的方程為.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.（）解法1：如圖2、3，設(shè)，則，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，于是由韋達(dá)定理可得，即.

7、因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以.于是，. 而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.圖2 圖3 圖1O D xyAM第21題解答圖解法2：如圖2、3，設(shè)，則，因?yàn)?，兩點(diǎn)在橢圓上，所以 兩式相減可得. 依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，故.于是由式可得. 又，三點(diǎn)共線，所以，即. 于是由式可得.而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.13（2012湖南理）在直角坐標(biāo)系xOy 中，已知曲線C1： (t為參數(shù))與曲線C2： (為參數(shù)， ) 有一個(gè)公共點(diǎn)在軸上，則a=解：化為普通方程得C1：、C2：，將其交點(diǎn)代入曲線C2得，14（

8、2012湖南理）（本小題滿分13分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點(diǎn)均在圓C2：（x-5）2y2=9外，且對C1上任意一點(diǎn)M，M到直線的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值（）求曲線C1的方程；（）設(shè)P(x0，y0)（）為圓C2外一點(diǎn)，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D證明：當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值解：（）解法1設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè)，于是，所以化簡得曲線的方程為解法2 由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線故其方程為（）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐

9、標(biāo)為，又，則過P且與圓相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為，即于是整理得 設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程的兩個(gè)實(shí)根故 由得 設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 同理可得 于是由，三式得所以，當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值640015.（2012江蘇卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知點(diǎn)和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程；ABPyxF1F2O(2)設(shè)A, B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點(diǎn)P，(i)若，求直

10、線的斜率；(ii)求證：是定值解(1)由題設(shè)知.由點(diǎn)(1,e)在橢圓上，得解得，于是，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，解得因此，所求橢圓的方程是.(2)由(1)知,又直線與平行,所以可設(shè)直線的方程為,直線的方程為.設(shè)由得,解得故同理, ()由得解得，因?yàn)?，故，所以直線的斜率為（）因?yàn)橹本€與平行,所以,于是故.由點(diǎn)B在橢圓上知從而.同理因此又由知所以.因此是定值.16. （2012江西文）（本小題滿分13分）已知三點(diǎn)O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x,y）滿足（1）求曲線C的方程；（2）點(diǎn)Q（x0,y0）(-2<x0<2)是曲線C上動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為

11、l，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-1），l與PA，PB分別交于點(diǎn)D，E，求QAB與PDE的面積之比?！窘馕觥浚?），,代入式子可得整理得（2）略17. （2012遼寧）（本小題滿分12分）如圖，橢圓，動(dòng)圓.點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn)，與相交于四點(diǎn)（1）求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)圓與相交于四點(diǎn)，其中，.若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值【命題意圖】本題主要考查圓的方程、橢圓方程、軌跡求法、解析幾何中的定值問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力，是難題.【解析】設(shè)，又知，則直線的方程為 直線的方程為由得 由點(diǎn)在橢圓上，故可得，從而有，代入得6分（2）證明：設(shè)，由矩形與矩形的面積相等，得，因?yàn)辄c(diǎn)均在橢

12、圓上，所以由，知，所以。從而，因而為定值12分18. （2012遼寧）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓，圓（1）在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓的極坐標(biāo)方程，并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)（用極坐標(biāo)表示）（2）求圓與圓的公共弦的參數(shù)方程【命題意圖】本題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程，是簡單題.【解析】圓的極坐標(biāo)方程為，圓的極坐標(biāo)方程為，解【解析】（I）點(diǎn)代入得： 又 由得： 既橢圓的方程為【解析】（I）（）設(shè)；則 在中，面積解:（1）原曲線方程可化簡得：由題意可得：，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：，解得：由韋達(dá)定理得：，設(shè)，方程為：，

13、則，欲證三點(diǎn)共線，只需證，共線即成立，化簡得：將代入易知等式成立，則三點(diǎn)共線得證?！窘馕觥浚ǎ┯深}意知，因?yàn)槭蔷€段中點(diǎn)，則因此直角坐標(biāo)方程為：（）因?yàn)橹本€上兩點(diǎn)垂直平分線方程為：，圓心，半徑.,故直線和圓相交.解：（）設(shè) 則的周長為橢圓的方程為（）由對稱性可知設(shè)與 直線（*） （*）對恒成立， 得解：（1）由題意， 令橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 橢圓的方程為（1） 假設(shè)存在滿足題設(shè)的，令到的距離為，則，令則“=”成立時(shí)，即 又， ， 存在點(diǎn)，滿足條件，使的面積最大為。解（）設(shè)d是點(diǎn)M到直線L：x=的距離，點(diǎn)M的軌跡集合為：P=M即，化簡的：所以軌跡為C的方程為：（）設(shè)直線m平行直線L，則直線

14、m的方程為：4x-5y+k=0由 消去y，得 令=0 得 解得 ，或 由圖知，當(dāng)k=25時(shí)，直線m與橢圓的交點(diǎn)到直線L的距離最小，此時(shí)直線m 的方程為4x-5y+25=0 所以 最小距離為.解：（）因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，所以 又ACBD，是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面 而平面ABC，所以（）設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)，由（）知，平面， 所以是直線PD和平面PAC所成的角從而30°由平面，平面ABC知，在中，由30°得因?yàn)锳BCD為等腰梯形， ACBD，所以均為等腰直角三角形從而梯形ABCD的高為，于是梯形ABCD的面積在等腰直角三角形中，所以，故四棱錐P-

15、ABCD的體積為解：（）由得，故圓C的圓心為點(diǎn) 從而可設(shè)橢圓E的方程為，其焦距為 由題設(shè)知，所以， 故橢圓E的方程為 （）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，的斜率分別為，則，的方程分別為:，:，且 由與圓C：相切得，即同理可得從而，是方程的兩個(gè)實(shí)根于是且由得解得，或由得；由得，它們均滿足式故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，或，或，或解析：在直角坐標(biāo)系下的一般方程為，將參數(shù)方程（t為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程為表示一條拋物線，聯(lián)立上面兩個(gè)方程消去有，設(shè)兩點(diǎn)及其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則有韋達(dá)定理,又由于點(diǎn)點(diǎn)在直線上，因此的中點(diǎn).解析：（）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以，. 因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以. 將式代入式即得所求曲線的方

16、程為.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.（）解法1：如圖2、3，設(shè)，則，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，于是由韋達(dá)定理可得，即.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以.于是，. 而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.圖2 圖3 圖1O D xyAM第21題解答圖解法2：如圖2、3，設(shè)，則，因?yàn)?，兩點(diǎn)在橢圓上，所以 兩式相減可得. 依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，故.于是由式可得. 又，三點(diǎn)共線，所以，即. 于是由式可得.而等價(jià)于，即，又，得

17、，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.解：化為普通方程得C1：、C2：，將其交點(diǎn)代入曲線C2得，解：（）解法1設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè)，于是，所以化簡得曲線的方程為解法2 由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線故其方程為（）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為，又，則過P且與圓相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為，即于是整理得 設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程的兩個(gè)實(shí)根故 由得 設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 同理可得 于是由，三式得

18、所以，當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值6400解(1)由題設(shè)知.由點(diǎn)(1,e)在橢圓上，得解得，于是，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，解得因此，所求橢圓的方程是.(2)由(1)知,又直線與平行,所以可設(shè)直線的方程為,直線的方程為.設(shè)由得,解得故同理, ()由得解得，因?yàn)椋?，所以直線的斜率為（）因?yàn)橹本€與平行,所以,于是故.由點(diǎn)B在橢圓上知從而.同理因此又由知所以.因此是定值.【解析】（1），,代入式子可得整理得（2）略【命題意圖】本題主要考查圓的方程、橢圓方程、軌跡求法、解析幾何中的定值問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力，是難題.【解析】設(shè)，又知，則直線的方程為 直線的方

19、程為由得 由點(diǎn)在橢圓上，故可得，從而有，代入得6分（2）證明：設(shè)，由矩形與矩形的面積相等，得，因?yàn)辄c(diǎn)均在橢圓上，所以由，知，所以。從而，因而為定值12分【命題意圖】本題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程，是簡單題.得，故圓與圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為5分注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一（2）（解法一）由，得圓與圓交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為故圓與圓的公共弦的參數(shù)方程為（或參數(shù)方程寫成） 10分（解法二）將代入，得，從而于是圓與圓的公共弦的參數(shù)方程為19.（2012遼寧文）已知雙曲線x2 y2 =1,點(diǎn)F1,F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若P F1P F2,則P F1+P F2的值為_.【答案】【解析】由雙曲線

20、的方程可知xyOADBCA1A2（20）（2012遼寧文）(本小題滿分12分)如圖，動(dòng)圓,1<t<3,與橢圓：相交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)。 ()當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積； ()求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程?！敬鸢概c解析】解(1)設(shè),則矩形ABCD的面積,由得,從而當(dāng)時(shí),從而時(shí)矩形ABCD的面積最大,最大面積為6.(2)由知直線的方程為直線的方程為由得又點(diǎn)在橢圓C上,故將代入得因此點(diǎn)M的軌跡方程為.20.（2012遼寧文）(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)中，圓，圓。 ()在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正

21、半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓的極坐標(biāo)方程，并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)； ()求圓的公共弦的參數(shù)方程。【答案與解析】解得故圓與圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）由得圓與圓交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為故圓與圓公共弦的參數(shù)方程為21.（2012全國卷理）（本小題滿分12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)；（1）若，的面積為；求的值及圓的方程；（2）若三點(diǎn)在同一直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值。解（1）由對稱性知：是等腰直角，斜邊 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離圓的方程為 （2）由對稱性設(shè)，則 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱得： 得：，直線切點(diǎn) 直線 坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為。22.（201

22、2全國卷理）本小題滿分10分)選修44；坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的坐標(biāo)系方程是，正方形的頂點(diǎn)都在上，且依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為（1）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，求的取值范圍。解（1）點(diǎn)的極坐標(biāo)為 點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 （2）設(shè)；則23.(2012山東理)（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2=2py（p0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為。（）求拋物線C的方程；（）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，

23、求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng)k2時(shí)，的最小值。解析：（）F拋物線C：x2=2py（p0）的焦點(diǎn)F，設(shè)M，由題意可知，則點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，解得，于是拋物線C的方程為.（）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M，而，由可得，則，即，解得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.（）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)M，。由可得，設(shè)，圓，于是，令，設(shè)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí).故當(dāng)時(shí)，.24.(2012山東文) (本小題滿分13分)如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.()求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程

24、；() 設(shè)直線與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn).求的最大值及取得最大值時(shí)m的值.解：(I)矩形ABCD面積為8，即由解得：，橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(II)，設(shè)，則，由得.當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，有，其中，由此知當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.由對稱性，可知若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值.當(dāng)時(shí)，由此知，當(dāng)時(shí)，取得最大值.綜上可知，當(dāng)和0時(shí)，取得最大值.25（2012上海理）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線. （1）過的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（4分） （2）設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓相切，求證：OPOQ；（6分） （3）設(shè)

25、橢圓. 若M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）解：（1）雙曲線，左頂點(diǎn)，漸近線方程：. 過點(diǎn)A與漸近線平行的直線方程為，即. 解方程組，得. 所以所求三角形的面積1為. （2）設(shè)直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切， 故，即. 由，得. 設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則. 又2，所以，故OPOQ. （3）當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)， |ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為. 當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)， 設(shè)直線ON的方程為（顯然），則直線OM的方程為. 由，得，所以.同理. 設(shè)O到直線MN的距離為d，因?yàn)椋?所以，即d=. 綜上，O到直線

26、MN的距離是定值. 26. （2012上海文）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線.設(shè)是的左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；過的左頂點(diǎn)作的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；設(shè)斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若與圓相切， 求證：.答案：略27（2012四川理）(本小題滿分12分) 如圖，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（）求軌跡的方程；（）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍.解：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y），顯然有x>0,.當(dāng)MBA=90°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，, ±3）當(dāng)MBA90°時(shí)；x2.由MBA=2MAB,有tan

27、MBA=,即化簡得：3x2-y2-3=0,而又經(jīng)過（2，,±3）綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0（x>1）(II)由方程消去y，可得.（*）由題意，方程（*）有兩根且均在（1，+）內(nèi)，設(shè)所以解得，m>1,且m2設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為，由有所以由m>1，且m2，有所以的取值范圍是28（2012四川文）(本小題滿分12分) 如圖，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且直線的斜率之積為4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為C（）求軌跡C的方程；（）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍解：（）設(shè)M的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，直線MA的斜率不存在；當(dāng)時(shí)，直線MB的斜率不存在，于是此時(shí)，MA的斜率為，

28、MB的斜率為由題意，有，化簡可得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為C的方程為（）（）聯(lián)立消去y，可得（*）對于方程（*），其判別式，而當(dāng)1或1為方程（*）的根時(shí)，m的值為1或1結(jié)合題設(shè)（）可知，且設(shè)的坐標(biāo)分別為、，則、為方程（*）的兩根因?yàn)?，所以，所以，此時(shí)，且，所以，且，所以，且綜上所述，的取值范圍是29.(2012天津理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（）若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率；（）若，證明直線的斜率滿足.解析(1) 解:設(shè)點(diǎn),由題意得由得由可得代入并整理得,由于,故,于是,所以橢圓的離心率為(2) 證明:依題意直線OP的

29、方程,設(shè)點(diǎn),有條件得消去并整理得由及得整理得而,于是,代入整理得,由,故即,所以.30.（2012天津文）（本小題滿分14分）已知橢圓（a>b>0）,點(diǎn)在橢圓上。（I）求橢圓的離心率。（II）設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|求直線的斜率的值。解(1)因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,故于是,所以橢圓的離心率為(2)設(shè)直線OQ的斜率為k,則其方程為,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為有條件得，消去并整理得由得整理得，而，故，代人整理得由（1）知，故.所以直線OQ的斜率31（2012浙江理）(本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分()求橢圓C的方程；() 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程解【解析】（I）點(diǎn)代入得： 又 由得： 既橢圓的方程為【解析】（I）（）設(shè)；則 在中，面積解:（1）原曲線方程可化簡得：由題意可得：，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：，解得：由韋達(dá)定理得：，設(shè)，方程為：，則，欲證三點(diǎn)共線，只需證，共線即成立，化簡得：將代入易知等式成立，則三點(diǎn)共線得證?！窘馕觥浚ǎ┯深}意知，因?yàn)槭蔷€段中點(diǎn)，則因此直角坐標(biāo)方程為：（）因?yàn)橹本€上兩點(diǎn)垂直平分線方程為：，圓心，半徑.,故直線和圓相交.解：（）設(shè) 則的周長為橢圓的方程為（）由對稱