2012年高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-全國(guó)卷2

1、2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)卷）理科數(shù)學(xué)第卷一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合A=1,2,3,4,5，B=(x,y)|xA,yA,x-yA，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為（ ）A. 3B. 6C. 8D. 102.將2名教師，4名學(xué)生分成兩個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由一名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（ ）A. 12種B. 10種C. 9種D. 8種3.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題中，真命題為（ ）P1:|z|=2，P2:z2=2i，P3:z的共軛復(fù)數(shù)為1+i，P4

2、:z的虛部為-1 .A. P2，P3B. P1，P2C. P2，P4D. P3，P44.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E:的左右焦點(diǎn)，P為直線上的一點(diǎn)，是底角為30º的等腰三角形，則E的離心率為（ ）A.B.C.D.5.已知an為等比數(shù)列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，則a1 + a10 =（ ）A. 7B. 5C.-5D. -76.如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數(shù)N（N2）和實(shí)數(shù)a1，a2，aN，輸入A、B，則（ ）A. A+B為a1，a2，aN的和B.為a1，a2，aN的算術(shù)平均數(shù)C.A和B分別是a1，a2，aN中最大的數(shù)和最小的數(shù)D. A和B分別是a1，a2，aN中最小的數(shù)

3、和最大的數(shù)7. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）A. 6B. 9C. 12D. 188.等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ）A.B. C. 4D. 89.已知，函數(shù)在單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 10.已知函數(shù)，則的圖像大致為（ ）1y1yyyxyoy1y1yyyxyoy1y1yyyxyoy1y1yyyxyoyA.B.C.D.11.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，

4、則此棱錐的體積為（ ）A.B. C. D. 12.設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 第卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題，每個(gè)試題考生必須做答.第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量，夾角為45º，且，則.14.設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的取值范圍為.15.某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3元件1 元件2 元件3正常工作，則部件正常工作.設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布N(1000，502)，且各元

5、件能否正常工作互相獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為.16.數(shù)列滿(mǎn)足，則的前60項(xiàng)和為.三、解答題：（解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.（本小題12分）已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.（）求A；（）若a=2，ABC的面積為，求b，c.18.（本小題12分）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.（）若花店某天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，nN）的函數(shù)解析式；（）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日

6、需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；CBADC1A1B1（ii）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由.19. （本小題12分）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1BD.（）證明：DC1BC；（）求二面角A1-BD-C1的大小.20.（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上的一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn).

7、（）若BFD=90º，ABD面積為，求p的值及圓F的方程；（）若A、B、F三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n的距離的比值.21.（本小題12分）已知函數(shù).（）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（）若，求的最大值.請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分，做答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑.22. （本小題10分）【選修4-1：幾何證明選講】如圖，D，E分別為ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交于ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF/AB，證明：（）CD=BC；（）BCDGBD.23.（本小題10分

8、）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】已知曲線C1的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是= 2.正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為.（）點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)；（）設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2的取值范圍.24.（本小題10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)f(x) = |x + a| + |x-2|.（）當(dāng)a =-3時(shí)，求不等式f(x)3的解集；（）若f(x)|x-4|的解集包含1,2，求a的取值范圍.2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

9、（新課標(biāo)卷）理科數(shù)學(xué)【參考答案】一、選擇題：1【答案：D】解析：要在1，2，3，4，5中選出兩個(gè)，大的是x，小的是y，共種選法.2【答案：A】解析：只需選定安排到甲地的1名教師2名學(xué)生即可，共有種安排方案.3【答案：C】解析：經(jīng)計(jì)算，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，的虛部為，綜上可知P2，P4正確.4【答案：C】解析：由題意可得，是底角為30º的等腰三角形可得，即，所以.5【答案：D】解析：，或，成等比數(shù)列，.6【答案：C】解析：由程序框圖判斷x>A得A應(yīng)為a1，a2，aN中最大的數(shù)，由x<B得B應(yīng)為a1，a2，aN中最小的數(shù).7【答案：B】解析：由三視圖可知，此幾何體為底面是斜邊為6

10、的等腰直角三角形（俯視圖），高為3的三棱錐，故其體積為.8【答案：C】解析：拋物線的準(zhǔn)線方程是x=4，所以點(diǎn)A在上，將點(diǎn)A代入得，所以實(shí)軸長(zhǎng)為.9【答案：A】解析：由得，.10【答案：B】解析：易知對(duì)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故的值域是(-, 0). 所以其圖像為B.11【答案：A】解析：易知點(diǎn)S到平面ABC的距離是點(diǎn)O到平面ABC的距離的2倍.顯然O-ABC是棱長(zhǎng)為1的正四面體，其高為，故，.12【答案：B】解析：因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以曲線與曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，故要求|PQ|的最小值轉(zhuǎn)化為求與直線y=x平行且與曲線相切的直線間的距離，設(shè)切點(diǎn)為A，則A點(diǎn)到直線y=x距離的最小值的2倍就是

11、|PQ|的最小值.則，即，故切點(diǎn)A的坐標(biāo)為，因此，切點(diǎn)A點(diǎn)到直線y=x距離為，所以.二、填空題：13【答案：】解析：由已知得ABCO，解得.14【答案：】解析：畫(huà)出可行域，易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，Z取最小值-3；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，Z取最大值3.故的取值范圍為.15【答案：】解析：由已知可得，三個(gè)電子元件使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率均為，所以該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為.16【答案：1830】解析：由得，由得,由得, .由得, ，所以.三、解答題：17解析：（）由及正弦定理可得，.（），解得.18解析：（）當(dāng)n16時(shí)，y=16×(10-5)=80，當(dāng)n15時(shí)，y=5n-5

12、15;(16-n)=10n-80，得.（）（）X可能取60，70，80. P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7，X的分布列為：X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望E(X) =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X的方差D(X) =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.（）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，X的分布列為X55657585P0.10.20.160.54X的數(shù)學(xué)期望E(X) =55×0.1+65×0.2+7

13、5×0.16+85×0.54=76.4，因?yàn)?6.476，所以應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花.CBADC1A1B119解析：（）證明：設(shè)，直三棱柱，.又，平面.平面，.（）由()知，又已知，.在中，.，.法一：取的中點(diǎn)，則易證平面，連結(jié)，則，已知，平面，是二面角平面角.在中，.即二面角的大小為.法二：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則.，,設(shè)平面的法向量為，則，不妨令，得，故可取.同理,可求得平面的一個(gè)法向量.設(shè)與的夾角為，則, .由圖可知，二面角的大小為銳角，故二面角的大小為.20解析：（）由對(duì)稱(chēng)性可知，為等腰直角三角形，斜邊上的高為，斜邊長(zhǎng).點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.由

14、得，. 圓的方程為.（）由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由已知得線段是圓的在直徑，代入拋物線得.直線的斜率為.直線的方程為.由得,.由得, .故直線與拋物線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為.所以坐標(biāo)原點(diǎn)到，的距離的比值為.21解析：（），令x=1得，f (x)=1，再由，令得.所以的解析式為，易知是R上的增函數(shù)，且.所以，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（）若恒成立，即恒成立，.(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，為R上的增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，不合題意；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，則，；(3)當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由得，故，當(dāng)時(shí)，取最小值.依題意有，即，令，則，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故當(dāng)時(shí)，取最大值.綜上，若，則的最大值為.22解析：（）D，E分別為ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，DE/BC.CF/AB，DF/BC，CF/BD且CF=BD，