2005考研數學三真題及答案解析

1、2005年考研數學(三)真題一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)2x極限 lim xsinxx21 =-1 -(2)(3)設二元函數z xex y(x 1)l n(1y)，則 dz(1,0)微分方程xy y0滿足初始條件y(1)2的特解為(4)設行向量組(2,1,1,1)，(2,1, a, a)，(3,2,1, a)，(4,3,2,1)線性相關，且 a 1，則 a=(5)從數1,2,3,4中任取一個數，記為X,再從1,2, ,X中任取一個數，記為 Y,則PY 2 =已知隨機事件X0與X Y 1相互獨立，則a=，b=(6)設二維隨機變量(X,Y)的概率分

2、布為XY0100.4a1b0.1二、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求, 把所選項前的字母填在題后的括號內)32(7)當a取下列哪個值時，函數 f(x) 2x 9x 12x a恰好有兩個不同的零點.(A)2.(B)4.(C)6.(D) 8.(8)設 I1COS-Jx2y2d , I2cos(x2y2)d,丨3cos(x2y2)2d ，其中DDDD (x,y)x2y2 1，則(A)1 31 2I1.(B) I11213(C)1 2I1 I3(D) I3I1 I2(9)設 an0,n1,2,若 an發(fā)散，(八n 11)an收斂,則下列結論正確

3、的是n 1n 1(A)a2n收斂，a2n發(fā)散(B)a2n收斂，a2n 1發(fā)散n 1n 1n 1n 1(C)(a2nn 11a2n)收斂.(D)(a2nn 11 a2n )收斂. (10)設f(x) xsinx cosx,下列命題中正確的是(A)f(0)是極大值，仁刁)是極小值(B)f(0)是極小值，f()是極大值.2(C)f(0)是極大值，f()也是極大值.2(D)f(0)是極小值，f ()也是極小值2(11)以下四個命題中，正確的是(A) 若f (x)在(0, 1)內連續(xù)，則f(x)在(0, 1)內有界(B)若f(x)在(0, 1)內連續(xù)，貝U f(x)在(0, 1)內有界.(C)若f(X)

4、在(0, 1)內有界，貝U f(x)在(0, 1)內有界.(D)若f (x)在(0, 1)內有界，貝U f (x)在(0, 1)內有界.(12)設矩陣A=(aj)33滿足A* At，其中A*是A的伴隨矩陣，At為A的轉置矩陣.若 州，&2,&3為三個相等的正數，則an為(A)(B)3. (C)3.(D)3(13) 設1, 2是矩陣A的兩個不同的特征值， 對應的特征向量分別為性無關的充分必要條件是1,2，則 1，A( 12)線(A)10.(B)20. (C)10.(D)20.2 2(14) 設一批零件的長度服從正態(tài)分布N(,)，其中， 均未知.現從中隨機抽取16個零件,測得樣本均值x 20(cm

5、)，樣本標準差s 1(cm)，貝U 的置信度為0.90的置信區(qū)間是1 1 1 1(A) (20 注05(16)，2 沙05(16).(B) (20 沙1(16)，2 沙1(16).1111(C) (20t.05(15),2Ot.05(15).(D)(2Ot.1(15),20t.1(15).4444三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)(16)(本題滿分8分)2 2設f(u)具有二階連續(xù)導數，且 g(x, y) f (y) yf (-)，求X2 gy2 gxyxy(17)(本題滿分9分)計算二重積分x2 y2 1d ，其中 D

6、(x,y)0 x 1,0 y 1.D(18)(本題滿分9分)1求幕級數 （1）x2n在區(qū)間（-1,1）內的和函數S（x）.n 12 n 1（19）（本題滿分8 分)設 f(x),g(x)在0 ,1上的導數連續(xù)，且 f（0）=0, f （x）0,g （x）0 證明：對任何a 0,1,有ag（x）f（20）（本題滿分1(x)dx 013分)f(x)g (x)dx f (a)g(1).已知齊次線性方程組X1(i)2x12x23x23x35X3(ii)同解，求a,b, c的值.（21）（本題滿分設d A CCT B(I)計算 ptdp，XiX2ax30,0,0,2x1x1 bx2 cx30,b2x2

7、(c1)X30,13 分)為正定矩陣，其中其中PEm（II）利用（I）的結果判斷矩陣A,B分別為m階，n階對稱矩陣，C為mA 1C ；EnB CTA 1C是否為正定矩陣，并證明你的結論（22）（本題滿分13分）設二維隨機變量（X,Y）的概率密度為(II)1,0 xf(x,y)0,（X,Y）的邊緣概率密度1,0 y 2x,其他.fx (x), fY(y)；Z 2X Y的概率密度fz（z）.PY 12X i(III )-3 -（23）（本題滿分13分）2設Xi，X2,Xn( n 2)為來自總體N(0,)的簡單隨機樣本，X為樣本均值，記YiXi X,i 1,2,n.求：(I) Yi 的方差 DYi

8、,i 1,2, ,n ;(II)Yi 與Yn 的協方差 Cov(Yi,Yn).2 2(III )若c(Y1 Yn)是的無偏估計量，求常數c.-7 -2005年考研數學(三)真題解析、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)2x(1)極限 lim xsin 2= 2 .xx 1【分析】本題屬基本題型，直接用無窮小量的等價代換進行計算即可-=lim x 飛2.1 x x 1【詳解】lim xsin,x 2xxx2(2)微分方程xy0滿足初始條件y(1)2的特解為xy 2.【分析】直接積分即可【詳解】原方程可化為(xy)0 ,積分得 xy C，代入初始條件得C=2，故所求

9、特解為xy=2.(3)設二元函數z xex y (x1)1 n(1y)，則 dz(1,0)2edx (e 2)dy【分析】基本題型，直接套用相應的公式即可【詳解】ex yxex y ln(1 y),xex yx 1rydz(1,0)2edx (e2)dy.1(4)設行向量組(2,1,1,1), (2,1,a,a) , (3,2,1, a) , (4,3,2,1)線性相關，且 a 1，則 a=-2【分析】 四個4維向量線性相關，必有其對應行列式為零，由此即可確定a.【詳解】由題設，有211121aa(a 1)(2a 1)0,得 a321a43211,a-，但題設a 1，故a丄.2 2,X中任取一

10、個數，記為 Y,則(5)從數1,2,3,4中任取一個數，記為 X,再從1,2,13py 2=48【分析】本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式，且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】PY 2 = PX 1PY 2X 1 + P X 2PY 2X 2+ PX 3PY 2X 3+ PX 4PY 2X 4_ 1=4(6)設二維隨機變量(X,Y)1 123的概率分布為(0113)448Xy0100.4a1b0.10與XXY已知隨機事件1相互獨立，則 a= 0.4, b= 0.1【分析】a,b的取值.【詳解】首先所有概率求和為由題設，知1，可得a+b=0.5,其次

11、，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a+b=0.5又事件X 0與XY 1相互獨立，于是有PX 0,XY 1 PX 0PX Y 1，即 a=(0.4 a)(a b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1二、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求, 把所選項前的字母填在題后的括號內)(7)當a取下列哪個值時，函數 f(x) 2x3 9x212x a恰好有兩個不同的零點(A)2.(B)4.(C)6.(D)8. B 【分析】 先求出可能極值點，再利用單調性與極值畫出函數對應簡單圖形進行分析，當恰好有一個極 值為零時，函數f(x)恰好有兩個不同

12、的零點【詳解】f (x)26x18x 12 = 6(x 1)(x 2)，知可能極值點為 x=1,x=2，且a，可見當a=4時，函數f(x)恰好有兩個零點,故應選 (B).(8)設I1cosjx2Dy2d,I2(x,y)2 2x y1，則(A)131211.(B)(C)12 hI 3 .(D)【分析】 關鍵在于比較x22y、2 x【詳解】在區(qū)域D ( x, y)2 xy2 1-1:2 222Vx yxy2f(1)5 a, f (2)4Dcos(x2y2)d,13cos(x2Dy2)2d ,其中11I12 2y與(x上，有02 2y )在區(qū)域 D ( x, y) x2 2x y 1，從而有/22、

13、2小(x y )0y21上的大小.由于COSX在上為單調減函數，于是0 cos. x2y2cos(x2 y2) cos(x22 2 2 2 2 2 2因此 cos . x y d cos(x y )d cos(x y ) d ，故應選(A).DDD(9)設an o,n 1,2 ,若 an發(fā)散， (1)n 1an收斂，則下列結論正確的是n 1n 1(A)a2n 1收斂，a2n發(fā)散(B)a2n收斂，a2n 1發(fā)散n 1n 1n 1n 1(C)(a2nn 11a2n)收斂(D)(a2nn 11 a2n )收斂D 【分析】 可通過反例用排除法找到正確答案1【詳解】取an 1，則an發(fā)散， (1)n1a

14、n收斂,nn 1n 1故應選(D).但 a2n 1與 a2n均發(fā)散，排除(A),(B)選項，且 2n 1玄2.)發(fā)散，進一步排除(C),n 1n 1n 1事實上，級數 (a2n1 a2n)的部分和數列極限存在n 1(10)設f(x) xsin x cosx,下列命題中正確的是(B) f(0)是極大值，f()是極小值f(0)是極小值，f(2)是極大值.-9 -(C) f(0)是極大值，f()也是極大值.(D)f(0)是極小值，f()也是極小值2 2 B 【分析】 先求出f (x), f (x)，再用取極值的充分條件判斷即可.【詳解】f (x) sinx xcosx sinx xcosx，顯然 f

15、 (0)0, f (-)又 f (x) cos x xsin x，且 f (0) 應選(B).(11)以下四個命題中，正確的是1 0, f (-)0，故f(0)是極小值，f是極大值,(A)若f(X)在(0，1)內連續(xù)，貝U f(x)在(0，1)內有界.(B )若f(x)在(0, 1)內連續(xù)，貝U f(x)在(0, 1)內有界.(C)若f (x)在(0, 1)內有界，貝y f(x)在(0, 1)內有界.(D) 若f (x)在(0, 1)內有界，貝U f (x)在(0, 1)內有界.C 【分析】 通過反例用排除法找到正確答案即可1 1【詳解】設f(x)=,則f(x)及f (x)2均在(0，1)內連

16、續(xù)，但f(x)在(0，1)內無界，排除(A)、xx(B);又 f(x) . x 在(0，1)內有界，但 f (x)=在(0，1)內無界，排除(D).故應選(C).2、x(12)設矩陣A= (aj )33滿足AT*tA，其中A是A的伴隨矩陣，A為A的轉置矩陣.若an, a12,比為三個相等的正數，則an為(A),33(B)3.(C)(D) 3 .【分析】題設與A的伴隨矩陣有關，一般聯想到用行列展開定理和相應公式:*AAAE.【詳解】At 及 AA A AAE，有ajAj.i, j 1,2,3，其中Aj為ay的代數余子式,ij且aatAE而 | AAna12 A12a13 A133a110，于是A

17、 1，且a11.故正確選項為(A).(13)設1, 2是矩陣A的兩個不同的特征值,對應的特征向量分別為1,A( 12)線1 ,-11 -性無關的充分必要條件是(A)10.(B)20.(C)0.(D)20.【分析】討論一組抽象向量的線性無關性,可用定義或轉化為求其秩即可【詳解】方法一：令k1k2 A( 12)0，則1 k2 1 1 k2 2(k1k2 1) 1 k2 2 2 0 .由于1, 2線性無關，于是有k1k2 10,k2 20.當20時，顯然有k10,k2 0,此時1，A( 12)線性無關；反過來,1，A(線性無關，則必然有20(,否則，1與A( 12)= 1 1線性相關)，故應選(B)

18、.測得樣本均值x 20(cm)，樣本標準差s 1(cm),(20 ：t0.1(16),2O t.1(16).44【分析】總體方差未知，求期望的區(qū)間估計，用統(tǒng)計量:x t(n 1). sn【詳解】由正態(tài)總體抽樣分布的性質知，1)，故的置信度為 0.90的置信區(qū)間是1(x t_(n- n 21 11),x t (n 1)，即(20 t.5(15),20Jn I41二 t0.05 (15).故應選(C).4三、解答題(本題共 9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分8分)1 x 1.x).e x型未定式，求叫(1【分析】【詳解】lim (丄二x 0 1 e x

19、-)x1 0x(1Xe )x2 xx1 ex212xx e2x2x e3= Xm0=limx 0般先通分，再用羅必塔法則x2Axx x1e2 mo IK方法二:由于1,A( 12) 1, 1 1221 10 2可見1，A( 12)線性無關的充要條件是1 120.故應選(D).0 2(14)設一批零件的長度服從正態(tài)分布N (2)，其中,2均未知.現從中隨機抽取16個零件,的置信度為0.90的置信區(qū)間是則11(A)(20 匚t.05(16),2O 匚t.05(16).(B)441111(C) (20t.05(15),2Ot.05(15).(D)(2O(15),20 切(15). C 4444-13

20、 -(16)(本題滿分8分)所以2 2 設f(u)具有二階連續(xù)導數，且g(x, y) f (y)yf (-)，求X2 gy2 gxyxy【分析】 先求出二階偏導數，再代入相應表達式即可.詳解】 由已知條件可得g 每 f(Y) f(?)xxxy2g2 x2h(y)2V4 xf (-)VV(-)，Vxxg1VX、x rxf ()f (一)f 1(),yxxVVV2122g2-f(y)x f2 1百x f2 1(x)x f3(?)，yxxyyyyyy222 g2gx 2y2xv2y上V2V rxx2,x、V2 ,V、x2x=f()f()f()f()f ()xxxVVVxxVVax x(17)(本題滿

21、分9分) 計算二重積分x2Dy2 1d ，其中 D (x, y) 0 x 1,0 y 1.【分析】【詳解】x2(18)被積函數含有絕對值,記 Di ( x, y)D2(x, y) xy2 1d(r2應當作分區(qū)域函數看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分即可(x2D11,(x, y)1,(x,y)1)dxdyD，D，(x2D21)dxdy1)rdr(x21)dxdy(x22y 1)dxdyD1dx0(x2y2 1)dy2d01(r20 1)rdr =4(本題滿分9分)1求幕級數(1)x2n在區(qū)間(-1,1)內的和函數m 2 n 1S(x).-15 -轉化為幾何級數或已知函數的幕級數展開式,【分析】幕級

22、數求和函數一般采用逐項求導或逐項積分, 從而達到求和的目的.【詳解】-19 -由于因此又由于所以(19)S(x)Si(x)(丄 1)x2n，1 2n 112nnRX，S2(x)2nx ，n 1S(x)Sjx) S2(x)，xS2(x)n(xSi(x)xS1(x)S1 (0)S1(x)S(x)(本題滿分設 f(x),g(x)在0，0【分析】【詳解】ag(x)f1,1).則 F(x)在0，22n xx2nFtS,x)8 分),x (x1,1),1ln21 I 1In2x 10,S2(x)1上的導數連續(xù),x,xxx1,0.1In2x 1 x0,且 f(0)=0, f (x)0 , g (x)0 .證

23、明：對任何 a 0,1，有1(x)dx 0 f(x)g (x)dx f (a)g(1).可用參數變易法轉化為函數不等式證明，或根據被積函數的形式，通過分部積分討論 方法一：設x1F(x) 0g(t)f (t)dt 0 f(t)g (t)dt f(x)g(1)，1上的導數連續(xù)，并且F (x) g(x)f (x) f (x)g(1) f (x)g(x)g(1)，由于x 0,1時，f (x)0, g (x)0 ,因此F (x)0，即F(x)在0，1上單調遞減.注意到1 1F(1)0g(t)f (t)dt f(t)g(t)dtf g(1),iii i而 g(t)f(t)dt 0g(t)df(t) g(

24、t)f(t) 0f(t)g(t)dti=f(i)g(i) 0 f(t)g (t)dt,故 F(i)=0.因此x 0,i時，F(x) 0,由此可得對任何 a 0,i，有方法g(x) f (x)dxg(x) f (x)dxf (x)g (x)dxg(x)f(x)f(a)g(i).f (x) g (x)dxa=f (a)g(a)0 f(x)g (x)dx，g(x) f (x)dxf (x)g (x)dxai=f (a)g(a)0 f (x)g (x)dx 0 f(x)g (x)dxif (a)g(a) a f (x)g (x)dx.由于x 0,i時，g (x)0，因此f (x)g (x) f (a)

25、g (x)，x a,i，從而f (x)g (x)dxg(x) f (x)dxf (a)g (x)dxf (x)g (x)dxf(a)g(i) g(a)，f(a)g(i).f (a)g(a) f (a)g(i) g(a)（20）（本題滿分i3分）已知齊次線性方程組Xi2X23x30,(i)2xi3x25x30xX2ax30,(ii)xi bx2 cx30,2 2xi b x2(c i)x30,同解，求a,b, c的值.【分析】 方程組（ii）顯然有無窮多解，于是方程組（i）也有無窮多解，從而可確定a,這樣先求出（i）的通解，再代入方程組（ii）確定b,c即可.【詳解】 方程組（ii）的未知量個數

26、大于方程個數，故方程組方程組（ ii）有無窮多解因為方程組（i） 與（ii）同解，所以方程組（i）的系數矩陣的秩小于3.對方程組（i）的系數矩陣施以初等行變換12310 123501 1 ，11a00 a 2從而a=2.此時，方程組（i）的系數矩陣可化為1 231012 35011，1120 00故（1, 1,1）T是方程組（i）的一個基礎解系.將捲 1,X21 X31代入方程組（ii）可得b 1,c2 或 b 0,c1.當 b 1,c2時，對方程組（ii）的系數矩陣施以初等行變換，有顯然此時方程組（i ）與（ii）同解.當 b 0,c1時，對方程組（ii）的系數矩陣施以初等行變換，有顯然此時

27、方程組（i）與（ii）的解不相同綜上所述，當a=2,b=1,c=2時，方程組（門與（ii）同解（21）（本題滿分13分）ACT為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對稱矩陣,C為m n矩陣.（I）計算PtDP，其中PEmoA 1CEn（II）利用（I）的結果判斷矩陣 BCTA 1C是否為正定矩陣，并證明你的結論【分析】 第一部分直接利用分塊矩陣的乘法即可；第二部分是討論抽象矩陣的正定性，一般用定義【詳解】(1)因PTEm cta 1oEn，有EmoACEmA 1Cptdp =dcta1En CTBoEnACEmA 1CoBCTA1C oEnAooBCTA 1C .(II)矩陣B CtA 1C是正定矩陣.由(I)的結果可知，矩陣 D合同于矩陣A o o B CTA1C又D為正定矩陣，可知矩陣M為正定矩陣.因矩陣M為對稱矩陣，故BCTA 1C為對稱矩陣.對X(0,0,0)T及任意的-21 -y(yi, y2, , yn)T ，有(xt,yt)oB CtA 1CYT(B CtA 1C)Y 0.故 B CtA 1C 為正定矩陣(22)(本題滿分13分)設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f (x, y)1,0 x 1,0 y 2x,0, 其他.求：(I) (X,Y)的邊緣概率密度fX (x), fY(y)；(II) Z 2X Y的概率密度fz(z).(III ) PY X2【分析】