年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué).函數(shù)的單調(diào)性

1、2.3函數(shù)的單調(diào)性知識梳理1 .增函數(shù)、減函數(shù)的定義一般地，對于給定區(qū)間上的函數(shù) f （x）,如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值Xi、X2,當(dāng)XiVX2時，都有f（Xi） V f（X2）或都有f（Xi） >f（X2），那么就說f （x）在這個區(qū)間上是增 函數(shù)（或減函數(shù)）.如果函數(shù)y=f（X）在某個區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)），就說f（X）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格 的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做f（X）的單調(diào)區(qū)間.如函數(shù)是增函數(shù)則稱區(qū)間為增區(qū)間，如函數(shù)為減函數(shù)則稱區(qū)間為減區(qū)間.2 .函數(shù)單調(diào)性可以從三個方面理解（1）圖形刻畫：對于給定區(qū)間上的函數(shù) f（X）,函數(shù)圖象如從左向右連續(xù)上升，則稱函數(shù)

2、在該 區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)圖象如從左向右連續(xù)下降，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減（2）定性刻畫：對于給定區(qū)間上的函數(shù) f （x）,如函數(shù)值隨自變量的增大而增大，則稱函數(shù)在 該區(qū)間上單調(diào)遞增，如函數(shù)值隨自變量的增大而減小，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減（3）定量刻畫，即定義.上述三方面是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑.點擊雙基1 .下列函數(shù)中，在區(qū)間（0, 2）上為增函數(shù)的是A.y=x+1B.y= . XC.y=X2 4x+5D.y=-x答案：B2 .函數(shù)y=loga （x2 + 2x 3）,當(dāng)x=2時，y> 0,則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A.（巴3）B. （1, +8）C. （00, 1）D. （1

3、, +°0）解析：當(dāng) x=2 時，y=loga5>0, ： a> 1.由 x2 +2x3>0= xv 3 或 x> 1,易見函數(shù) t = x2 + 2x3 在（00, 3）上遞減，故函數(shù) y=log a （x2+ 2x 3）（其中 a>1）也在（ 3）上 遞減.答案：A3 . （2003年北京朝陽區(qū)模擬題）函數(shù) y=log 1 |x3|的單調(diào)遞減區(qū)間是 .2解析：令u=|x3,則在（一8, 3）上u為x的減函數(shù)，在（3, +8）上U為X的增函數(shù).又0V 1 V 1 , 在區(qū)間（3, +8）上，y為X的減函數(shù).2答案：（3, +8）4 .有下列幾個命題：函

4、數(shù)y=2x2+x+1在（0, +8）上不是增函數(shù)；函數(shù) y=L在（0°, 1）u （ 1, x 1+ °°）上是減函數(shù)；函數(shù) y= V5 + 4x -x2的單調(diào)區(qū)間是12, +°°）；已知f （x）在R上是增 函數(shù)，若a+b>0,則有f（a）+f（b） >f（ a）+f（ b）.其中正確命題的序號是 .解析：函數(shù) y=2x2+x+1在（0, +8）上是增函數(shù)，：錯；雖然（ 8, 1）、（ 1,+ 8）都是 尸工 的單調(diào)減區(qū)間，但求并集以后就不再符合減函數(shù)定義，：錯；要研究函數(shù)x 1y=M5+4xx2的單調(diào)區(qū)間，首先被開方數(shù) 5+4x

5、-x2>0,解得一1<x<5,由于2, +8)不是 上述區(qū)間的子區(qū)間，：錯；(x)在R上是增函數(shù)，且a>b, ：b>a, f (a)>f(b), f (b) >f ( a), f (a) +f (b) >f (a) +f ( b),因此是正確的.答案：典例剖析【例1】 如果二次函數(shù)f (x) =x2 (a1) x+5在區(qū)間(1,1)上是增函數(shù)，求f (2)的取2值范圍.剖析：由于f (2) =22 (a1) X2+5= 2a+11,求f (2)的取值范圍就是求一次函數(shù) y=- 2a+11的值域，當(dāng)然就應(yīng)先求其定義域.解：二次函數(shù)f (x)在區(qū)間(

6、1,1)上是增函數(shù)，由于其圖象(拋物線)開口向上，故其2對稱軸x二a二或與直線x=1重合或位于直線 x=1的左側(cè)，于是_a二2- 2 7-(x1-1)(x2 -1)''' 1 Vx1x2 V1 , x2 x>0, xx2+1 >0, (x12 1) ( x2 1) >0.又 a>0, f (x)一 f (x2) >0,函數(shù)f (x)在(一1, 1)上為減函數(shù).【例3】 求函數(shù)y=x+1的單調(diào)區(qū)間.x剖析：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(亦即判斷函數(shù)的單調(diào)性)，一般有三種方法： (1)圖象法；(2)定義法；(3)利用已知函數(shù)的單調(diào)性.但本題圖象不易作，利用

7、 y=x與y=x的單調(diào)性(一增一減)也難以確定，故只有用單調(diào)性定義來確定，即判斷 f汽2)f (x1)的正負.解：首先確定定義域：x|xW0, 在(一8, 0)和(0, +OO)兩個區(qū)間上分別討論.任取xpx2(0,+0°)且x1x2,貝 f(x2) f(x1)=x2+工 一 A =汽2x1)+-x2 =(*2x)(1x2x1x1x2),要確定此式的正負只要確定1 的正負即可.xx2這樣，又需要判斷 ,大于1,還是小于1.由于xx2的任意性，考慮到要將(0, +8) x1x2為(0, 1)與(1, +8)(這是本題的關(guān)鍵) <1 ,解之得a<2,故f 22222(2) &

8、gt;- 2X2+11=7,即 f (2) > 7.【例2】 討論函數(shù)f (x)二年一(a>0)在xC (1,1)上的單調(diào)性.x -1解：設(shè)一1Vx1Vx2<1 ,則 f (x1) f (x2)ax1ax2-2 d2 dx1 - 1x? - 122(I -1)(x22 -1)xx2ax2 _ a(x2x1)(x1x2 1)(1)當(dāng) Xi、X2C (0, 1)時，1 ' V0, X1X2(X2) f (Xi) V 0,為減函數(shù).(2)當(dāng) Xi、X2C (1, +00)時，i ，>0,X1X2 f(X2) f(X1)>0,為增函數(shù).同理可求(3)當(dāng)X1、X2C

9、( 1,0)時，為減函數(shù)；(4)當(dāng)xX2C( 8, 1)時，為增函數(shù).評述：解答本題易出現(xiàn)以下錯誤結(jié)論：f(X)在(1,0) U (0, 1)上是減函數(shù)，在( 8,1) U (1, +8)上是增函數(shù)，或說 f(X)在(一8, 0) U (0, +8)上是單調(diào)函數(shù).排除障礙 的關(guān)鍵是要正確理解函數(shù)的單調(diào)性概念：函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，而不是兩個或兩個以上不相交區(qū)間的并.深化拓展求函數(shù)y=x+ a (a>0)的單調(diào)區(qū)間. X提示：函數(shù)定義域 XW0,可先考慮在(0, +8)上函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性的 關(guān)系得到在(一8,0)上的單調(diào)性.答案：在(8, ja,( ja,+00

10、)上是增函數(shù)，在(0,"a】，(va,0)上是減函數(shù).【例4】 定義在R上的函數(shù)y=f(X), f (0) W0,當(dāng)X>0時，f(X)>1,且對任意的a、b C R,有 f (a+b) =f (a) f (b).(1)求證：f (0) =1;(2)求證：對任意的 xCR,恒有f (x) >0;(3)求證：f (x)是R上的增函數(shù)；(4)若f (x) f (2x x2) > 1,求x的取值范圍.(1)證明：令 a=b=0,則 f (0) =f 2 (0).又 f (0)豐 0,f (0) =1.(2)證明：當(dāng) XV0 時，一x>0, f (0) =f (x

11、) f ( x) =1.f ( x) = >0.又 x>0 時 f (x) > 1>0, f(x)：xC R 時，恒有 f (x) > 0.(3)證明：設(shè) X1VX2,則 X2 X1 > 0.f(X2) =f(X2-X1+X1) =f(X2-X1) - f (x1).- X2 x1 > 0, f (X2x)> 1.又 f (x)> 0, ： f(X2 x1) f (x1)> f (x1).(X2) >f (x1).f (x)是 R 上的增函數(shù).(4)解：由 f (x) f (2x x2) > 1, f (0) =1 得 f

12、 (3x x2) >f (0).又 f (x)是 R 上的增函 數(shù)，:3x- X2> 0. ： 0V xv 3.評述：解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件，尤其是(3)中“f (X2)=f ：(X2-X1) +X1”是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1. (2004年湖北，理7)函數(shù)f (x) =ax+loga (x+1)在0, 1上的最大值與最小值的和為a,則a的值為A. -B. -C.2D.442解析：f (x)是0, 1上的增函數(shù)或減函數(shù)，故 f (0) +f (1) =a,即1+a+loga2=au loga2=1,2=a = a=.2答案：B2 .

13、設(shè)函數(shù)f (x) =loga岡在(巴 0)上單調(diào)遞增，則f (a+1)與f的大小關(guān)系是A.f (a+1) =f (2)B.f (a+1) >f (2)C.f (a+1) v f (2)D.不能確定解析：由f (x) = J°ga(-x),x5f°),且f (x)在(巴0)上單調(diào)遞增，易得0va<1.：1 JOga x, xW(0什)，va+1 v2.又f (x)是偶函數(shù)，：f (x)在(0, +8)上單調(diào)遞減.f (a+1) >f (2).答案：B3 .函數(shù)y=loga (2 ax)在0, 1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是A. (0, 1)B. (0, 2)

14、C. (1, 2)D. (2, +8)解析：題中隱含 a>0, ：2ax在0, 1上是減函數(shù).：y=log au應(yīng)為增函數(shù)，且 u=2ax在0, 1上應(yīng)恒大于零.：'a >1,2-a>0. . 1 v a<2.答案：C4.(文)如果函數(shù)f (x) =x2+2 (a1) x+2在區(qū)間(一°°, 4上是減函數(shù)，那么實數(shù) a的取 值范圍是.解析：對稱軸 x=1 a,由1a>4,得a<3.答案：a<- 3(理)(2003年湖北省荊州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查題)函數(shù)y=f (x)的圖象與y=2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)y=f (4

15、x-x2)的遞增區(qū)間是 .解析：先求 y=2x的反函數(shù)，為 y=log2x,f (x) =log2x, f (4x x2) =log2 (4x x2).令 u=4xx2,則 u>0,即 4x-x2>0.,. x (0, 4).又 u=-x2+4x的對稱軸為x=2,且對數(shù)的底為2>1, ：y=f (4x x2)的遞增區(qū)間為(0, 2).答案：(0, 2)5.討論函數(shù)f (x)=型上！(aw)在(一2, +8)上的單調(diào)性.x 22解：設(shè)xx2為區(qū)間(一2, +8)上的任意兩個值，且 x1Vx2,則f (x1)一 f (x2)ax1 1 ax2 1x1 2 x2 2(ax1 1)(

16、x2 2) - (ax2 1)(x12)(% 2)(x22)(x2 -x1)(1-2a) =.(Xi 2)(X22),XiC ( 2, +°°) , X2C ( 2, +°°)且 xiX2,x2x1>0, X1+2>0, x2+2>0.:當(dāng)12a>0,即avl時，f (xi) >f(X2),該函數(shù)為減函數(shù)；2當(dāng)1 2av0,即a>1時，f (x1)vf ,該函數(shù)為增函數(shù).2培養(yǎng)能力6. (2003年重慶市高三畢業(yè)班診斷性試題)已知函數(shù)f (x) =m (x+-)的圖象與函數(shù)h (x)x=1 (x+1) +2的圖象關(guān)于點

17、A (0, 1)對稱.4 x(1)求m的值；(2)若g (x) =f (x) +2在區(qū)間(0, 2上為減函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍.4x解：(1)設(shè)P (x, y)為函數(shù)h (x)圖象上一點，點 P關(guān)于A的對稱點為Q (x'，y'),則有 x' =-x,且 v' =2 y.丁點 Q (x，y')在 f (x) =m (x+1)上，x:v =m (xz +工). x將 x、y 代入，得 2 y=m ( x).x整理，得 y=m (x+- ) +2. m=-.x4(2) g (x) =- (x+a),設(shè) x1、X2C (0, 2,且 X1VX2,4 x則 g

18、 (x1)- g(X2) =1 (X1-X2) - X1X2 (1 +a)>0 對一切 x1、X2 (0, 2恒成立.4x1x2.X1X2 (1 + a) <0 對一切 xP X2C (0, 2恒成立. .由 1+a>x-X2>4,得 a>3.7. (2004年春季上海)已知函數(shù) f (x) =|xa|, g (x) =x2 +2ax+1 (a為正常數(shù))，且函數(shù)f (x) 與g (x)的圖象在y軸上的截距相等.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f (x) +g (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若n為正整數(shù)，證明10f(f ) g(n)V4.5(1)解：由題意，f (0) =

19、g (0), |a|=1,又 a>0,所以 a=1.(2)解：f (x) +g (x) =|x- 1|+x2+2x+1.當(dāng)x> 1時，f (x) +g (x) =x2+3x,它在1, +8)上單調(diào)遞增；當(dāng) xv 1 時，f (x) +g (x) =x2+x+2,它在1,1)上單調(diào)遞增.2(3)證明：設(shè)Cn=10f(n)- (4) g(n),考查數(shù)列Cn的變化規(guī)律:解不等式 如 <1,由g>0,上式化為 cn10 .( 4)2n+3<1,解得 n> - =3.7.因 n N*,得 n >4,于是 Ci< C2<C3<C4.而 a>

20、C5>C6>，21g 0.82所以加"(4) g(n) <l0f(4) . ()g(4)=i03.(3)25<4.555探究創(chuàng)新8. (2005年北京西城區(qū)模擬題)設(shè) aC R,函數(shù)f (x) =e (ax2+a+1),其中e是自然對數(shù)的2底數(shù).(1)判斷f (x)在R上的單調(diào)性；(2)當(dāng)一1vav0時，求f (x)在1, 2上的最小值.解：(1)由已知f，(x) =- - e x (ax2+a+1) +1e x, 2ax 22= 1ex( ax2+2ax a1).2因為-e-x>0,以下討論函數(shù)g (x) = ax2+2axa1值的情況：2當(dāng)a=0時，

21、g (x) = 1 v0,即f ' (x) v 0,所以f (x)在R上是減函數(shù).當(dāng) a>0 時，g (x) =0 的判別式 A=4a2 4 (a2+a) =4av0,所以 g (x) v0,即 f ' (x) v 0, 所以f (x)在R上是減函數(shù).當(dāng)av0時，g (x) =0有兩個根xe a"_a ,并且 ""a v "Sa ,所以在區(qū)間(一 aaa8, a +v -a )上，g (x) > 0,即f ' (x) >0, f (x)在此區(qū)間上是增函數(shù)； a在區(qū)間(a +<-a , af a )上，g (

22、x) V0,即f ' (x) V0, f (x)在此區(qū)間上是減函數(shù). aa在區(qū)間(a r-a , +oo)上，g (x) >0,即f'(x) >0, f (x)在此區(qū)間上是增函數(shù). a綜上，當(dāng)a>0時，f (x)在R上是減函數(shù)；當(dāng)a<0時，f (x)在(一8, a+7-a)上單調(diào)遞增，在(a+7-a , a a)上單調(diào)遞 aaa減，在(a _*'_a , +OO)上單調(diào)遞增. a(2)當(dāng)一1vav0 時，史上Ea=1+三二a v 1, a"a =1 +-L >2,所以在區(qū)間1,2aaa. -a 5a 1上，函數(shù)f (x)單調(diào)遞減.

23、所以函數(shù)f (x)在區(qū)間1,2上的最小值為f (2)二巴.2e2評述：函數(shù)的最值和函數(shù)的單調(diào)性有緊密聯(lián)系.判斷較復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)函數(shù)的符號是基本方法.思悟小結(jié)1 .函數(shù)的單調(diào)性是對于函數(shù)定義域內(nèi)的某個子區(qū)間而言的.有些函數(shù)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)的，如一次函數(shù)；而有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)而在另一部分區(qū)間上可能是減函數(shù)，如fl (xEQ), 二次函數(shù)；還有的函數(shù)是非單調(diào)的，如 y二2 .函數(shù)單調(diào)性定義中的XI、X2有三個特征：一是同屬一個單調(diào)區(qū)間；二是任意性，即 XI、X2是 給定區(qū)間上的任意兩個值，“任意”二字絕不能丟掉，更不可隨意以兩個特殊值替換；三是有大小， 通常規(guī)定X1

24、vx2.三者缺一不可.3 .在解決與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題時，通常有定義法、圖象法、復(fù)合函數(shù)判斷法，但最基本的 方法是定義法，幾乎所有的與單調(diào)性有關(guān)的問題都可用定義法來解決4 .討論函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進行 .教師下載中心教學(xué)點睛1 .本節(jié)的重點是函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)概念，難點是利用概念證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性.復(fù)習(xí)本節(jié)時，老師最好引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：1°設(shè)值；2。作差；3°變形；4°定號；5°結(jié)論.2 .教學(xué)過程中應(yīng)要求學(xué)生準(zhǔn)確理解、把握單調(diào)性定義中“任意”的含意，函數(shù)單調(diào)性的重要作 用在于化歸，要重視運用函數(shù)的單調(diào)性將問題化歸轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)化歸意識3 .討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的根據(jù)：設(shè) y=f (u), u=