不等式的證明 第四課時(shí) 人教版

1、不等式的證明 第四課時(shí)【自學(xué)導(dǎo)引】1利用放縮法證明不等式時(shí)，需要有明確目標(biāo)，才能放縮適當(dāng)，其理論依據(jù)是不等式的傳遞性2換元法是把試題中反復(fù)出現(xiàn)的代數(shù)式用一個(gè)字母代換或用一個(gè)熟悉的函數(shù)替換，達(dá)到化繁為簡，化生為熟，化難為易的目的，但要注意換元的等價(jià)性3根據(jù)題意，構(gòu)造一個(gè)熟悉函數(shù)、或易證明單調(diào)性的函數(shù)，把證明不等式化歸為比較函數(shù)值的大小【思考導(dǎo)學(xué)】1a2b21等價(jià)于acos，bsin，R1等價(jià)于xacos，ybsin，R2f(x)(m0)在(0，)上為增函數(shù)，f(n)在1，上為減函數(shù)3的大小關(guān)系為【典例剖析】例1已知ABC三邊長是a、b、c，且m為正數(shù)求證： (教材P17第9題)分析：構(gòu)造函數(shù)f(

2、x)(x0，m0)不等式右邊f(xié)(c)，左邊f(xié)(a)f(b) 易知單調(diào)性f(x)，隨x增大而增大單調(diào)增函數(shù)因abc，故有f(ab)f(c)，只要證f(a)f(b)f(ab)即可因此縮小的目標(biāo)是把f(a)f(b)縮小為f(ab)即可證明：設(shè)函數(shù)f(x)(x0，m0)易知f(x)隨x增大而增大，f(x)在x(0，)是增函數(shù)f(a)f(b)f(ab)，abc，f(ab)f(c)點(diǎn)評：ABC中：abc；當(dāng)a0，b0，m0時(shí)， 恒成立，因此，也可不構(gòu)造函數(shù)例2已知1x2y22，求證：x2xyy23證明：設(shè)xrcos，yrsin(1r，02)x2xyy2r2cos2rcos·rsinr2sin2r

3、2(1sin2)1sin2，1r22r2(1sin2)3，即：x2xyy23點(diǎn)評：三角函數(shù)是熟悉函數(shù)，它有很多重要性質(zhì)換元時(shí)注意要等價(jià)，如1r，02例3求證：(nN*且n0)證明：又故原不等式成立點(diǎn)評：不等式的放縮要有明確的目標(biāo)，依據(jù)目標(biāo)確定要放縮的大小，及時(shí)調(diào)整結(jié)構(gòu)形式，從而達(dá)到證明的目的例4設(shè)a、b、cR，證明：a2acc23b(abc)0，并指出等號何時(shí)成立證明：將左邊整理成關(guān)于a的二次式，f(a)a2(c3b)ac23b23bc，求f(a)0的判別式，得(c3b)24(c23b23bc)3(c2b22bc)3(bc)20f(a)0，當(dāng)0時(shí)，等號成立，即bc0，這時(shí)f(a)a2acc23

4、aba22abb2(ab)20abc點(diǎn)評：在用比較法或綜合法無效時(shí)，如果能整理成關(guān)于某變數(shù)的二次式f(a)0或f(a)0時(shí)，可考慮用判別式法【隨堂訓(xùn)練】1設(shè)x0，y0，M，則M、N的大小關(guān)系是_解析：答案：MN2設(shè)ab1，a0，b0，則a2b2的最大值是_解析：設(shè)acos2，bsin2(02)則a2b2cos4sin4cos4sin42sin2cos22sin2cos2(cos2sin2)2sin221sin221答案：13設(shè)a、b、c、dR，a2b21，c2d21，則abcd的最小值等于( )A B C D解析：1a2b22ab12ab1同理12cd1abcd的最小值為答案：B4下列函數(shù)中，

5、y的最小值是4的是( )Ay2x (xR且x0)By2x4·2x(xR)Cy (xR)Dysinx(0x)解析：若x0，y4，否定Ay2x4·2x24當(dāng)且僅當(dāng)2x4·2x即x1時(shí)取等號，可選B若，則x241，這是不可能的，故否定C同理，sinx，否定D答案：B【強(qiáng)化訓(xùn)練】1已知a0，b0，c0，且abc，設(shè)M，則M、N的大小關(guān)系是( )AMNBMNCMND不能確定解析：答案：A2設(shè)x2513，y2514，z()15，則下列關(guān)系式成立的是( )AxyzBxzyCyxzDzyx解析：函數(shù)yax，當(dāng)a1時(shí)為增函數(shù)，且有a01，當(dāng)0a1時(shí)為減函數(shù)，1x2513y2514z

6、()15()01，yxz答案：C3若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是( )A0，B2，2 C， D2，2解析：設(shè)asin，bcos，(02absincos2 (sincos)2sin()2ab2答案：D4設(shè)m、n、x、yR且m2n29，x2y24，則mxny的最大值是( )AB6C D5解析：設(shè)m3cos，n3sin，x2cos，y2sin，mxny6coscos6sinsin6cos()6答案：B5設(shè)abc，nN且，則n的最大值為( )A2B3C4D5解析：設(shè)abx，bcy，則x0，y0acxy，故原不等式可化為n2，而24nmax4答案：C6設(shè)a、b、c、dR，則( )AmnB

7、mnCmnDmn解析：設(shè)A(a，b)、B(c，d)、O(0，0)|OA|OB|AB|，得mn答案：D7若x2y2m(m0)，實(shí)行三角代換時(shí)，可設(shè)x_，y_若x2y2a(a0)，則可設(shè)x_，y_若y，當(dāng)設(shè)xcos時(shí)，y_，的取值范圍選在_；如令xsin，則y_，此時(shí)_答案：(其中02）sin cos(其中0，02）sin 0， cos 8已知a0，的最小值為_解析：設(shè)t8，當(dāng)且僅當(dāng)a4時(shí)取等號 (t8)可證t在8，上是增函數(shù)，故t最小值是答案：9求證：1證明：設(shè)y則yx2(y1)xy10xR，當(dāng)y0時(shí)，(y1)24y(y1)01y，當(dāng)y0時(shí)，x1故110已知：a，b，cR求證：abc分析：在第一

8、個(gè)根號內(nèi)含a、b，在第二個(gè)根號內(nèi)含a、c，放縮的目標(biāo)是第一個(gè)根號縮為(b)2，第二個(gè)根號縮為(c)2證明：abc11已知：a2，求證：loga(a1)·loga(a1)1證明：a2 a11loga(a1)0，loga(a1)0，且不等式loga(a1)·loga(a1)1【學(xué)后反思】1利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式難點(diǎn)是構(gòu)造單調(diào)性易證的函數(shù)(或是熟悉的函數(shù))如例1，設(shè)函數(shù)f(x) (m為常數(shù)，x0)2利用放縮法證明不等式，關(guān)鍵要有明確的放縮目標(biāo)，而這個(gè)目標(biāo)來源于對試題的分析；如例1，f(a)f(b)要縮成f(ab)，“隨堂訓(xùn)練”第1題要縮成，“強(qiáng)化訓(xùn)練”第10題把第一個(gè)根號縮為

9、b，把第二個(gè)根號縮為c3換元要等價(jià)，要注意考慮新元的范圍如例2，1r，02，有1r2cos2r2sin221x2y22“強(qiáng)化訓(xùn)練”第8題，設(shè)t8【教學(xué)建議】不等式的證明方法很多，在進(jìn)行其他證明方法的教學(xué)時(shí)，建議突出換元法、反證法、放縮法的教學(xué)講解換元法證題時(shí)，應(yīng)強(qiáng)化新元的范圍不等式證明的習(xí)題課【雙基再現(xiàn)】1比較法是最重要，最基本的方法，作差比較法的步驟是：作差，變形，判斷差的符號，變形是手段，判斷差的符號才是目的作商比較法的步驟是：作商、變形、判斷商與1的大小2分析法與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法分析法是執(zhí)果索因，步步尋求上一步成立的充分條件其邏輯關(guān)系是：B(結(jié)論)B1B2BnA(已知)綜合法是

10、由因?qū)Ч?，利用已證明過的不等式或不等式性質(zhì)，推導(dǎo)所要證明的不等式，其邏輯關(guān)系是：通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法表述證明過程，所以分析法和綜合法經(jīng)常結(jié)合在一起使用3不等式的證明方法還有：放縮法、換元法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、利用函數(shù)的單調(diào)性證法等4牢記公式a2b22ab(a，bR)，(a0，b0)，學(xué)會變式使用公式和把公式變形應(yīng)用記住由上述公式推出的常用結(jié)論：如a2b2c2abacbc，a2b2【典例剖析】例1已知(0，求證：2sin2證法一：(作差比較法)2sin2x(0，)sin0，1cos0，(2cos1)202sin202sin2證法二：(作商比較法)4cos(1cos)1(2co

11、s1)210，sin0，1cos001，2sin2證法三：(分析法)要證明2sin2成立，只要證明4sincos(0，)，sin0只要證明4cos上式可變形為44(1cos)1cos0，4(1cos)24當(dāng)且僅當(dāng)cos，即時(shí)取等號44(1cos)成立不等式2sin2成立證法四：(綜合法)4(1cos)4，(1cos0，當(dāng)且僅當(dāng)cos即時(shí)取等號)4cos (0，)，sin04sincos 2sin2點(diǎn)評：應(yīng)體會四種證法的特點(diǎn)及優(yōu)缺點(diǎn)例2若2a26b23，求證:ab證明：2a26b23，2b21可設(shè)asin，bcos，0，2asin，bcosabsincossincossin()ab點(diǎn)評：對于ma

12、2nb2c，m、n、c為正常數(shù)，a，b為變數(shù)，可施行如下三角變換：右邊變1，1，令sin，cos，0，2(若n0，其余條件不變時(shí)，可設(shè)sec，tan例3已知a0，b0，c0，且abc1求證：錯(cuò)證：證明：引入?yún)?shù)t0(構(gòu)造使用均值不等式的條件)，則同理 (t213b1) (t213c1)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即abc時(shí)上述三式同時(shí)取等號) 把a(bǔ)bc代入abc1解得代入式得點(diǎn)評：錯(cuò)證的原因分析：當(dāng)取“”號時(shí)，應(yīng)有13a113b113c11，但abc1，所以不是最大值此類問題不能直接證明時(shí)，常常引進(jìn)參數(shù)，以便過渡例4已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1求證：a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)證明：假

13、設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，abcd1，(ab)(cd)1又(ab)(cd)acbcadbdacbd，acbd1這與已知acbd1矛盾 a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)點(diǎn)評：與“至少”有關(guān)的命題常常用“反證法”例5已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足abc5，a2b2c29，求證：a，b，c的值都不小于1，又都不大于2證明一：將c5ab代入a2b2c29中得：a2(b5)a(b25b8)0a為實(shí)數(shù)(b5)24(b25b8)(b1)(73b)01b2，同理：1a2，1c2證明二：令f(x)2x22(ab)xa2b2x22axa2x22bxb2(xa)2(xb)20(恒正)20 2(ab)24×2&#

14、215;(a2b2)04(5c)28(9c2)0 (c1)(3c7)0 1c2同理1a2，1b2點(diǎn)評：此不等式涉及到二次函數(shù)問題，故可用判別式法，也可以用構(gòu)造函數(shù)法，又已知條件是x，y，z的輪換對稱式，故只需求出一個(gè)變量的范圍，同理可求另兩個(gè)變量范圍【能力提高】1已知ab0，全集UR，Mx|b|x，Nx|xa，Px|bx，則( )APMUNBPUMNCPMNDPMN解析：在ab0的條件下，將a、b、表示在數(shù)軸上用數(shù)形結(jié)合的方法，就可得到答案ab0，ba把它們在數(shù)軸上表示出來：如圖容易得出PMUN答案：A2設(shè)x0，y0，則A、B的大小關(guān)系是( )AABBABCAB DAB解析：用放縮法答案：B3

15、已知ab0，則下列各式中成立的是( )ABCD解析：可用作差法又ab00答案：D4已知a、bR，且ab，ab2，則( )A1abBab1Cab1Dab1解法一：排除法令a0，b2可排除A、D、C解法二：a2b22ab2(a2b2)(ab)24a2b22，1又ab等號不成立1又aba(2a)2aa2(a1)211(ab，a1)故B正確答案：B5若a、b、cR且abbcca1，則下列不等式成立的是( )Aa2b2c22B(abc)23C Dabc解法一：排除法令a2，b1，c可排除C、D；令abc可排除A解法二：a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac2(a2b2c2)2(abbcac)即a

16、2b2c2abbcac1(abc)2a2b2c22(abbcca)3答案：B6設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2(y1)21，當(dāng)xyd0恒成立時(shí)，d的取值范圍為_解析：設(shè)xcos，y1sin()d(xy)(sincos)1sin()1恒成立只需dsin()1的最大值便可而sin()1的最大值為1d1答案：1，)7設(shè)a0，b0且ab1，的最大值為_解析：取yy2而由1ab2可得aby答案：8已知，a0，b0，求證：(ab)2 (ab)2證明：要證明(ab)2(ab)2·，只需證明(ab)(ab)2a0，b0 ab20只需證明ab只需證明只需證明顯然上式成立成立9已知a，b，c分別為一個(gè)三角形的三邊之長，求證：分析：若用abc，即1，則有3，顯然這種證法不可以把原式變化為，根據(jù)試題特征只要證明即可證明：a、b、c為三角形三邊長，abc2(ab)abc0 兩邊同乘以2c同理 10已知x、y、z均大于零，求證：證明：由已知同理:三式相加得：11求證：