對稱性及常微分方程的精確解

1、對稱性及常微分方程的精確解作者:日期:(1)對稱性及常微分方程的精確解1根據(jù)對稱性求解一階常微分方程如何求解一階常微分方程dy x y我們看w y /x在變換（2）時是不變的 wdx xy的精確解？看起來有些困難。但是，仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)方程具有如下對稱性x 2xy y也就是說對因變量 y和自變量x作這樣的變換，微分方程仍然不變dy X y2dx x y我們看如何通過變換變量求解這個方程? 將變換寫為2ax e xay e y（2）可以看出，變換就是參數(shù)a從0改變的結(jié)果，可以認(rèn)為是對 a從0平移到a造成的。a可以 任意改變不影響這個對稱性，我們稱方程（1）具有單參數(shù)平移變換不變性。你可能有點(diǎn)不

2、耐煩，“那有怎么樣，我要的是方程的精確解！”稍安勿躁，這包含變換變量的技巧！ 如果我將因變量和自變量變?yōu)?w,t y2/x,ln（x）又會怎樣?可以預(yù)見，方程（1）會變成F （竽w）0的形式。這樣就可以求解了為什么？y2/x y 2/x，而t ln(x)在變換(2)時有at In(x) In(e x) t a , 一般方程（1 ）會變?yōu)閐wF（-w，t,w）0（3）dt不變性，同樣地方程（3）也具有變換（2）不變性。的形式，但是別忘了方程（1）具有變換（2） 由于dw和w在變換（2）中不變，在變換（2）時方程（3）變?yōu)閐t廠/dw ,、cF（,t a,w） 0 dt因此上述方程只能不再顯含t。

3、回答完畢。我們看一看針對方程（1）具體的表達(dá)式dw d(y2/x) xd(y2 /x)dt 1/xdx2y(7xydx2ydydx3w果然改變變量后dwdt3w不顯含t。于是dw2 3w1 ln(231 ln(23223 x(x(2 Cx3w)23)xCx 3In xy （x（2 Cx 3）/3）1/2這樣就求出方程的精確解。真得感謝對稱性。是啊，對稱性是個好東西!2尋找微分方程的對稱不變解微分方程有沒有滿足對稱性（2）的解？有的，當(dāng)C 0時y2（-x）1/2就具有（2）所示對稱性。3事先求解方程能否得到它？可以的。看變換（2）滿足的微分方程，如果將（2）看成包含參數(shù)a的隱函數(shù)（x,y不改變）

4、,ggy -dinx 2的對稱解也滿足這個方程 ，因此，對稱解同時滿足兩個微分方程我們知道方程（1）dydxdydx2X yxy丄2x消去業(yè)得到丄dx 2x2-2Cx一，即X,即卩 y ( x)1/2。xy23般情況我們應(yīng)該總結(jié)一下了 ：對于微分方程 F(加y) 0,已經(jīng)知道它的變換不變性x f(x,a) y g(y,a)其中 f(x,O) x;g(y,O) y我們可以反解出a來,a f 1(y,y) a g 1(x,x)選取變量w,t h(g 1(x,x0)f 1(y,yo),g 1(x,xo),這里xo,yo是任意選定的常數(shù),h()是任意形式的函數(shù)，h(g 1(x,x0)f ty, y。)

5、可以是變換不變的任意表達(dá)式。就可以將方程化為畤,w)0的形式,從而求解方程。計算微分方程的變換不變解，可以先計算對稱解遵循的常微分方程dy ag(x,a) dx a f(x,a)將這個導(dǎo)數(shù)帶入原微分方程F(dy,x, y) 0，就得到dxF( ag(x,a) af (x, a)a 0,x, y)得到的隱函數(shù)就是微分方程的變換不變解。4根據(jù)對稱性化簡高階微分方程或微分方程組我們知道，高階微分方程可以化為一階微分方程組 比如d 2ydy xy 0dx dx就可以化為zdxdz _2yz xy dx依次類推。我們只將微分方程組的化簡。 為了方便，我們舉例講解比如微分方程組dxXyzdz12z ydx

6、y2 Xx滿足變換ae Xe2a y的不變性e az我們選取自變量tln(x)，選取因變量u -y2,vXXZF(u,v)G(u,v)含t ,原因同上面講的一樣不顯du dv,一,u,v組合而成，不能顯含 dt dt將上式相除，可以約掉t,變?yōu)?，這個方程組t。，只能由 變換不變的量組合起來,即由可以預(yù)見原來方程組變?yōu)閐u dt dv dtdu F(u,v) dv G(u,v)使得方程組減少一個變量 具體上述例子，化簡了方程。du dt dv dtd(y/x2) d l n X d(xz) dln X.dyXdX X2dz dXX yzuv 2uzx x2(丄yX2孕)Xzx果然方程變?yōu)閡v 2

7、udu d? dv dtt,化簡為常微分方程不再顯含du u(1 uv 2u)dv碰巧,1 v2u2 vu這個方程還有對稱性，可以完全求解。這里作為讀者一個練習(xí)題。計算方程的不變解，與微分方程的情況相同。將對稱性變?yōu)槲⒎址匠蘢l n y 2 d l n X dlnz 1 d l n X上述對稱性解也滿足這個微分方程，因此同時滿足dy dx dz dxyz2z y2xdy dx dz dx2y/xz/x因此,對稱解滿足yz 2y / x2 孕 z/xx根據(jù)對稱性化簡微分方程組般情況常微分方程組 F (d,x,u )0,1,.,ndx具有如下單參數(shù)變換不變性(單參數(shù)李群變換不變性)x X(x,u , a)U (x,u , a),1,., n反求第一個方程得到a T(x,u )，上面n+ 1個方程消去a ,可以得到n個表達(dá)式V (x,u ),1,.,n作新因變量