勾股定理知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)及練習(xí)

1、第 課時(shí)E f.g第十八章勾股定理一.基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1:勾股定理直角三角形兩直角邊 a、b的平方和等于斜邊 c的平方。(即：a2+b2=c2)要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(在 ABC中， C 90 ,則c a2 b2 , b . c2 a2 , ac2 b2 )(2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊(3)利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題2:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面

2、積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：122 八一、一方法：4 s S正方形efgh So形abcd，4 3 ab (b a) c ,化間可證.方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S 4 -ab c2 2ab c22大正方形面積為 S (a b)2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2一_11.1 2方法一S弟形（ab） （a b），S梯形2S ade S abe 2 ab c ,222化簡(jiǎn)得證3:勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即Aa2 b2 c2中，

3、a, b, c為正整數(shù)時(shí)，稱 a, b, c為一組勾股數(shù)記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25 等用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n2 1,2n,n2 1 （n 2, n為正整數(shù)）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n 為正整數(shù)）2222m n ,2mn,m n （m n, m , n 為正整數(shù)）規(guī)律方法指導(dǎo)1 .勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2 .勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān) 系的題目。3 .勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角

4、邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯 的主要錯(cuò)誤。二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例1 .在 ABC 中， C 90 .已知AC 6, BC 8.求AB的長(zhǎng)已知AB 17, AC 15,求BC的長(zhǎng)分析：直接應(yīng)用勾股定理a2 b2 c2解： AB AC2 BC2 10 BC . AB2 AC2 8題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例題1如果梯子的底端離建筑物 9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米解析：這是一道大家熟知的典型的 “知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后,已知斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)，求另外一條直角邊的長(zhǎng)度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理 AC?+BC2=AE2,即

5、 AC2+92=152，所以 AC2=144，所以 AC=12.例題2如圖（8）,水池中離岸邊 D點(diǎn)米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分 BC的長(zhǎng)是米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度 AC.解析：同例題1 一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖 2.由題意可知 ACD中, /ACD=90°，在RtACD中，只知道CD=,這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2,根據(jù)勾股定理，ac2+cd2=ad2設(shè)水深A(yù)C= x米，那么 AD=AB=AC+CB=x+x2+=(x+) 2解之得x=2.故水深為2米.題型四：利用勾股定理求

6、線段長(zhǎng)度 例題4如圖4,已知長(zhǎng)方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm在邊CD上取一點(diǎn) E,將 ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,求CE的長(zhǎng).解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。詳細(xì)解題過(guò)程如下：解：根據(jù)題意得 RtA ADE RtAAEF，/AFE=90° , AF=10cm, EF=DE設(shè) CE=xcm,則 DE=EF=CD CE=8- x在Rt ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,即 82+BF2=102,BF=6cm .CF=BC- BF=10- 6=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得:E=Cm+CF2,即(8x) 2=x2+42,.

7、64- 16x+x2=2+16. .x=3(cm),即 CE=3 cm注：本題接下來(lái)還可以折痕的長(zhǎng)度和求重疊部分的面積第一課時(shí)第十八章勾股定理一.基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1:勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c,則有關(guān)系a2+b2 = c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：(1)首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c;(2)驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若 c2=a2+b2,則4ABC是以/C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2,則4ABC是以/

8、C為鈍角的鈍角三角形；若 c2<a2+b2,則 ABC為銳角三 角形）。（定理中a, b, c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a , b , c滿足a2 c2 b2,那么以a , b , c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊）2:勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。3:互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。4 .

9、勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a, b, c有下列關(guān)系：a2+b2 = c2, ?那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法.5 .?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì) 數(shù)形結(jié)合”的理解.c我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆B-D定理）二、經(jīng)典例題精講題型一：勾股定理和逆定理并用 一一Al例題3 如圖3,正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FB AB那么 DEF是直角三角形嗎為什么4

10、解析：這道題把很多條件都隱藏了， 乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。 仔細(xì)讀題會(huì)意_ ，1可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒(méi)有任何條件，我們也可以開(kāi)創(chuàng)條件，由FB _ AB可以設(shè)AB=4a,那么B4E=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAAFD、RtA BEF和 RtCDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長(zhǎng)，反過(guò)來(lái)再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。詳細(xì)解題步驟如下：解：設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4a,則BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在 RtCDE中，DE2=CD2+C2=（4a）2+（2 a）2=20 a2同理 EF2=5a2, DF2=25a2在 DEF 中，EF

11、2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2. DEF是直角三角形，且/ DEF=90° .注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型二：利用勾股定理逆定理判斷垂直例題5如圖5,王師傅想要檢測(cè)桌子的表面 AD邊是否垂直與 AB邊和CD邊，他測(cè)得AD=80cm, AB=60cm, BD=100cm, AD邊與AB邊垂直嗎怎小¥去驗(yàn)證 AD邊與CD邊是否垂直我們通常截取部分長(zhǎng)度來(lái)解析：由于實(shí)物一般比較大，長(zhǎng)度不容易用直尺來(lái)方便測(cè)量。驗(yàn)證。如圖4,矩形 ABCD表示桌面形狀，在 AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm（想想為什么要設(shè)為這兩個(gè)長(zhǎng)度

12、），連結(jié)MN,測(cè)量MN的長(zhǎng)度。產(chǎn) I1 口如果MN=15，則AM2+AN2=MN2,所以AD邊與AB邊垂直；如果 MN=awl5,貝U 92+122=81 + 144=225, a2w 225，即 92+122w a2,白 圖與 。所以/ A不是直角。利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題一一例題6有一個(gè)傳感器控制的燈， 安裝在門上方，離地高米的墻上，任何東西只要移至5 米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)解析：首先要弄清楚人走過(guò)去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈 5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖 6所示，A點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度， BC/

13、MN,BC，AN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離 A有5米時(shí)，求BC的長(zhǎng)度。已知 AN=米，所以AC=3米， 由勾股定理，可計(jì)算 BC=4米.即使要走到離門4米的時(shí)候燈剛好打開(kāi)。題型三：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：例1、如圖， ABC是直角三角形，BC是斜邊，將 ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與 ACP'重合,若AP=3,求PP'的長(zhǎng)。變式1:如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=2j3,PC=4求4ABC的邊長(zhǎng).分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將 BPA堯點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60。，將三條線段集中到同一個(gè)三角形根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形變式2、如圖， ABE等腰直角三角形,BAC=90&#

14、176; , E、F是 BC±的點(diǎn)，且/ EAF=45 ,試探究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說(shuō)明理由題型四：關(guān)于翻折問(wèn)題例1、 如圖，矩形紙片 ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿 AE折疊，點(diǎn)B恰在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).變式：如圖，AD是4ABC的中線，/ ADC=45°的位置，BC=4求BC'的長(zhǎng).題型五：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方

15、向18千米/小時(shí),那行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少題型六：關(guān)于最短性問(wèn)題例5、如右圖1 19,壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的 B處有一只害蟲(chóng)，便決定捕捉這只害蟲(chóng)，為了不引起害蟲(chóng)的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行突然襲擊.結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功,1位小數(shù)，可以用計(jì)獲得了一頓美餐.請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng)（兀取，結(jié)果保留 算器計(jì)算）變式：如圖為一棱長(zhǎng)為形，其邊長(zhǎng)都是1cm,假設(shè)一只螞蟻行至右側(cè)面的 B點(diǎn)，最少要花幾秒第

16、一課時(shí)勾股定理練習(xí)一.填空題：1 .在 RtABC 中，/ C=90°（1）若 a=5, b=12,貝 U c=;（2） b=8, c=17,貝U Szxabc=。2 .若一個(gè)三角形的三邊之比為5 ： 12 ： 13,則這個(gè)三角形是 （按角分類）。3 .直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則其周長(zhǎng)為 。4 .傳說(shuō)，古埃及人曾用“拉繩”的方法畫直角，現(xiàn)有一根長(zhǎng)24厘米的繩子，請(qǐng)你利用它拉出一 個(gè)周長(zhǎng)為 24厘米的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三邊的長(zhǎng)度分別為 厘 米,厘米,厘米,其中的道理是 .5 .命題“對(duì)頂角相等”的逆命題為 ，它是命題.（填“真”或“假”）6 .觀察下列各式：32

17、+42=52； 82+62=102； 152+82=172； 242 + 102=262；你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律請(qǐng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出接下來(lái)的式子： 。7 .利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個(gè)圖形被稱為弦圖（最早由三國(guó)'積. 因而c2=+，化簡(jiǎn)后即為/Tc b /一 J /AaV1111111111第8題圖時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的）.從圖中可以看到：大正方形面積=小正方形面積十四個(gè)直角三tTb8 . 一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是 3,高是8的長(zhǎng)方體紙箱的 A點(diǎn)沿紙箱爬到 B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是二.選擇題:9 .觀察下列幾組數(shù)據(jù):(1) 8, 15, 17; (2) 7,

18、 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25.其中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的有（）組A. 1B. 2C. 3D. 410 .三個(gè)正方形的面積如圖，正方形A的面積為（A. 6B.4C. 64D. 811 .已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是5和12,則第三邊為A.B. ,1191 3或 11912.下列命題如果 a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；如果直角三角形的兩邊是5、12,那么斜邊必是13;如果一個(gè)三角形的三邊是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形；一個(gè)等腰直角三角形的三邊是a、 b、c, (a>b=c),那么 a2 :b2 : c2=2 ： 1 ： 1。其中正確的是（A、B、C、D、13 .三角形的三邊長(zhǎng)為(a+b) 2=c，2ab,則這個(gè)三角形是()A.等邊三角形； B.鈍角三角形；C.直角三角形；D.銳角三角形.14 .如圖一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口 A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口 A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后，則兩船相距()A、25海里B、30海里C、35海里 D、40海里15 .已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為10, 一腰上的高為 6,則以底邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為( )A、40B、80 C 40