中考數(shù)學壓軸題專題旋轉(zhuǎn)的經(jīng)典綜合題

1、一、旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖：在 ABC中，Z ACB=90, AC=BC, Z PCQ=45,把NPCQ繞點C旋轉(zhuǎn)，在整個旋 轉(zhuǎn)過程中，過點A作AD_LCP,垂足為D,直線AD交CQ于E.（1）如圖，當N PCQ在N ACB內(nèi)部時，求證：AD+BE=DE；（2）如圖，當CQ在NACB外部時，則線段AD、BE與DE的關系為；【答案】見解析（2） AD=BE+DE （3） 8【解析】試題分析：（1）延長到匕使。尸DE，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距 離相等可得CE=CF,再求出N4CF=N8CE,然后利用“邊角邊證明 ACF和 8CE全等，根 據(jù)全等三角形的即可證

2、明AF=8E，從而得證：（2）在4。上截取。尸DE,然后根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得 C=CF,再求出N4CF=N8CE,然后利用“邊角邊證明 ACF和 8CE全等，根據(jù)全等三角形 的即可證明AF=BE,從而得到AD=BE+DE；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD=。尸DE,再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底 邊的比求出AF=2AD,然后求出4。的長，再根據(jù)AE=4D+DE代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解. 試題解析：（1）證明：如圖，延長。4至IJF,使DF=DE. CDLAE, /. CE=CF,N DCE=N OCF=N PCQ=45, Z ACD+Z ACF=Z. D

3、CF=45.又：N 4C8=90, N PCQ=45,：.Z ACD+Z BCE=90 - 45=45, Z ACF=Z. BCE.在A/CF 和A8C 中,CE = CF.NACF = /BCE , ：. ACa BCE （SAS） , /. AF=BE, ：. AD+BE=AD+AF=DF=DE,即 AC = BCAD+BE=DE；（2）解：如圖，在4D上截取CDL4E,，CE=CF, N OCE:N DCF二N PCQ=45, ； ECF=N DCE+N DCF=90: N BCE+N BCF=N ECF=90 .又Z ACB=90 ：. Z ACF+Z BCF=90 ：. Z ACF=

4、N BCE.在4 ACF 和a BCE 中，CE = CF,一 /ACF = /BCE , ：. AC色 & BCE （SAS） , ：. AF=BE, ：. AD=AFWF=BEWE9 即 AC = BCAD=BEWE；故答案為：AD=BE+DE.(3) , Z DCE=Z DCF=N PCQ=45。，Z ECF=450+45=90, /. ECF 是等腰直角三角形,1CD=DF=DE=6*Sa 8ce=2Sa 1Aco，AF=AD9AD=x6=2,=4D+Df =2+6=8.1 + 2點睛：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離 相等的性質(zhì)，等腰直角三角形

5、的性質(zhì)，綜合性較強，但難度不是很大，作輔助線構(gòu)造出全 等三角形是解題的關鍵.2.在平面直角坐標系中，0為原點，點A （8, 0）,點B （0. 6）,把AABO繞點B逆時 針旋轉(zhuǎn)得AB0，點A、。旋轉(zhuǎn)后的對應點為A、0記旋轉(zhuǎn)角為a.（1）如圖1,若a=90。，則AB=,并求AA，的長；（2）如圖2,若a=120。，求點O的坐標：（3）在（2）的條件下，邊OA上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應點為*當OT+B,取得最小值 時，直接寫出點P的坐標.【答案】（1） 10, 10式：（2）（36，9）；顯）【解析】試題分析：（1）、如圖，先利用勾股定理計算出AB=5,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BA，N ABA，=9

6、0。，則可判定 ABA，為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AA，的 長：（2）、作OHJLy軸于H,如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO，=3, N OBOSO。,則 Z HBOZ=60,再在RtA BHO,中利用含30度的直角三角形三邊的關系可計算出BH和0由的 長，然后利用坐標的表示方法寫出0點的坐標；（3）、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=B，則 O，P+BP，=OP+BP,作B點關于x軸的對稱點C,連結(jié)OC交x軸于P點，如圖，易得 OT+BP=Ot,利用兩點之間線段最短可判斷此時OT+BP的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線Oc的解析式為y&x-3,從而得到P （羋，0）,則OP=OP=

7、 葦，作3 155，D_LO，H于D,然后確定N DP930。后利用含30度的直角三角形三邊的關系可計算出，D和DO,的長，從而可得到，點的坐標.試題解析：（1）、如圖，,點A （4, 0）,點B （0, 3）,.OA=4, OB=3,AB=5, a ABO 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn) 90。，得ABO, Z. BA=BA N ABA=90。， ABA為等腰直角三角形，AA= BA=5/2 :、作OHJy軸于H,如圖，A ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得 ABOT, BO=BO=3, Z OBO/=120% Z HBO=60,在 RtA BHO中，: Z BOH=90 -Z HBO=30, 33/

8、33 9/. BH= BO歹，OH=a5BhT, .OH=OB+BH=3.二7,.二 O點的坐標為筆1）;（3） ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120%得 ABO,點P的對應點為P，/. BP=BPS/. OT+BPOT+BP,作B點關于x軸的對稱點C,連結(jié)O1交x軸于P點,如圖， 則OP+BP=OT+PC=OC,此時OP+BP的值最小,叫點C與點B關于x軸對稱,/. C （0,-3）,設直線OC的解析式為尸kx+b,把 0，（卷）,C （ 0, - 3 ）代入得.港 9k+b=y,解得13k- 3直線01的解析式為y/亞X-3,當y=0時，攣x - 3=0,解得返，則P 3 ：3 ：5（等 0）,O

9、P上叵,0/P/=0P=5 ,作 PD JLOH 于 D,55: Z BOA=N BOA=90, Z BOH=30, Z DPO=30, OD$P=萼，小服/加缶-一嚷歲一萼二警 .P點的坐標為（堂臣留，）.5 ， 5VA考點：幾何變換綜合題3.如圖1, ACB. AED都為等腰直角三角形，Z AED=Z ACB=90%點D在AB上，連CE, M、N分別為BD、CE的中點.(1)求證：MNCE：(2)如圖2將 AED繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)30。，求證：CE=2MN.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】 試題分析：(1)延長DN交AC于F,連BF,推出DEIIAC,推出 EDN CFN

10、,推出DF FN DN= =,求出DN=FN. FC=ED,得出MN是中位線，推出MNII BF,證CF CN NF CAE邕 ABCF,推出NACE=NCBF,求出N CBF+N BCE=90,即可得出答案：(2)延長DN到G,使DN=GN,連接CG,延長DE、CA交于點K,求出BG=2MN,證 CAE合a BCG,推出BG二CE,即可得出答案.試題解析：(1)證明：延長DN交AC于F,連BF,B圖1 N為CE中點， , EN=CN,a ACB 和 AED 是等腰直角三角形,Z AED=Z ACB=90, DE=AE, AC=BC,Z EAD=Z EDA=Z BAC=45% , DE II

11、AC, . EDM- a CFN,DE _EN _ DN CFCNNF 丁 EN二NC,/. DN=FN, FC=ED,/. MN是A BDF的中位線，MN II BF,AE=DE, DE=CF,/. AE;CF, Z EAD=Z BAC=45% . Z EAC=Z ACB=90%在 CAE用必BCF中，CA=BCE = 90。.又點。在線段跳:上，得NAOB = 90。.由(I)知，AQ = AO，又 AB = AB, ZAOB = 90， RuADBRtAOB.由AP3經(jīng)aAOB,得 ZBAO = ZBAO.又在矩形A。8c中，OAHBC,ZCBA = ZOABABAD = NCBABH

12、= AH.設BH=1,則A” = /, HC = BC-BH=5-t.在 HbAHC 中，有 A2=ac2+”c2, =32+(57)2.解得f = 9. BH(m)30-3后 s3O + 3后點睛：本大題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)等知 識，靈活運用勾股定理求解是解決本題的關鍵.8.如圖1,直線。E上有一點O,過點O在直線DE上方作射線OC，Z COE= 140%將一直 角三角板八08的直角頂點放在點。處，一條直角邊OA在射線0。上，另一邊08在直線(1)(2)設旋轉(zhuǎn)時間為1秒.當直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，0A恰好平分N COD,求此時N BOC的度數(shù);

13、若射線0C的位置保持不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某個時刻，使得射線04 0C、0D中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線？若存在，請求出t的取值，若 不存在，請說明理由：（3）若在三角板開始轉(zhuǎn)動的同時，射線0C也繞。點以每秒15。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周， 從旋轉(zhuǎn)開始多長時間，射線0C平分N80D.直接寫出t的值.（本題中的角均為大于0且 小于180。的角）137【答案】（1）Z BOC= 70： （2）存在，t=2, t=8 或 32； （3） 一或二.22【解析】【分析】（1）由圖可知N8OC=NAO8-NAOC, N 40C可利用角平分線及平角的定義求出.（2）分04平分N COD, 0C平分N4。，0。平分N 40C三種情況分別進行討論，建立關于t的方程，解方程即可.（3）分別用含t的代數(shù)式表示出NCOD和NBOD,再根據(jù)0C平分N 80。建立方程解方程 即可，注意分情況討論.【詳解】（1）解：Z C0= 140,Z COD=1800 - Z COE=40,又；OA平分N COD.：.Z AOC= - Z 8。=20。， 2/ Z 408=90%Z 80c=900 - Z AOC=70（2）存在當 04 平分N CO。時，NAOD=NAOC,即 101=20。，解得:t=2：當 OC 平分