分塊矩陣的初等變換及應(yīng)用_百度文庫.

1、十.研究創(chuàng)新題解:1.分塊矩陣的初等變換分塊矩陣的初等變換與初等矩陣吳云在1997年8月的工科數(shù)學(xué)上的分塊矩陣的初等變換一文中提到定義1分塊矩陣的行（列初等變換是指：（1）交換兩行（列的位置；（2）第1行（列的各個(gè)元素分別左乘（右乘該行（列的一個(gè)內(nèi)D階a瀚 '左（右保秩因子H ；第1行（列的各個(gè)元素分別左乘（右乘一個(gè)用'1階（"階）矩陣K后加到定義2對應(yīng)于分塊矩陣*5的初等分塊矩陣是指：C)0PM =其中H為第i行(列的一個(gè)左(右保秩因子;/4(%(1片"+丿(上»A'%)初等分塊矩陣與通常的初等矩陣類似 種直接驗(yàn)算可得：,但由于矩陣乘法不

2、滿足交換律,故需要分為左、右兩定理1(1交換"吒人r的第i行與第J行的元素E為h (i階單位矩陣，尸川為h (j階單位矩陣,相當(dāng)于左乘一個(gè)m階初等分塊矩陣,其中©£中當(dāng) ri且rMj時(shí)，腎為h ( r階單位矩陣；交換(兒人，的第i列與第j列相當(dāng)于右乘PFE一個(gè)n階初等分塊矩陣叭其中.-為1 (i階單位矩陣，啟為1 (j階單位矩陣,當(dāng)rMJ7i且rMj時(shí)，上-為1 ( r階單位矩陣；定理2設(shè)A為方陣，則分塊矩陣CWil'珂3訂施行第一種行初等變換后，對應(yīng)的行列式為其中h(i,j=h(ih(j-l+h(i+l+h(jh(i+h(i+j+h(j-l,l(i,j=

3、l(ih(j-l+l(i+l+l(jl(i+l(i+j+l(j-l,(2 (兒人r的第i行的每一個(gè)元素左乘一個(gè)矩陣H相當(dāng)于'厲幾 左乘一個(gè)m階分塊矩陣嚀中H為h ( i階方陣； y 的第i列的每一個(gè)元素右乘一個(gè)矩陣H，相當(dāng)于('A?右乘一個(gè)n階初等到變換矩陣氣")，其中H為！( i階方陣；(3 的第j行的每個(gè)元素分別左乘一個(gè)h( iXh ( j矩陣K后加到第i行，相當(dāng)于(4入'左乘一個(gè)初等分塊矩陣 尸/八丿13)；第J列的每一個(gè)元素分別右乘1( jx1 ( i矩陣K后加到第i列卻右乘，相當(dāng)于Wr右乘氣(九7仃).施行第二種初等變換后 式的值不變.,對應(yīng)的行列式

4、為I H I I A|;施行第三種初等變換后，對應(yīng)的行列顯然成立.證明：HZ下證151-，5所在的第1行逐次與它相鄰的行交換，移至丄力前，共進(jìn)行h ( iF-1+ h ( i +1+ h ( J -1次交換兩行，第2行逐次與它相鄰的行交換，移至 丿：前，同樣進(jìn)行 EE相同次交換兩行，依此類推，把所在的行移至 療所在的行前，共進(jìn)行所以有(i -1+ h ( i +1+ h ( J -1次交換兩行，然后把 (i +h ()4 5 /i +1+ h；同理Q移至適當(dāng)?shù)奈恢?，同理共進(jìn)行 (J -1次交換兩行，所以交換兩行的總次數(shù)為h ( i，J，故川=(-1hi i7i制或訂心】®=(-1 )

5、和沖只約)”巴(八yU->|-|4<川訓(xùn)一沖比(八 川訓(xùn)_沖定理3分塊矩陣進(jìn)行初等變換后，秩不變.證明：對于（1,相當(dāng)于對A二 Wr進(jìn)行若干次行（列的交換，故命題成立；對于（2,根據(jù)定 義1,顯然成立；對于（3,相當(dāng)于進(jìn)行若干次把 4 5）.行（列乘以一個(gè)倍數(shù)后加到另一行（列,故命題成立.定理4（1設(shè)A , B的行數(shù)均為m,則矩陣方程AX=B ,當(dāng)用皿（A = 呦衣（A , B =m時(shí)有唯一解,當(dāng)巾顯（A = M皿（A , B m時(shí)有無窮多解,當(dāng)冊用（A 巾皿（A, B時(shí)無解；如才）=n（2設(shè)A, B的列數(shù)均為n ,則矩陣方程XA =B ,當(dāng)巾皿（A = 時(shí)有唯一解,當(dāng)曲山（A =

6、刪M（，"爐） n有無窮多解，當(dāng)皿皿（A 皿伙川'甘J時(shí)無解.p證明：（1設(shè)皿皿（A =巾M （ A, B m ,則存在可逆矩陣P,Q,使其中J為r階單位矩陣,找為r階方陣QQ則有：=B所以"為AX =B的解,其中,灼是任意的.,顯然,AX =B有唯一當(dāng)股氏(A =巾皿(A, B =血時(shí)，A = P ( rn OQ , B =( 解："聘Q;當(dāng)燦(A <M( A , B時(shí),AX =B無解.兔同理可證（2成立（當(dāng)巾皿（A =（，川n時(shí),X=P L" "定義3對于任意的U , V ,如果巾加（=幗氏（%，幾=（屛，九則稱4為極大元.定

7、理5分塊矩陣（'k hr可以用分塊矩陣的初等變換對角化的充要條件是它有一個(gè)極大元.4,存在可逆矩陣P , Q,使 G'l.由定理兒r證明：充分性.不妨設(shè)為極大元（否則可以通過第一種分塊矩陣的初等變換把極大元移 到第一行，第一列交叉位置人4.二 F勺0令K =- P厲,幾為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣.則1八A4|+ -<!= P_A A_八L"勺,其中Q ,所以第一行左乘K加到第二行4,得L°A,1.同理,令K/ =-0 W兒則兒K，+州=0,所以wK%斗血的第一列右乘K后加到第二列（如先進(jìn)行列變換,再進(jìn)行行變換,得L"因?yàn)樾膹S珂2 = L仏貝* A

8、心_1+ < =忙Ai +如,故兩種運(yùn)算順序結(jié)果相同必要性.反證法，不妨設(shè)伽X （人心曲* （用，町或沏貳（八;，心血上（,則由定 理4，X州=-41或弘=-兒無解，從而不存在K ，使'4 L 2對角化.同理，當(dāng) rujik （叫I工巾M，人？或巾川火（叫I，電 工皿皿（人3時(shí)，不存在 K 使-All K=Aih或-人C=成立.定理5表明:并不是所有的2X2分塊矩陣都可以用分塊矩陣初等變換對角化，如果分塊矩陣沒有極大元，則需分得更細(xì)，才能對角化.定理6矩陣血*存在S -1行且存在t的一種分塊方法 SJz可以用分塊矩陣的初等變換對角化的充分條件是 -1列有極大元.證明：用數(shù)學(xué)歸納法

9、.當(dāng)S = t =1時(shí),只有一塊,命題成立;We, t< f時(shí)命題成立.當(dāng)S =e +1, t = f時(shí)，存在e行且存在f -1列有，使的前e2X2分塊矩陣，記為O1極大元，顯然可以用第一種分塊矩陣的初等變換行與前f -1列都有極大元，再把前e行，前f -1列看成一塊，得到一個(gè)新的,通過交換兩行或兩列的位置（矽2.顯然為極大元，根據(jù)定理4，'吐V可以化成對角形：-齢-5）w，它的每行、列都有極大，故由假設(shè)可以對角化，從而'如H 可以對角化. 同理可證當(dāng)S =e，t = f +1時(shí)，沁可以對角化.由此命題成立.F面討論對角化后的非零塊貝進(jìn)一步化簡的方法.O 11r r /i

10、, 11.仁01Q L嚴(yán)L & = enOJn 広 與.根據(jù)設(shè)定理1，.，尺為4的左（右保秩因子，顯然也是衛(wèi)Ji所在行（列的左（右保秩因子1,故對角化后的r<分塊矩陣第1行、第1列分別左乘厶，右乘K后，九可以化成B討論分塊方陣行列式的計(jì)算 ，先討論分塊初等陣的行列式設(shè)I為SXS分塊單位陣：I=其中I r 為r -階單位陣（1 < i < S,對 它們的行列式有下列計(jì)算公式 .I施行一次初等變換可得定義2所述的三種分塊初等陣引理分塊初等陣的行列式有以下性質(zhì)(1|l(i,j|=（，其中T =r （r*+1+M + r-(r +1+ r ' -1(i特別地，若戸+1

11、,則 | l(i,j|=(-1 r(2|I(i(K|=|k|,其中K是r-階可逆陣;(3|I(j(K,i|=1,其中K是r xr矩陣.證（1不難驗(yàn)證，將l（i,j（1/質(zhì),|l(i,j|=的元素行進(jìn)行T次相鄰的對調(diào)可將I（i,j 變成I,由行列式的性|1|=（ 1廠 （2,（3由對角分塊方陣及三角形分塊方陣的行列式計(jì)算方法即知由于對分塊方陣 A施行一次初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的分塊初等陣左乘A,由上述引理，我們有下列分塊方陣的行列式計(jì)算性質(zhì).定理7設(shè)A是一個(gè)分塊方陣.（1交換|A|的i,j兩行（列，行列式變?yōu)椋?1 T |A|,其中 T = r - (r *+1+ r + r，(r -+1+

12、r-1;特別地，交換|A|的相鄰兩行（列（i行和i+1行，行列式變?yōu)椋?1 r - r*+1|A|;（2用一個(gè)r 階可逆陣K左（右乘|A|的第i行（列的所有矩陣，等于用|K|乘以|A|;（3用一個(gè)矩陣左（右乘|A|的某一行（列的所有矩陣再加到另一行（列的對應(yīng)元素上，行列式不變.由定理7的（2可得推論分塊行列式|A|的某一行（列的所有矩陣的可逆左（右因子K,可以行列式|K|的形式提到行列式符號外.2.分塊矩陣初等變換的應(yīng)用、利用分塊矩陣的初等變換求矩陣的逆P屮D例1:已知°廖中行在2002年05期四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)上的初等變換在分塊矩陣乘法的一文 中提到其中B是r Xf可逆陣，C是s X

13、s可逆陣，求證：P 可逆，并求尸'.分析:本題是一個(gè)分塊陣的求逆問題 ，一般可用待定子塊法，也可利用廣義初等變換 span,還可用左乘分塊初等陣的方法 .解：因B、C可逆，故| B |和,|C |工0根據(jù)拉普拉斯展開，有H 0BC豐（故 P可逆.求C有三種辦法：f)C'解法一:利用廣義初等行變換法.(T.0C0BH ri0(BD故 p' =本題對分塊矩陣進(jìn)行廣義初等變換是一般矩陣的初等變換的一種推廣，其方法和一般矩陣相同.作初等行（列變換時(shí),對矩陣P應(yīng)左（右乘相應(yīng)的分塊單位陣.上述分塊初等變換的過程也可用分塊陣左乘相應(yīng)的分塊初等陣，可表示如下:解法二:可用左乘分塊初等陣

14、的方法求FA0 j/r,0F B D0 Ci-嚇£AWL 0LU1 0 月有丁 E -甘D i,hlR/JU、' F(V即：.0E .；0G'flf J=,0F?# O'-BD0故有P' =* 匚-1工Ef_1.0r'(B - R DCL=E0(ff)例2:已知A= °f)，求Al分析:本題是一個(gè)矩陣的求逆問題，一般可用公式法，矩陣的初等變換法求；可以用分塊矩陣初等變換法求'.利用分塊矩陣初等變換法?先A化分成分塊矩陣，即0ft(I0其中bH從而求得丿，C= 1D0010-1 O' >10n1Jc" =

15、 nD嗎E 0 r-jDC11、然后對A進(jìn)行廣義初等變換，即:（Ef) r ft F(b" DS +r J °" °(khf)0(Ifl<1如果用其它方法來求解將會變得很繁瑣，用分塊矩陣的初等變換發(fā)來求解就顯的比 較簡單.二、利用分塊矩陣初等變換求行列式的值宋玉英在2002年04期的蘭州教育學(xué)院學(xué)報(bào)上的用廣義初等變換”法求分塊矩陣”的逆矩陣一文中提到解：由推論及定理2是一個(gè)分塊方陣，其中A是r階可逆陣，求|P|.A ' B打A ' Br D0 D- rr'/s=A7 的（3：Q CA ' H若A與D可乘，則|P|=|

16、AD-ACAB|;又若A與C可交換（即AC=CA,則|P|=|AD-CB|.例if,其中 aM(求|A|解：DA =a L+ +川he i! Ae=e由于A,C可交換，所以D-° =ADIf訶、JJrr1J11 1Cft=|(ad-bcl|=(ad-bc例5設(shè)A,B,C和D是n階方陣試證明-IBD £en一/? 丸證兩次利用定理4的（1,得C DD CD ee p.1 aa-JO®B 舁/? A=（-1）=（-1） （-1）三、利用分塊矩陣的初等變換求矩陣的秩 史永銓在2002年02期淮南師范學(xué)院學(xué)報(bào)上的分塊矩陣初等變換及其應(yīng)用一文中提到:矩陣的秩有以下初等性質(zhì)：

17、設(shè)A與B分別是r Xs與P Xq矩陣，貝h1 d林網(wǎng) Ar (A + r (B并且當(dāng)A (或B是方陣且非異時(shí)，或者C =0時(shí)上式的等號成立.if例6.設(shè)A是m Xn陣的非異順序主子陣,=r (A + r (D - CA Bf A0 =ir A' 4M 1d=o D CA* H-1cA Se r>而A是非異陣，由以上性質(zhì)知rIA B 1 訥。"cTr (A + r ( D例7.設(shè)n階方陣A =(Q"為反對稱矩陣 證明：r2必為偶數(shù)(1：對n用歸納法n =1,2是命題顯然成立設(shè)階數(shù)小于n時(shí)命題為真則對n階及對稱矩陣A,將A分塊成A C0%A =，其中A =-JJ|.0不妨設(shè)(30.'r (A = r門=_|/01*- 4'c片0L尉；J甘!)nfo n- BA'c(Al + r作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換.=2+ r ( D - BA < C但D - B A C為階數(shù)比A低的反對稱矩陣,由歸納假設(shè)r ( D - BA C為偶數(shù)，四、分塊矩陣的初等變換在矩陣分解中的應(yīng)用例8.設(shè)A =( a 0是n階方陣，它的順序主子式全不為零證明：存在非異下三角形矩陣B與非異上三角形矩陣C,使A =BC證：對n用歸納法