多步非穩(wěn)態(tài)載荷下鋼軌滾動接觸應(yīng)力和彈塑性變形分析

1、第24卷第12期 Vol.24 No.122007年 12 月 Dec. 2007文章編號：1000-4750(2007)12-0158-06 工 程 力 學(xué) ENGINEERING MECHANICS 158多步非穩(wěn)態(tài)載荷下鋼軌滾動接觸應(yīng)力和彈塑性變形分析溫澤峰，*金學(xué)松，肖新標(biāo)(西南交通大學(xué)牽引動力國家重點實驗室，成都 610031)摘 要：采用彈塑性有限元法，分析了多步非穩(wěn)態(tài)載荷下鋼軌滾動接觸應(yīng)力和變形。多步載荷指的是鋼軌同時受到機(jī)車和車輛車輪的反復(fù)作用或多趟列車通過鋼軌。通過在鋼軌表面重復(fù)移動Hertz法向壓力分布和切向力分布來模擬車輪的反復(fù)滾動作用。材料循環(huán)塑性本構(gòu)模型采用考慮材料棘

2、輪效應(yīng)的Jiang-Sehitoglu模型。分析結(jié)果表明：在非穩(wěn)態(tài)載荷作用下，鋼軌接觸表面產(chǎn)生不均勻塑性變形而形成波狀表面；多步載荷對鋼軌殘余應(yīng)力影響不大；隨著機(jī)車車輪通過次數(shù)的增加，鋼軌殘余剪應(yīng)變、表面材料位移、波深和殘余累積等效塑性應(yīng)變將增大，在機(jī)車車輪通過之后，隨著車輛車輪通過次數(shù)的增加，前三個量將減小，而殘余累積等效塑性應(yīng)變繼續(xù)增大，但其增大的速率變小。隨著機(jī)車和車輛車輪反復(fù)滾過鋼軌，鋼軌殘余剪應(yīng)變、表面材料位移和波深變化速率即棘輪率呈衰減性。關(guān)鍵詞：非穩(wěn)態(tài)；多步載荷；殘余應(yīng)力；塑性變形；滾動接觸；有限元法中圖分類號：U211.5; O343.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：AELASTIC-PLAS

3、TIC ANALYSIS FOR ROLLING CONTACT STRESSES ANDDEFORMATIONS OF RAIL UNDER MULTIPLE-STEP NON-STEADYSTATE LOADINGWEN Ze-feng , *JIN Xue-song , XIAO Xin-biao(State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)Abstract: Rolling contact stresses and deformations of

4、 rail under the multiple-step non-steady state loading are analyzed by the elastic-plastic finite element method. Multiple-step loading implies the action of continuous locomotive/car wheels or multiple passages of trains over a rail. Repeated wheel rolling and sliding are simulated by multiple tran

5、slations of varying normal and tangential surface tractions across rail running surface. An advanced cyclic plasticity model proposed by Jiang and Sehitoglu that considers the material ratcheting effect is employed. A wavy rail running surface profile due to the uneven plastic deformation is formed

6、under the application of the multiple-step non-steady state loading. Multiple-step loading has an insignificant influence on the residual stresses of rail. The residual shear strain, surface displacements, wave depth and accumulated residual equivalent plastic strain increase with increasing number

7、of locomotive wheels rolling passages. After the passages of the locomotive wheels the increasing passage of car wheels reduces the residual shear strain, surface displacements and wave depth, and aggrandizes the residual equivalent plastic strain. However, the increasing rate 收稿日期：2006-05-10；修改日期：2

8、006-10-04基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(50575188,50375129)；西南交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)研究基金項目(2005B18)肖新標(biāo)(1978)，男，廣東陽春人，博士生，從事輪軌動力學(xué)研究(E-mail: xinbiaoxiao).工 程 力 學(xué) 159of the residual equivalent plastic strain becomes smaller when the car wheels pass through the rail. With an increasing number of train passes, the ratcheting rate of

9、the residual shear strain, surface displacements and wave depth shows a decaying tendency.Key words: non-steady state; multiple step load; residual stress; plastic deformation; rolling contact; finiteelement method隨著鐵路客貨運(yùn)量的增大和列車速度、軸重的提高，鋼軌滾動接觸疲勞變得日趨嚴(yán)重1,2。許多疲勞機(jī)理尚待弄清。輪軌接觸載荷作用下鋼軌表面及其內(nèi)部的應(yīng)力-應(yīng)變分布規(guī)律的研究是揭示鋼

10、軌滾動接觸疲勞機(jī)理的基礎(chǔ)。對于鋼軌滾動接觸應(yīng)力和素，如接觸斑寬度和最大壓力的變化。最大接觸壓力p0和接觸斑半寬a分別為：p0=2Pz(2) a(3) 變形分析，有很多研究者已進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)38采用半解析法分析了鋼軌彈塑性滾動接觸式中：Pz為橫向單位長度上的法向作用力；Ri為應(yīng)力，文獻(xiàn)916則利用有限元法進(jìn)行求解。文曲率半徑；Ei和i分別為材料的彈性模量和泊松獻(xiàn)17利用非Hertz滾動接觸理論在材料彈性范圍比，i=1,2分別表示車輪和鋼軌。取E1=E2=內(nèi)分析了輪對運(yùn)動狀態(tài)對輪軌滾動接觸應(yīng)力的影210GPa，1=2=0.3，R2=。對于車輛(貨車)響。文獻(xiàn)317及大多數(shù)對滾動接觸問題的研

11、究均車輪，R1=420 mm；對于機(jī)車車輪，R1=525 mm。把接觸載荷視為常數(shù)(穩(wěn)態(tài))。鐵路軌道存在不平順則式(2)和式(3)可寫成：是不可避免的，因此，車輪通過時鋼軌要承受非穩(wěn)p0=，車輛車輪(4a)態(tài)或動態(tài)載荷。非穩(wěn)態(tài)載荷對接觸應(yīng)力、變形和滾p0=，機(jī)車車輪(4b) 動體的疲勞損傷影響較大。在文獻(xiàn)18中，作者利a=，車輛車輪(5a) 用有限元法分析了非穩(wěn)態(tài)輪軌滾動接觸應(yīng)力和變a=形，但只考慮機(jī)車車輪的作用。機(jī)車車輪對鋼軌接觸表面作用力方向和車輪的運(yùn)動方向相反，且幅值較大，而車輛車輪對鋼軌作用情況則相反。文獻(xiàn)19通過試驗發(fā)現(xiàn)，在車輪滾壓次數(shù)相同的情況下，如果輪軌縱向作用力方向不斷發(fā)生改變

12、，鋼軌使用壽命更長，或者說損傷程度更輕。本文在文獻(xiàn)18的基礎(chǔ)上，分析了非穩(wěn)態(tài)載荷下多趟列車通過或機(jī)車和車輛車輪反復(fù)滾過時鋼軌滾動接觸應(yīng)力和變形的分布規(guī)律及它們對接觸載荷和加載歷史的依賴性。a= (5b)當(dāng)法向作用力隨時間變化時，接觸壓力分布和接觸斑寬度是時間的函數(shù)。則式(1)可表達(dá)成以下形式(見圖1)：p(x,t)=p0(t (6)式中：a1(t)和a2(t)分別為時刻t接觸斑的兩端點坐標(biāo)；e(t)為時刻t接觸斑中心的坐標(biāo)。在圖1中，a(t)為時刻t接觸斑半寬。1 數(shù)值計算模型1.1 輪軌滾動接觸模型由于目前三維彈塑性輪軌滾動接觸分析耗時極大和數(shù)值結(jié)果難以收斂，因此本文采用輪軌二維滾動接觸模型

13、。假設(shè)輪軌接觸斑上的法向壓力為二維赫茲分布20：移動方向p(x)=p (1)式中：a為接觸斑寬度之半，p0為接觸斑上的最大接觸壓力。忽略因塑性變形引起的非赫茲接觸因圖1 輪軌二維滾動接觸模型Fig.1 Two-dimensional rolling contact of wheel and rail160 工 程 力 學(xué)假設(shè)式(6)中的最大接觸壓力p0(t)隨時間按簡諧規(guī)律變化，即：p0(t)=P0(1+C0sin(2fct) (7) 式中：P0為穩(wěn)態(tài)最大接觸壓力；C0和fc分別為壓力波動系數(shù)和頻率。則式(6)進(jìn)一步寫為：1.4 計算參數(shù)不同于文獻(xiàn)18，本文考慮多步載荷的影響。這里多步載荷表示

14、機(jī)車和車輛同時通過鋼軌接觸表面。假設(shè)鋼軌接觸表面先是由機(jī)車車輪滾過4次，然后由車輛車輪滾過6次，并假設(shè)認(rèn)為這是通過一趟列車。列車速度為V0=80km/h。對于機(jī)車車輪，取穩(wěn)態(tài)最大接觸壓力P0=7.0k，k為剪切屈服強(qiáng)度，其取值參見文獻(xiàn)11,12，并考慮接觸斑處于全滑動狀態(tài)，Q/P=0.3。對于車輛車輪，取穩(wěn)態(tài)最大接觸壓力P0=5.0k，且Q/P=0。由于非穩(wěn)態(tài)滾動接觸彈塑性應(yīng)力分析的困難性和計算量非常大，這里只仿真計算通過4趟車。由式(9b)可算出穩(wěn)態(tài)滾動接觸(p0(t)=P0=7.0k)下機(jī)車車輪與鋼軌接觸斑寬度之半a0=6.37mm。分析計算時，接觸壓力的波動幅值系數(shù)C0取為0.1；波動頻

15、率fc假設(shè)為740 Hz24。p(x,t)=P0(1+C0sin(2fct(8)結(jié)合式(4)和式(5)，接觸斑半寬可寫成：a(t)=0.00728P0(1+C0sin(2fct)，車輛車輪 (9a)a(t)=0.00910P0(1+C0sin(2fct)，機(jī)車車輪 (9b)考慮輪軌接觸斑處于全滑動狀態(tài)，即總切向力Q正比于總法向力P。圖2是切向力方向示意圖。車輛車輪 (Q/P<0) PQP(Q/P>0)鋼軌P (Q/P<0)移動方向機(jī)車車輪 (Q/P>0) PQx2 計算結(jié)果與分析為了計算和表達(dá)方便，將長度、應(yīng)力和應(yīng)變變量分別用a0、k和k/G進(jìn)行無量綱化處理，而接圖2

16、切向力方向示意圖Fig.2 Schematic of tangential force direction觸表面位移用ka0/G進(jìn)行無量綱化，G為剪切彈性模量。與文獻(xiàn)18結(jié)果一樣，在多步非穩(wěn)態(tài)載荷作用下鋼軌接觸表面也發(fā)生不均勻的塑性變形，形成波狀表面，其波長與隨時間變化的接觸壓力的波長相等，即=V0/fc=30 mm。限于篇幅，這里沒給出圖示，可參見文獻(xiàn)18中的圖5。圖3示出了波谷和波峰下縱向殘余應(yīng)力(x)r隨深度分布的發(fā)展過程。這里只給出了第1趟和 第4趟車的結(jié)果。圖3(a)和圖3(b)表示通過第1趟車的情形；圖3(c)和圖3(d)表示通過第4趟車的情形。圖3中，曲線1曲線4表示機(jī)車車輪分別

17、滾過1次4次；曲線5曲線10表示車輛車輪分別滾過1次6次。由圖3可看出，在機(jī)車車輪滾過4次的基礎(chǔ)上，車輛車輪滾過6次后(即從第5次到第10次)，最大縱向殘余應(yīng)力有所增加，但增大的幅度不大，且在從第5次到第10次滾過之間幾乎沒有差別。對比第1趟第3趟和第4趟車通過的結(jié)果可見，各趟車通過后的殘余應(yīng)力結(jié)果也沒有多大差別。軸向殘余應(yīng)力(y)r的情形與縱向殘余應(yīng)力1.2 有限元模型將二維滾動接觸問題假設(shè)為平面應(yīng)變問題。由于輪軌接觸區(qū)幾何尺寸遠(yuǎn)小于輪軌的幾何特征尺寸和接觸區(qū)附近的曲率半徑，所以將鋼軌看成半無限平面。有限元模型類似于文獻(xiàn)18。鋼軌接觸表面附近為高應(yīng)力-應(yīng)變區(qū)，因此在劃分網(wǎng)格時此處須細(xì)化。模型

18、總共劃分為14446個八節(jié)點二次平面應(yīng)變單元，用42個平面應(yīng)變無限元作為邊界條件來模擬半無限平面。通過在鋼軌接觸表面上移動法向壓力分布和切向力分布來模擬反復(fù)滾動過程，實現(xiàn)過程詳見文獻(xiàn)18。 1.3 循環(huán)塑性本構(gòu)模型計算分析采用Jiang Y和Sehitoglu H發(fā)展的循環(huán)塑性本構(gòu)模型21,22。該塑性模型可以較好地描述反復(fù)滾動接觸條件下材料循環(huán)塑性應(yīng)變的棘輪效應(yīng)和應(yīng)力松弛現(xiàn)象。有關(guān)該模型的詳細(xì)介紹和材料常數(shù)的確定可參見文獻(xiàn)21,22。材料為1070鋼，其材料常數(shù)參見文獻(xiàn)11,12。將塑性模型編制用戶自定義材料子程序 UMAT 與有限元軟件ABAQUS現(xiàn)接口。詳細(xì)的實現(xiàn)過程參見文獻(xiàn)12。23(

19、x)r一樣，這里就不另給出圖示?？傊?，多步載荷對縱向和軸向殘余應(yīng)力影響不大。波谷處的縱向和軸向殘余應(yīng)力比波峰處略大。實工 程 力 學(xué) 161圖4和圖5分別給出了z/a0=0處即接觸表面和z/a0=0.392處殘余剪應(yīng)變(xz)r隨車輪滾過次數(shù)N的變化曲線。由圖4和圖5可知，多步載荷對殘余剪應(yīng)變影響很大。車輪(機(jī)車)滾過的前4次即P0/k=7.0和Q/P=0.3作用下，殘余剪應(yīng)變隨著zz/aa0 0滾過次數(shù)的增加而增大，但是車輛車輪滾過(第5次開始)時即P0/k=5.0和Q/P=0作用下，殘余剪應(yīng)變隨著滾過次數(shù)的增加而減小，只是接觸表面殘x) r /k(/k余剪應(yīng)變減小不明顯。此外，值得注意的是

20、，比較每趟車的結(jié)果可知，棘輪應(yīng)變的速率隨著列車通過次數(shù)的增加而減小，這是由材料的本構(gòu)特性決定的。由于波谷處的法向壓力和切向力均比波峰處的大，所以導(dǎo)致波谷下的殘余剪應(yīng)變比波峰下的大，尤其在接觸表面波谷處的殘余剪應(yīng)變大約為波峰處的兩倍。隨著距接觸表面深度的加大，波峰和波谷下的累積殘余應(yīng)變量的差異減小，這是因為鋼軌(a) 波谷下zz/aa00材料的應(yīng)力狀態(tài)是由接觸表面附近的高塑性區(qū)逐漸過渡到內(nèi)部的彈性區(qū)，且在局部接觸載荷作用下x) r /k(/k塑性層厚度并不大。(b) 波峰下()GG/k/ kz)xxzrrzz/aa00( r /k(x)/k滾過次數(shù) N 滾過次數(shù)N(a) 波谷處(c) 波谷下(x

21、)rGG/kz/k xz)rzz/aa00滾過次數(shù)N( r /k(x)/k(d) 波峰下圖3 波谷和波峰下縱向殘余應(yīng)力的發(fā)展 Fig.3 Development of residual stresses below the wavetrough and crest in the x direction(b) 波峰處圖4 接觸表面殘余剪應(yīng)變隨滾過次數(shù)的變化Fig.4 Variation of residual shear strain on the contact surfacewith rolling passes162工 程 力 學(xué)料沿接觸載荷移動方向流動。進(jìn)一步說，在已有機(jī)車車輪通過的條件

22、下，車輛車輪的作用可以抑制接觸表面材料的流動。這個結(jié)論和在常載荷滾動接觸條件下用半解析法得到的結(jié)果5類似。這一點還有待試驗的驗證。波峰處的情況與波谷處相似，由于波峰下的殘余剪應(yīng)變比波谷下的小(圖4和圖5所示)，剪應(yīng)變引起的波峰處表面材料縱向位移比波谷處的小。(xz)rG/k滾過次數(shù)N( apcc )rG/k(a) 波谷下(xz)rG/k滾過次數(shù)N滾過次數(shù)N(a) 波谷下( apcc )rG/k(b) 波峰下圖5 z/a0=0.392處殘余剪應(yīng)變隨滾過次數(shù)的變化 Fig.5 Variation of residual shear strain at z/a0=0.392 withrolling

23、passes圖6是z/a0=0.392處殘余累積等效塑性應(yīng)p)r隨車輪滾過次數(shù)N的變化曲線圖。由圖6變(acc可以看出，隨著滾過次數(shù)N的增加，殘余累積等效塑性應(yīng)變增大。波谷下的殘余累積等效塑性應(yīng)變比波峰下的大。殘余累積等效塑性應(yīng)變隨著列車通過次數(shù)的增加而增加。在波谷處，每趟機(jī)車車輪通過次數(shù)的增加導(dǎo)致殘余塑性累積應(yīng)變增長率較高，而車輛車輪通過次數(shù)增加時，殘余塑性累積應(yīng)變也有增長的趨勢，但速率低于機(jī)車車輪作用的結(jié)果，這是機(jī)車車輪作用的載荷大于車輛車輪作用的載荷引起的。但在波峰處，每趟車通過時車輛車輪通過(x)rG/ka0滾過次數(shù)N(b) 波峰下圖6 z/a0=0.392處殘余累積等效塑性應(yīng)變隨 滾

24、過次數(shù)的變化Fig.6 Variation of residual accumulated equivalent plasticstrain at z/a0=0.392 with rolling passes滾過次數(shù)N次數(shù)的增加幾乎不影響殘余累積塑性應(yīng)變。鋼軌接觸表面波谷處的材料縱向位移x隨車輪滾過次數(shù)N的變化曲線如圖7所示。由圖7可以看出，多步載荷對表面材料縱向位移影響很大。車輪(機(jī)車)滾過的前4次，表面材料縱向位移隨著滾過次數(shù)的增加而增大，但是車輛車輪滾過時隨著滾過次數(shù)的增加而減小。這說明在每一趟車通過時機(jī)車車輪作用下導(dǎo)致鋼軌表面材料沿接觸載荷移動相反方向流動，而車輛車輪作用下導(dǎo)致鋼軌表面

25、材圖7 接觸表面材料波谷處縱向位移隨滾過次數(shù)的變化 Fig.7 Variation of surface displacement in the x direction atthe trough with rolling passes工 程 力 學(xué) 163圖8給出了鋼軌接觸表面材料垂向位移z隨車輪滾過次數(shù)N的變化曲線。車輪(機(jī)車)滾過的前4次，隨著滾過次數(shù)N的增加，波谷和波峰處的垂向位移(絕對值)增大，而第5次開始車輛車輪滾過時隨著滾過次數(shù)的增加而減小，減小的幅度不大。由于波谷處的法向壓力比波峰處的大，波谷處的垂向位移大于波峰處。43(z)rG/ka0滾過次數(shù)N(z)rG/ka0滾過次數(shù)N圖9

26、 波深隨滾過次數(shù)的變化Fig.9 Variation of wave depth with rolling passes3 結(jié)論本文對機(jī)車和車輛車輪的反復(fù)作用下鋼軌非穩(wěn)態(tài)滾動接觸應(yīng)力和變形進(jìn)行了詳細(xì)地彈塑性有限元分析。材料循環(huán)塑性本構(gòu)模型采用能較好反映棘輪效應(yīng)的Jiang-Sehitoglu模型。數(shù)值分析結(jié)果表明，在非穩(wěn)態(tài)載荷作用下，鋼軌接觸表面產(chǎn)生不均勻塑性變形而形成波狀表面。多步載荷對鋼軌殘余應(yīng)力影響不大，而鋼軌接觸表面附近殘余應(yīng)變、表面材料位移或變形與波深依賴于接觸載荷和加載歷史。隨著列車通過趟數(shù)的增加，殘余剪應(yīng)變、接觸表面縱向位移、垂向位移和波深變化速率隨之減小。數(shù)值結(jié)果表明了機(jī)車車輪

27、通過次數(shù)的增加對鋼軌接觸表面的殘余應(yīng)變、表面材料位移或變形和波(a) 波谷處(z)rG/ka0滾過次數(shù)N(b) 波峰處圖8 接觸表面材料垂向位移隨滾過次數(shù)的變化Fig.8 Variation of surface displacement in the z direction withrolling passes深的增加起到關(guān)鍵作用。研究結(jié)果可用于多步非穩(wěn)態(tài)載荷作用下鋼軌疲勞失效分析。 參考文獻(xiàn)：1 Cannon D F, Pradier H. Rail rolling contact fatigue圖9是波深(z)r隨車輪滾過次數(shù)N的變化research by the european ra

28、il research institute J. Wear,1996, 191(1/2): 113.情況。波深是波谷和波峰處垂向位移差。在機(jī)車車2 金學(xué)松，沈志云. 輪軌滾動接觸疲勞問題研究的最新進(jìn)波深隨著滾輪即P0/k=7.0和Q/P=0.3作用下，展J. 鐵道學(xué)報, 2001, 23(2): 92108.Jin Xuesong, Shen Zhiyun. Rolling contact fatigue of 過次數(shù)N的增加而增大，而在車輛車輪即wheel/rail and its advanced research progress J. JournalP0/k=5.0和Q/P=0緊接作用

29、下隨著滾過次數(shù)的of the China Railway Society, 2001, 23(2): 92108. (in Chinese) 增加而減小，減小的幅度較小。3 Bower A F, Johnson K L. Plastic flow and shakedown of從圖4、圖5和圖7圖9中比較每趟車的結(jié)果the rail surface in repeated wheel-rail contact J. Wear,1991, 144(1/2): 118. 可知，隨著車通過趟數(shù)的增加，殘余剪應(yīng)變、接觸表面縱向位移、垂向位移和波深變化速率隨之 4 Jiang Y, Sehitoglu

30、 H. An analytical approach toelastic-plastic stress analysis of rolling contact J. ASME減小。 Journal of Tribology, 1994, 116(3): 577587.5 Jiang Y, Sehitoglu H. Rolling contact stress analysis with 從圖4圖9中可看出，鋼軌接觸表面附近殘余the application of a new plasticity model J. Wear, 1996,應(yīng)變、表面材料位移或變形與波深對接觸載荷和加191(1/2

31、): 3544.載歷史具有很強(qiáng)的依賴性。(參考文獻(xiàn)624轉(zhuǎn)第168頁)168 工 程 力 學(xué)2 Weier T, Gerbeth G, Posdziedch O. Experiments on Zhou Benmou, Fan Baochun, Chen Zhihua. Flow controlcylinder wake stabilization in an electrolyte solution by effects of electromagnetic force in the boundary layer J. means of electromagnetic forces loca

32、lized on the cylinder Acta Mechanica Sinica, 2004, 36(4): 472478. (in surface J. Experimental Thermal and Fluid Science, Chinese) 1998, 16: 8491. 7 周本謀, 范寶春, 陳志華. 電磁體積力作用下的圓柱繞3 Kim S J, Lee C M. Investigation of the flow around a 流實驗研究J. 工程力學(xué), 2006, 23(4): 172176.circular cylinder under the influenc

33、e of an Zhou Benmou, Fan Baochun, Chen Zhihua. Experimental electromagnetic field J. Experiments in Fluids, 2000, 28: study on circular-cylinder flow modified by electromag-252260. netic body forces J. Engineering Mechanics, 2006, 4 陳志華, 范寶春. 包覆電磁場激活板的圓柱尾跡的數(shù)23(4): 172176. (in Chinese)值研究J. 力學(xué)學(xué)報, 200

34、2, 34(6): 978983. 8 Crawford C H, Kamiadakis G E. Reynolds stress analysisof EMHD controlled wall turbulence, Part I streamwise Chen Zhihua, Fan Baochun. Numerical investigation onforcing J. Physics of Fluids, 1997, 9(3): 788806. wake of cylinder covered with electro-magnetic actuator9 Berger T W, K

35、im J, Lee C. Turbulent boundary layer J. Acta Mechanica Sinica, 2002, 34(6): 978983. (incontrol utilizing the Lorentz force J. Physics of Fluids, Chinese)2000, 12(3): 631649. 5 Chen Z H, Fan B C, Nadine AUBRY. Electro-magnetic10 Oliver P, Roger G. Electromagnetic control of seawater control of vorte

36、x shedding behind a circular cylinder J.flow around circular cylinders J. European Journal of Chinese Physics Letter, 2006, 23(1): 154157.Mechanics B-Fluids, 2001, 20: 255274. 6 周本謀, 范寶春, 陳志華. 流體邊界層上電磁力的控制效應(yīng)研究J. 力學(xué)學(xué)報, 2004, 36(4): 472478.(上接第163頁)6 McDowell D L, Moyar G J. Effects of non-linearkinem

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