定積分及不定積分

1、第三章 定積分及其應(yīng)用§3-1 定積分的概念一、 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 例1 設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其速度是時(shí)間段上的連續(xù)函數(shù)，求物體在該時(shí)間段內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S. 解 由于物體的運(yùn)動(dòng)速度不是常量，故不能直接按勻速直線運(yùn)動(dòng)的路公式來(lái)計(jì)算路程。但我們可以先設(shè)法求出路程的近似值，再通過(guò)極限逼近精確值。我們先將時(shí)間等分為小段其中，每個(gè)小時(shí)間段的跨度，我們?cè)跁r(shí)間段的左端點(diǎn)讀取速度,由于分段較密，可以認(rèn)為每個(gè)時(shí)間段內(nèi)速度近似不變，這樣第段內(nèi)的路程可以近似表示為（。 圖3-1（需修改）將n個(gè)小段時(shí)間上的路程相加，就得總路程S的近似值，即 當(dāng)時(shí)，上述路程逼近物體運(yùn)動(dòng)總路程的精確值，即 注1 由于速度

2、函數(shù)是連續(xù)的，可以證明，當(dāng)我們將時(shí)間段任意分割成若干小段且在每一小時(shí)間段內(nèi)任選一個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)來(lái)讀取速度，上述和式的極限是相等的。注2 上述變速直線運(yùn)動(dòng)路程計(jì)算也可理解為由曲線所圍成曲邊梯形的面積。二、定積分的概念定義1 設(shè)是定義在區(qū)間上的有界函數(shù)，將區(qū)間任意分割成個(gè)小區(qū)間其中。記，在小區(qū)間上任取一點(diǎn)，令，如果存在，則稱其極限值為從到的定積分，記作 其中“”稱為積分符號(hào)，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區(qū)間，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量， 稱為積分微元。 根據(jù)定積分的定義，例1變速直線運(yùn)動(dòng)的路程S可表示為， 關(guān)于定積分的定義，需說(shuō)明下列幾點(diǎn)：（1）定積分與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，

3、而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)，即（2）規(guī)定， （3）若在上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則在上可積.三、定積分的幾何意義從前面的討論中已經(jīng)知道，若在上，則定積分表示由曲線、直線、以及軸所圍成的圖形的面積（圖3-1）.若在上，由定積分的定義，有 （）（） 圖3-1 若在上，有正有負(fù)，則由曲線、直線、以及軸所圍成的平面圖形，既有在軸上方，又有在軸下方，這時(shí)，定積分表示a,b上各個(gè)曲邊梯形面積的代數(shù)和.（圖3-2）。 圖3-2 例2試用定積分表示由直線，以及軸所圍成的平面圖形的面積.解 由圖3-3可知 圖3-3四、定積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù)、在上可積，則有以下性質(zhì).性質(zhì)1 （為常數(shù)）性質(zhì)2 此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)

4、函數(shù)代數(shù)和的情形性質(zhì)3 對(duì)任意三個(gè)實(shí)數(shù)，總有 當(dāng)點(diǎn)位于區(qū)間之外時(shí)，可以證明此性質(zhì)仍然成立. 圖3-4 性質(zhì)4 如果在上，則性質(zhì)5 如果在區(qū)間上恒有，則例3比較與解 因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以性質(zhì)6 （估值定理）設(shè)M與分別是函數(shù)在上的最大值與最小值，則例4估計(jì)定積分值的所在范圍.解 因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以性質(zhì)7（積分中值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)，使得下式成立： 積分中值定理的幾何解釋是：設(shè)，則在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得以為底，為高的矩形面積正好等于區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形的面積（圖3-5）. 稱為在區(qū)間上的平均值. 圖3-5（需修改）習(xí)題3-11 用定積分表示由曲線所圍成的平面圖形

5、的面積A.2 利用定積分的幾何意義說(shuō)明下列等式成立（1） （2）3利用定積分的性質(zhì)比較下列各組定積分值的大?。?）與 （2）與4估計(jì)下列定積分的值（1） （2）§3-2 不定積分一、不定積分的概念例1 曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求此曲線方程。解 設(shè)所求曲線方程為，由題意知 因?yàn)?C為任意常數(shù))，故可得曲線方程為將條件代入，得定義1 設(shè)函數(shù)是已知函數(shù)，如果存在函數(shù)，滿足，則稱函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，稱為的不定積分，記作，即其中，“”稱為積分符號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，C稱為積分常數(shù)。求函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，就是對(duì)求導(dǎo)作一個(gè)逆運(yùn)算，求函數(shù)的不定積分，就是求

6、函數(shù)的全體原函數(shù)。定理1 若函數(shù)有二個(gè)原函數(shù)、，則例2 求下列函數(shù)的不定積分（1）； （2） 解（1） 因?yàn)?， 是的一個(gè)原函數(shù)，所以的全體原函數(shù)是， 即 （2） 因?yàn)?， 是的一個(gè)原函數(shù)，所以的全體原函數(shù)是，因此 二、基本積分表由于不定積分是求導(dǎo)（或微分）的逆運(yùn)算（僅相差一個(gè)常數(shù)），因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出基本積分公式。為方便起見，我們將一些基本的積分公式列表如下：（1） （為常數(shù)） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）例3 求下列函數(shù)的不定積分（1） （2） （3）解 （1）（2）（3）三、不定積分的運(yùn)算法則根據(jù)不定積分的定義

7、，可以證明，積分運(yùn)算滿足下列運(yùn)算法則：法則1 ，（法則2 例4 求解 在各次積分后,每個(gè)不定積分的結(jié)果都含有任意常數(shù),由于任意常數(shù)的和仍是任意常數(shù),所以在積分運(yùn)算中,多個(gè)積分常數(shù)最后可合并,只要寫出一個(gè)任意常數(shù)C就可以了。例5 求解 = 例6 求解 例7求解 習(xí)題3-21、根據(jù)原函數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)公式，寫出下列函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)：（1）（2）2、判斷下列各式是否正確：（1）（2）3、求下列不定積分：（1） （2）（3） （4）（5） （6）§3-3 Newton-Leibniz公式 前面，我們學(xué)習(xí)了定積分的概念，我們知道求面積就是求一個(gè)和式的極限，但在實(shí)際運(yùn)算中這是非常困難的，因此我們有

8、必要尋求一種新的計(jì)算方法。一、變上限的定積分設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對(duì)于任意的，考慮定積分，由于積分式中的既表示積分上限又表示積分變量，為區(qū)別起見，我們將積分變量改寫為，則上述積分成為. 它是定義在上的一個(gè)函數(shù)，我們將其記為，即稱為變上限定積分（圖3-6） 定理 1 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則變上限定積分可導(dǎo)，且 證明 設(shè)取得增量，則相應(yīng)地函數(shù)取得增量 圖3-6其中介于與之間. 當(dāng)時(shí)，有，又連續(xù)，所以 .這個(gè)定理表明：對(duì)于連續(xù)函數(shù)，其相應(yīng)的變上限定積分是的一個(gè)原函數(shù).例1 求解 由定理1得 例2 求解 令，則便是由與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有 二、牛頓萊布尼茨（Newton-Lei

9、bniz）公式定理2 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是的一個(gè)原函數(shù)，則有 證明略 上述公式稱為牛頓萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式，它深刻地揭示出定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并為定積分的計(jì)算提供了有效而簡(jiǎn)便的方法.函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于它的一個(gè)原函數(shù)在上的增量.例3 求解1 解2 由例3看出在計(jì)算定積分時(shí)，是否加不影響定積分的值，因此在以后的計(jì)算定積分計(jì)算時(shí)不需要再加。例4 求解 例5 求解例6 求解 =例7 求解 例8 設(shè)，求解 =例9求解 令，得，因此 習(xí)題3-31 求下列導(dǎo)數(shù)（1） （2）2 求下列定積分（1） （2）（3） （4） （5） （6）3 設(shè)，計(jì)算§3-

10、4 定積分的換元積分法 利用積分公式能計(jì)算的定積分是很有限的，即使像與這樣一些基本初等函數(shù)的積分也很難求得，因此有必要尋求更有效的積分方法。本節(jié)將介紹一種重要的積分方法換元積分法。一、第一類換元積分法（湊微分法）例1 求 解 由于積分微元與被積函數(shù)的變量表示不一致，因此不能直接套用公式 。因?yàn)椋?。令，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。于是例2 求解 由于積分微元與被積函數(shù)的變量表示不一致，因此不能直接套用公式 。因?yàn)?，所以。令，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。于是上面2個(gè)例子解題過(guò)程中，實(shí)質(zhì)上是將積分微元湊成某個(gè)函數(shù)的微分，從而使用公式求出積分，這種方法我們稱為第一類換元積分法，又稱為湊微分法。常用的湊微分方法有第一類換元

11、積分法的一般形式的計(jì)算過(guò)程注意：在使用換元積分時(shí)，積分的上下限應(yīng)作相應(yīng)的改變。例3 求解 例4 求解 例5 求解 例6 求解 二、第二類換元積分法例7 求解 = 第二類換元積分法的一般形式的計(jì)算過(guò)程例8 求.解 利用定積分的換元積分方法，我們可以得出如下結(jié)論：定理1 設(shè)在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù)，則有 （4.1）利用定理1的結(jié)論，可使偶函數(shù)或奇函數(shù)在對(duì)稱于原點(diǎn)的區(qū)間上，積分計(jì)算得到簡(jiǎn)化。例9 求（1） ； （2） 解 （1）因?yàn)樵谏蠟槠婧瘮?shù)，所以（2） =習(xí)題3-41 求下列定積分（1） (2) (3) (4) （5） （6） （7） （8）2 求下列定積分（1） （2） §3-5 定積分的分

12、部積分法設(shè)函數(shù)、在區(qū)間上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則，上式兩端分別求區(qū)間上的定積分，由于 ，故上式稱為定積分的分部積分公式.例1 求解 例2 求解 例3 求解 例4 求解 從上面例子的計(jì)算可看出，若是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或是三角函數(shù)的乘積形式，則將指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)湊成容易計(jì)算；若是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或是反三角函數(shù)的乘積形式，則將冪函數(shù)湊成容易計(jì)算。例5 求解 移項(xiàng)得： 習(xí)題3-5求下列定積分(1) (2) (3) (4) (5) (6) §3-6 廣義積分前面介紹的定積分，都是在有限區(qū)間上有界函數(shù)的積分，這類積分也稱常義積分，但在實(shí)際問(wèn)題中，還會(huì)遇到積分區(qū)間為無(wú)限或被積函數(shù)在積分區(qū)間上是無(wú)界的情況

13、，這就需將通常意義的積分概念推廣，推廣后的積分被稱為廣義積分.一、無(wú)窮限的廣義積分例1求由曲線，直線，所圍成的開口圖形的面積解 由于曲線與軸相交于無(wú)窮遠(yuǎn)處，不能直接使用定積分公式。現(xiàn)任取，先求出區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的面積：令，便得到所求圖形的面積，即 圖3-7（需修改） 定義1 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果極限存在，則稱無(wú)窮限廣義積分收斂，記為 否則，稱該無(wú)窮限廣義積分發(fā)散.類似地，可定義函數(shù)在上的廣義積分為 .定義2 函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分定義為 其中為任意給定的實(shí)數(shù)，當(dāng)上述右端兩個(gè)積分都收斂時(shí)，稱廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散.為書寫簡(jiǎn)便，設(shè)，記，則廣義積分可表示為 例2 求 .解 例3 討論無(wú)

14、窮限積分 的斂散性.解 當(dāng)時(shí)，有 當(dāng)時(shí)，有 .因此，當(dāng)時(shí)，廣義積分收斂于 ；當(dāng)時(shí)，廣義積分發(fā)散.二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分圖3-8例4 求由曲線，直線與軸所圍成的開口圖形的面積 （圖3-8）.解 由于函數(shù)在點(diǎn)處無(wú)意義，不能直接使用定積分公式?，F(xiàn)任取，先求出區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的面積 令，便得到所求圖形的面積，即： 定義3 若函數(shù)在上連續(xù)，且.又對(duì)，若存在，則稱無(wú)界函數(shù)廣義積分收斂.記為 否則，稱該無(wú)界函數(shù)廣義積分發(fā)散.類似地，若函數(shù)在上連續(xù)，且，則可定義無(wú)界函數(shù)積分為 例4 求積分 .解 由于 ，故是一個(gè)無(wú)界函數(shù)廣義積分，由定義及應(yīng)用分部積分法得 其中可由洛必達(dá)法則求得.習(xí)題3-61、 求下列廣義積分（1

15、） ； （2） ；（3）； （4） ；（5） ； （6） ；§3-7 定積分的幾何應(yīng)用一、 平面圖形的面積在學(xué)習(xí)定積分的概念時(shí)，我們已經(jīng)知道由曲線所圍成的圖形面積A是一個(gè)和式的極限，可表示為定積分 上述和式的極限中，核心的一步是將小區(qū)間上的小條形面積近似地表示成一個(gè)矩形面積?，F(xiàn)在用表示任一小區(qū)間，并取，則區(qū)間上的小條形面積就可近似地表示成， 圖3-9我們稱為面積A的微元，記作由于，面積A就是區(qū)間上微矩形面積的無(wú)窮累加，即 由此可見，在利用定積分求面積時(shí)，關(guān)鍵的是設(shè)法求出區(qū)間上的面積微元。例1求由拋物線和所圍成的圖形的面積. 解 作圖（圖3-10）由方程組的解可知，兩曲線的交點(diǎn)為（0，

16、0）和（1，1），取為積分變量，將面積投影至軸，即積分區(qū)間為。任取，分別過(guò)、點(diǎn)作軸垂直線，則小條形面積近似等于高為寬為的矩形面 圖3-10積，即面積的微元表達(dá)式為 于是 通過(guò)例1可以看出，在利用定積分求面積的步驟通常為：（1）作圖，求出曲線的交點(diǎn)；（2）選擇積分變量，同時(shí)“投影”確定積分變量的變化范圍； （3）進(jìn)行“穿線”，寫出面積的微元表達(dá)式；（4）計(jì)算定積分的值.例2 求由曲線，直線所圍成圖形的面積 圖3-11解 作圖3-11，建立方程組可分別求得交點(diǎn)為，取為積分變量，將面積投影至軸，任取，進(jìn)行穿線，則小條形面積近似等于高為長(zhǎng)為的矩形面積，即面積的微元表達(dá)式為 于是 例3 求由曲線與直線所

17、圍成的圖形的面積.解一 作圖（圖3-12）由方程組的解可知，交點(diǎn)為，取為積分變量，將面積投影至軸，任取，進(jìn)行穿線，則所求面積的微元為 于是 圖3-12 （需修改） 解二 作圖3-13，由方程組的解可知，交點(diǎn)為，取為積分變量，將面積投影至軸，。這里我們看到，若僅從解方程求交點(diǎn)來(lái)確定積分區(qū)間，就會(huì)遺漏部分區(qū)間，因此必須采用投影的方法。任取，進(jìn)行穿線，隨著垂直線位置不同，所穿過(guò)的“上頂”與“下底”也不同，時(shí)，線段長(zhǎng)為； 圖3-13（需修改）時(shí)，線段長(zhǎng)為。現(xiàn)將所圍區(qū)域A分成兩部分與，積分區(qū)間分別為與。面積微元分別為，。因此所求面積為由例3可知，在運(yùn)用定積分求面積時(shí)，除了“投影”選定積分區(qū)間，“穿線”找

18、出被積函數(shù)，還可以讓垂直線沿積分區(qū)間在所圍區(qū)域內(nèi)進(jìn)行“掃描”。如果“上頂”是一個(gè)，“下底”是一個(gè)，只需一個(gè)定積分即可求出面積；當(dāng)“上頂”是一個(gè)，“下底”是二個(gè)時(shí)，就需分成二段，求二個(gè)定積分的和；以此類推，一般選取積分變量應(yīng)視“掃描”結(jié)果，使“上頂”、“下底”所遇曲線最少者為佳。二、旋轉(zhuǎn)體體積由曲線與直線、所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，形成一旋轉(zhuǎn)體如圖3-14，求該旋轉(zhuǎn)體體積。選取積分變量，則，任取，分別過(guò)、點(diǎn)作垂直于軸的平面，則小區(qū)間上所夾的薄片體積近似等于以為底面半徑以為高的圓柱體體積，即體積微元為，在區(qū)間上作定積分，即得旋轉(zhuǎn)體的體積公式 圖3-14 同理，由曲線，所圍成的平面圖形（圖3-1

19、5）繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積公式為 圖3-15例4 求由曲線所圍成的面積繞軸旋轉(zhuǎn)體體積. 解 作圖3-16，建立方程，解得交點(diǎn)為，將面積投影至軸，得積分區(qū)間為。選取積分變量，任取，分別過(guò)、點(diǎn)作垂直于軸的平面， 圖3-16（需修改）則小區(qū)間上的薄片體積近似等于，即體積微元，故 例5 證明半徑為的球體體積 證 如圖3-17，將球看作以原點(diǎn)為圓心，半徑為的右半圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體。由于軸右側(cè)的半圓在軸上的投影為，所以選定積分變量為，積分區(qū)間為。由圓方程可得右半圓的曲線方程，所求體積微元為 于是 圖3-17（需修改）習(xí)題3-71、求由下列曲線圍成的平面圖形的面積：（1）及直線；（2）與直線

20、；（3）；（4）2、求由直線所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的體積。3、求由所圍成的圖形分別繞軸及軸旋轉(zhuǎn)所形成的體積。 §3-8 定積分的工程應(yīng)用一、變力沿直線的功由物理學(xué)可知，當(dāng)一物體在一個(gè)常力的作用下，沿力的方向作直線運(yùn)動(dòng)，則在物體移動(dòng)距離為時(shí)，所作的功為。在實(shí)際問(wèn)題中常需要計(jì)算變力所作的功，此時(shí)需要用定積分方法來(lái)解決問(wèn)題.例1 已知一彈簧拉長(zhǎng)要用的力，求把該彈簧拉長(zhǎng)所作功. 解 建立坐標(biāo)如圖3-18，設(shè)彈簧靜止點(diǎn)為原點(diǎn)，沿著軸方向拉伸。由物理學(xué)中的胡克定理可知，在彈性限度內(nèi)拉伸彈簧所需要的力與彈簧的伸長(zhǎng)量成正比，即為比例系數(shù)）.根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，所以，即。選為積分變量，則積分區(qū)間為， 任

21、取，功的微元為 圖3-18因此 例2 在底面積為的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的活塞沿圓柱體中心軸由點(diǎn)處推移到點(diǎn)處.計(jì)算在移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所作的功.解 建立坐標(biāo)如圖3-19，設(shè)活塞靜止點(diǎn)為原點(diǎn)，沿著軸方向推移。由物理學(xué)可知，定量氣體在等溫狀態(tài)下，壓圖3-19強(qiáng)與體積成反比，即（為常數(shù)），而容器內(nèi)氣體體積為，所以，于是作用在活塞上的力為 選為積分變量，積分區(qū)間為，任取，所求功W的微元為，因此。例3一圓臺(tái)形儲(chǔ)水池，上底半徑2m,下底半徑1m,池深3m,水面低于池沿1 m,?，F(xiàn)將水從池中抽出，求抽盡儲(chǔ)水池內(nèi)的水所作的功.解 建立坐標(biāo)系如圖3-20. 則儲(chǔ)水池

22、母線方程為選取積分變量為，積分區(qū)間為，任取，則質(zhì)量微元 ，其中水的密度）， 圖3-20（需修改）所求功W的微元為 ，因此 。二、液體的靜壓力物理學(xué)告訴我們，在距液體表面深處的液體壓強(qiáng)是，其中是液體的密度.當(dāng)一面積為的平面薄片與液面平行地置于液面下深h處，則薄片的一側(cè)所受的壓力為 ，現(xiàn)將該薄片垂直于液面置入于液體中，則薄片各處因?yàn)樗谏疃炔煌鴫簭?qiáng)各不相同，故不能用上述公式計(jì)算薄片一側(cè)所受的壓力.例4 一薄片形狀為直角梯形，上底為2m，下底為1 m ，高為1 m，現(xiàn)將薄片垂直放入水中，上底離水面1 m，求薄片一側(cè)所受到的壓力。解 建立坐標(biāo)系如圖3-21，則梯形腰線方程為選取積分變量為，則積分區(qū)間

23、為任取，則面積微元 圖3-21（需修改）所求壓力微元為 因此 （）三、平均值給出一組離散數(shù)據(jù)則它們的算術(shù)平均值是，在實(shí)際問(wèn)題中，除了計(jì)算離散數(shù)據(jù)的平均值外，有時(shí)還需計(jì)算一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上所有值的平均值，如一天內(nèi)的平均溫度，一定時(shí)段內(nèi)某電路上的平均電流強(qiáng)度等. 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上一切值的平均值的計(jì)算公式為 我們可以依照定積分的性質(zhì)，容易地理解上面公式的數(shù)學(xué)含義.例4 設(shè)，求在區(qū)間上的平均值.解 由平均值計(jì)算公式可知，所求平均值為 例5 設(shè)通過(guò)電阻為R的純電阻電路中的交變電流為，其中是電流的最大值，求在一個(gè)周期內(nèi)該電路的平均功率.解 由物理學(xué)可知，電路中的電壓 ，功率 因此功率在一個(gè)周期上的平均值為 通常交流電器上標(biāo)明的功率就是該電器的平均功率.習(xí)題3-81、 設(shè)把一金屬桿的長(zhǎng)度由拉長(zhǎng)到時(shí)，所需的力等于，其中為常數(shù)，試求將該金屬桿由長(zhǎng)度拉長(zhǎng)到所作的功.2、 有一物體在某種介質(zhì)中作直線運(yùn)動(dòng)，其位移（為時(shí)間，為常數(shù)），介質(zhì)對(duì)物體的阻力與物體速度的平方成正. 比求該物體由移到時(shí)，克服介質(zhì)的阻力所作的功.3、 已知地球半徑為R=6370km，現(xiàn)將一質(zhì)量為173kg的人造衛(wèi)星由地面發(fā)射到離地面2384