2018-2019學年廣東省深圳市四校發(fā)展聯(lián)盟體高一(下)期中數(shù)學試卷

1、第1頁（共 14 頁）2018-2019學年廣東省深圳市四校發(fā)展聯(lián)盟體高一（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（每小題 5 分，共 12 小題共 60 分）ba1. （5 分）已知ABC 中，則該三角形為（）sin A sin BA .等腰三角形B .等邊三角形C.直角三角形2. （5 分） 某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈“，正方形做燈 底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當燈旋轉時，正好看到“新年快樂”的字樣，則在、處可依次寫上（）（5 分）已知 a =（2,4）.則與 a 垂直的單位向量的坐標是（）B 快、新、樂C.新、樂、快D 樂、快、新D .不能確定3.4.T,T)

2、2、55.5_52晶5)55,“是兩個不同平面，下列命題中錯誤的是A .若 m _ ：- , m“，則/:B .若 m / / n , m _：，貝 V n _C.若 m/:,:門-二 n，貝 V m/nD.若 m二 s , m 二，則5.(5 分)在 ABC 中，b=19 , c=20 ,B =60，那么這樣的三角形有（5或(-或（)或（,52一5、卡55(-I55(5 分)已知 m , n第2頁（共 14 頁）C. 2 個（5 分）如圖，正方形 ABCD 中，點E,F分別是 DC , BC 的中點，那么 EF =（6.第3頁（共 14 頁）3km，那么x的值為（C.3EF與 BC 所成的角

3、為A. -3 11. （5 分）將一正方體截去四個角后，得到一個四面體，這個四面體的體積是原正方體體積的（）12. （5 分）在 ABC 中，C =3B，則c的取值范圍為（）bDECB .- 1A-1AD2C.-1AB27D2 27. （ 5 分）已知等腰三角形的底邊長為6, 腰長為12，則它的外接圓半徑為（C.D. 63&（5 分）某人朝正東方向走 xkm 后,向朝南偏西 603km，結果他離出發(fā)點恰好2.39. （ 5 分）四面體 ABCD中,AD 二 BC，且 AD _BC ,E、F分別是AB、CD 的中點，則A . 3045C. 60D. 9010. （5 分）已知向量 a，b 滿足向

4、=3 , |b|=2、可,且 a _（a b），則 b 在 a 方向上的投影C.2 3A. （丁 ）2 2二、填空題（每小題B . C 2 , 3)C. (1, 3)(1,3)5 分，共 20 分）13. （ 5 分）已知向量a=(2x,7), b=(6,x 4)，當x二_ 時,a / /b .14. （5 分）在 ABC 中，a =5，b =7，c =8，則 ABC 的面積為15. (5 分)一個底面直徑22第4頁（共 14 頁）水面上升了9cm .則這個球的表面積是2cm .16. (5 分)如圖，正方形 ABCD 的邊長為 1,延長BA至E，使AE =1，連接 EC、ED，第5頁（共 1

5、4 頁）三、解答題（每大題有 6 小題，共 70 分）17（10分）如圖所示，在 ABC 中，CDA 著冷記，乩b求證：忒 3（b呂-18.（ 12 分）如圖，在四邊形 ABCD 中，已知 AD _CD , AD =10 ,AB =14, BDA = 60 ,.BCD =135，求 BC 的長.19. （12 分）.ABC 的角A,B ,C 的對邊分別為 a , b ,c,已知 asin A bsin B csinC = asinB.（1）求角 C ；3_（2）若 a b =5，三角形的面積S.ABC3，求c的值.20.（12 分）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為 4cm 的正方形，E為 BC

6、的中點，高為 PO , OPE =30，且側棱長都相等，求該四校錐的側面積與表面積.ABJT第6頁（共 14 頁）21. （12 分）在ABC 中，內(nèi)角A,B, C 對邊的邊長分別是a, b ,c,已知 c =2 , C 二一.3（I）若 ABC 的面積等于.3，求a,b;（H）若 sinC sin（B-A）=2sin2A,求.ABC 的面積.22 . （ 12 分）如圖，在長方體 ABCD -ABGD!中，點E在棱 C。的延長線上，且第7頁（共 14 頁）求證： D,E / / 平面 ACB,；CG=GE=BCJAB=1 .2求證：平面 DE _平面 DCB,；第8頁（共 14 頁）2018

7、-2019學年廣東省深圳市四校發(fā)展聯(lián)盟體高一（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題 5 分，共 12 小題共 60 分）ba1. （ 5 分）已知.ABC 中，則該三角形為（）sin A sin BA .等腰三角形B .等邊三角形C.直角三角形D .不能確定【解答】解：Ta，可得 bsi nB =asi nA ,sin A sin B又由正弦定理 ，可得 b2二 a2,sin A sin B.可得 b 二 a ,三角形為等腰三角形.故選：A.2. （5 分）某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈“，正方形做燈 底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當燈旋轉時，

8、正好看到“新年快樂”的字樣，則在、處可依次寫上（）【解答】解：根據(jù)四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序為年, 故選：B.3.（ 5 分）已知 a =（2,4）.則與 a 垂直的單位向量的坐標是（）B 快、新、樂C.新、樂、快D 樂、快、新【解答】 解：a =（2,4），設與 2 垂直的單位向量為Ib =(x, y)；A 樂、新、快故選：D.A，若 ml，, m.l 根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及面面平行的判定定理得到:-ll ；故A正確;對于B，若 m/n , ml，.、，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理得到n：-;故B正確；對于 C，若 m/ / :, n - ” ，則 m

9、/n 異面或者相交；故 C 錯誤；對于D，若 m I，m -根據(jù)面面垂直的判定定理得到: _ -;故D正確；故選：C .5.（5 分）在 ABC 中，b =19 , c=20, B =60，那么這樣的三角形有（）A . 0 個B . 1 個C. 2 個D. 3 個【解答】 解：在 ABC 中，b =19 , c=20 , B=60 ,.由余 弦定理 b2=a2c2-2accosB , 得：36 1 4 0 a2- 22 0CQS得 0：2a 20a 39 =0, （*） =202- 4 1 39 = 244 0 ,且兩根之和、兩根之積都為正數(shù)，方程（*）有兩個不相等的正實數(shù)根，即有兩個邊a滿足

10、題中的條件.由此可得滿足條件的，ABC 有兩個解.故選：C .-16.（ 5 分）如圖，正方形 ABCD 中，點E,F分別是 DC , BC 的中點，那么 EF =（）則 X2八12x 4y =0X25x5 解得5或I弱x=-L55弱，2.554.（ 5 分）已知m,n是兩條不同的直線,-是兩個不同平面，下列命題中錯誤的是m -，則鳥/:B .若 m / /n , m I，則 n 丨：C .若 mil】,:Q - =n，貝 U ml inD .若 m _ : - , m :，則=L ：【解答】解：對于.所求向量的坐標是或（第 6 頁（共 14 頁）【解答】解：因為點E是 CD 的中點，所以EC

11、ITB,2點得F是 BC 的中點，所以2 2所以 EF=EC CF 二1AB -1AD,2 2故選：D.【解答】解：設頂角為二，由余弦定理可得 36 =122122_2 12 12 cos ,7ic解得cos6,“，再由正弦定理可得:故選：B.&（5 分）某人朝正東方向走 xkm 后，向朝南偏西 60 的方向走 3km，結果他離出發(fā)點恰好3km，那么x的值為（）A. 2 3 或 3B. 2.3C. 、3D. 3【解答】解:由題意，設從A地朝正東方向走 xkm 后到達B地，向朝南偏西 60 的方向走 3km ,B . -1A-1AD2 2C.-1AB27D2 2HID2 27.（ 5 分）已知等

12、腰三角形的底邊長為6, 腰長為 12，則它的外接圓半徑為（7 155B . 8J1C. 43D. 6 36sin V=2RDEC2 2到達 C 地，則由題意，在 ABC 中，AB =xkm , BC =3km , AC =：$3km , . ABC =30 ,由余弦定理得 3=9，x2-6x cos30 ,解得 x =2.3 或.3 .故選：A.9. （ 5 分）四面體 ABCD 中，AD = BC，且 AD _BC ,E、F分別是AB、CD 的中點，貝 U第 7 頁（共14 頁）2第13頁（共 14 頁）EF與 BC 所成的角為（）A . 30B . 45C. 60D. 90【解答】解：取

13、AC 的中點，連接EF,則：在四面體 ABCD 中，E、F分別是AB、CD 的中點，所以：EG/BC， FG/AD由于：AD =BC，且 AD _ BC，EG =FGAD =-BC2 2所以： .EFG 是等腰直角三角形.所以：EF與 BC 所成的角為.GEF =45活口,百，且 a _（a b），則 b 在 a 方向上的投影3 亦A. -3B.C. 32【解答】解：；a_（a）,故選：A.11. （ 5 分）將一正方體截去四個角后，得到一個四面體，這個四面體的體積是原正方體體積的（）C.為（）-b 在 a 方向上的投影|a|3【解答】 解：將正方體 ABCD ABQQ截去四個角后得到一個四面

14、體BDAC1,第14頁（共 14 頁）【解答】解：利用正弦定理：C=SinC=Sin3Bb sin B sin B_ sin2BcosB cos2 BsinBsin B=2cos2B 2cos2B -1 ,= 4cos2B1 ,由于：A B V =二，所以：A 47:,故：A -二-4B ,則：0：: B：-4所以4COS2B-1(1,3).設正方體邊長為a,則 V_B AC =VA_ABD1 1a ：a3a6.四面體 BDACi的體積:V =V正方體4V32a3-4VB_BA C :3.這個四面體的體積是原正方體體積的C =3B，則C的取值范圍為（b(3)2 2B. ( 2 , 3)C. (

15、1,.3)D. (1,3)故選：C .12. （5 分）在ABC 中,【解答】 解：將正方體 ABCD ABQQ截去四個角后得到一個四面體BDAC1,第15頁（共 14 頁）故選：D.、填空題（每小題 5 分，共 20 分）13.(5 分)已知向量 孑=(2x,7) , b=(6, x4)，當 x =_3或7_時，a/b【解答】解：向量 a =(2x,7) , b =(6,x 4),若 3/b，則 2x(x 4) _7 6 =0 ,化簡得 x24x -21 =0 ,解得 x =3 或 x - _7 ;.x 二-7 或 x =4 時，a/b .故答案為：3 或_7 .14.(5 分)在 ABC

16、中，a =5 , b =7 , c =8DABC 的面積為 _ 10.32并222 “2【解答】解：由余弦定理得cosC=a b c 578則三角形的面積 S=】absinC =丄 5 7 =10一 3 .227故答案為：10 3 .15.（5 分）一個底面直徑是 32cm 的圓柱形水桶裝入一些水，將一個球放入桶內(nèi)完全淹沒， 水面上升了 9cm 則這個球的表面積是 _ 576 二_ cm2.【解答】 解：在一個直徑為 32cm 的圓柱形水桶中將一個球全部放入水里，水面升高9cm .2.球的體積為：16 二 9 =2264 二，設球的半徑為 r，則 r3=2264 二，解得r =12,32 2.

17、球的表面積為： 4 二 r =576 二（cm ）.故答案為：576 愿 cm2.16.（5 分） 如圖， 正方形 ABCD 的邊長為 1,延長BA至E， 使AE=1， 連接 EC、ED, 貝 U sin . CED=_.一 10 一【解答】 解：AE=1 ,正方形的邊長為：1 ; . ED =寸 AE2* AD2= 2 ,EC = (EA AB)2CB2=扁,CD =1 ,第 10 頁(共 14 頁)2ab則 sinC第17頁（共 14 頁）2 2 2ED +EC -CD.cos.ZCED 二EDLEC故答案為：.10【解答】證明：AEJABJ(CB-CA) J(b -2),333-+ 2

18、*2 片ADAC b ,33所以DE二AE一AD=ia_ib -b =-(b a333318. (12 分)如圖，在四邊形 ABCD 中，已知 AD _CD , AD =10 ,AB =14，也 BDA = 60 , BCD =135，求 BC 的長.【解答】解：在LABD中，設 BD 二 x，則 BA2=BD2AD22BDUAD_COSBDA,即 142=x2102-2j0 x_cos60，整理得：X2-10X-96=0.解之： 為-16 ,疋-七（舍去）.由正弦定理得：BCBDsin CDB sin BCD .BC二6-kin30 =8 2 .時0, sin NCED = Ji _cos2

19、cED =旦10 10三、解答題（每大題有 6 小題，共70 分)CD17.（ 10 分）如圖所示，在 ABC 中，DA_ AEEB-，記 BT* 比 “，CA 二 b .求證：DE =l（b _a）.3sin135第18頁（共 14 頁）19. （12 分）AABC 的角A,B ,C 的對邊分別為 a , b ,c,已知 asin A bsin B - csinC = asinB.（1）求角 C ；（2）若 a b =5，三角形的面積S.ABC 4，求 c 的值.原等式可轉化為：a2 b2c2= ab，2 2 2a +bc 1 .cosCab 2*.*C 為三角形內(nèi)角，.ab =6，C1co

20、sC =2.由余弦定理得：C2二 a2b2-2abiosC =（a b）2-3ab =25 -18 =7,解得：c 屯 7.20. （12 分）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為 4cm 的正方形，E為 BC 的中點，高為 PO ,OPE =30，且側棱長都相等，求該四校錐的側面積與表面積.AB【解答】解：由題意可知，PB =PC , TE為 BC 的中點，.PE_BC . 又PO 為棱錐的高，.PO ,PE,OE 組成 RLPOE，乙POE =90 , 又.OPE =30 , OE =2cm , PE =OE=4cm.sin30 該四棱錐各側棱長都相等，且底面為正方形，側面積 S =1BC PE

21、 4=32(cm2).22.S表 = %S底=32 16 = 48 cm.【解答】解：（1）根據(jù)正弦定理a b csin Asin BsinC（2）S ABC4absi nc1ab23;3V，D第 13 頁(共 14 頁)即該四校錐的側面積是 32cm2，表面積是 48cm2.AB21. (12 分)在ABC 中，內(nèi)角A,B, C 對邊的邊長分別是a, b ,c,已知 c =2 , C 二二.3(I)若 AABC 的面積等于 .3，求a, b ;(H)若 sinC sin(B_A)=2sin2A,求. ABC 的面積.【解答】解：(I) ；c=2,C,c2=a2b2ab cosC32 2.a bab=4 ,又VABC 的面積等于.、3 ,1 _.-absinC = .3 ,2.ab =4f 22聯(lián)立方程組a b _ab =4，解得 a =2 , b=20b =4(n)：si nC 亠 si n(B - A) =si n(B 亠 A)亠 si n(B - A) =2s in 2A =4s in A cos A,.sin B cos A = 2s in A cos A當 cosA =0 時，A , B ,=，求得此時 S = 2 * 326333當 cos A 尸 0 時，得 sin B = 2sin A，由正弦定理得 b = 2a ,a2b2-a