“恒成立問題”解決的基本策略

1、“恒成立問題”解決的基本策略一、恒成立問題的基本類型在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題，其表現(xiàn)形式通常有：在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立；某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R;某不等式的解為一切實(shí)數(shù)；某表達(dá)式的值恒大于 a等等恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年 高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；直接根據(jù)函數(shù)的圖 象。二

2、、恒成立問題解決的基本策略(一)兩個(gè)基本思想解決“恒成立問題"思路i、mf(x)在xD上恒成立mf (x)max思路2、m”*)在*D上恒成立mf(x)min如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題，我們可以通過習(xí)題的實(shí)際，采取合理有效的方法進(jìn)行求 解，通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo) 等等方法求函數(shù)f (x)的最值。這類問題在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)涉及的知識(shí)比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型，希望同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中注意積累。(二)-賦值型一一利用特殊值求解等式中的恒成立問題，常常用賦值法

3、求解，特別是對(duì)解決填空題、選擇題能很快求得例 1 .由等式 x4+aix3+a2x2+a3x+a4= (x+1) 4+bi(x+1) 3+ b?(x+1) 2+b3(x+1)+b 4 定義映射 f ：(a i,a 2,a 3,a 4)- bi+bz+b3+b4, 則 f : (4,3,2,1)-()A.10B.7C.-1D.0略解：取 x=0,則 a 4=1+bi+b2+b3+b4,又 a 4=1,所以 bi+d+d+bd =0 ,故選D例2.如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線 x=一對(duì)稱，那么a=().Ai B . -i C . . 2 D . - . 2 .略解：

4、取 x=0 及 x= ，貝ij f(0)=f(-),即 a=-i ,故選 B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.(三)分清基本類型，運(yùn)用相關(guān)基本知識(shí)，把握基本的解題策略i、一次函數(shù)型：若原題可化為一次函數(shù)型，則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識(shí)求解，十分簡捷給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a，0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0 ,則根據(jù)函數(shù)的圖象(直線)可得上述結(jié) 論等價(jià)于f(m)0f(m) 0t同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)<0 , 則有 一Lf(n)0Lf(n)0例2.對(duì)于滿足|a|2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式x2+ax+i>2a+x恒成立的x的取值范圍.

5、分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2 , 2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x 2-2x+1>0在|a|2時(shí)恒成立，設(shè) f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則 f(a)在-2,2上恒大于 0,故有：f( 2)0 口 x24x 3 0 x蜒x1' 7 即解得：f (2) x210x1或 x 1x<-1 或 x>3.即 x G ( 8 , - 1) U (3,+ co)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，

6、故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方(或下方)即可.2、二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)的問題是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)學(xué)習(xí)、歸納、總結(jié)，提煉出一些具體的方法，在今后的 解題中自覺運(yùn)用。(1)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a20)大于0恒成立，則有 a 0日. 0(2)若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布知識(shí)求解。例3.若函數(shù)f (x)/ 2.2,.2, » ,舊(a 1)x (a 1)x 的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù) a的取值范圍a 1221)x (a 1)x J0在R上恒成立問題，并且注意對(duì)二次項(xiàng),. 2分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù) (a2 系數(shù)的討論.解：依題意，當(dāng)

7、x R時(shí),22,-2 一(a 1)x (a 1)x 0 恒成立,a 1所以，當(dāng)a21一 ,a2 1 00,即當(dāng)a 1 0,時(shí)，aa 1 0,1,22此時(shí)(a 1)x (a 1)x當(dāng)a2 1 0時(shí)，即當(dāng)1 0, a 1.a 1a2 1 0,222 時(shí),(a 1)2 4(a2 1); 0a 1a2 110a 9 0,1 a 9,綜上所述，f(x)的定義域?yàn)閞時(shí)，a 1,92一一 .一例4.已知函數(shù)f(x) x ax 3 a,在R上f(x) 0恒成立, 的取值范圍.分析：y f(x)的函數(shù)圖像都在 X軸及其上方，如右圖所示：略解：4 3a4a 12 06 a 2變式1 ：若x2,2 時(shí),f(x)0恒

8、成立，求a的取值范圍.分析：要使2,2 時(shí),f(x)0恒成立，只需f(x)的最小值g(a) 0即可.解：f (x)3,令f (x)在2,2上的最小值為g(a).當(dāng)a2a不存在.2,4時(shí),g(a)f(2) 73a 0，g(a)af(2)當(dāng)2綜上所述，4時(shí),g(a) f(2) 77又Qa變式2:若2.x 2,2時(shí)，f (x) 2恒成立，求a的取值范圍.解法一：分析：題目中要證明f (x)2在 2,2上恒成立，若把2移到等號(hào)的左邊,則把原題轉(zhuǎn)化成略解:(i)左邊二次函數(shù)在區(qū)間f(x)axf (2)f ( 2)4(10a)2,2時(shí)恒大于等于0的問題.0,即 f(x)2 x axa 0在 2,2上成立.

9、a 2或亙綜上所述，5 a 2,22.解法二：(運(yùn)用根的分布)當(dāng)4時(shí),g(a)f( 2)3a4,a不存在.當(dāng)22-2.2 2 a 2.2 24 a 2.2 2一, a _當(dāng)-2,即 a 4 時(shí)，g(a) f (2) 7 a 2,a 55 a 4綜上所述 5 a 2., 2 2.此題屬于含參數(shù)二次函數(shù)，求最值時(shí)，軸變區(qū)間定的情形，對(duì)軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論；還有與其相反 的，軸動(dòng)區(qū)間定，方法一樣.對(duì)于二次函數(shù)在 R上恒成立問題往往采用判別式法(如例4、例5),而對(duì)于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題3、變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍

10、已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。運(yùn)用不等式的相關(guān)知識(shí)不難推出如下結(jié)論：若對(duì)于 x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)都有 f(x)>g(a)恒成立，則g(a)<f(x) ;若對(duì)于x 取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有 f(x)<g(a)恒成立，則g(a)>f(x) max.(其中f(x) max和f(x) min分別為f(x)的最大值和最小值)222例5.已知二個(gè)不等式x 4x 3 0 ,x 6x 8 0 ,2x 9x m 0 .要使同時(shí)滿足的所有x的值滿足，求m的取值范圍.略解：由得2Vx&l

11、t;3,要使同時(shí)滿足的所有 x的值滿足，即不等式2x2 9x m0在x (2,3)上恒成立，即m 2x29x在x (2,3)上恒成立，又2x2 9x在x (2,3)上大于9,所以 m 9例6.函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，且在1,1上單調(diào)遞增，又f( 1)1,若f(x) t2 2at 1對(duì)所有的a 1,1都成立，求t的取值范圍.解：據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(1)1,又f(x)在1,1上單調(diào)遞增f(x)maxf(1) 1f(x) t2 2at 1對(duì)所有的a 1,1都成立.因此，只需t2 2at 1大于或等于 “刈在1,1上的最大值1,t2 2at 1 1 t2 2at 0又 對(duì)所有a 1,1都成立，即

12、關(guān)于a的一次函數(shù)在-1 , 1上大于或等于0恒成立，t22t0t22t0t2或t0或t2即：t (, 2 0 2,)利用變量分離解決恒成立問題，主要是要把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題4、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則對(duì)一切定義域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函數(shù)y=f(x)的周期為T,則對(duì)一切定義域中的 x,f(x)=f(x+T) 恒成立。5、直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例7.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不

13、等式x 1 x 2a包成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析：設(shè)y=|x+1|-|x-2|, 對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式|x 1y=|x+1|-|x-2| 的最小值，畫出此函數(shù)的圖象即可求得 a的取值范圍.a恒成立即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)3y x 1 x 2 2x 13在直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，要使對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式x 1a恒成立，只需a3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式xa恒成立,求實(shí)數(shù)將為a>3;對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式xx 2 a恒成立，求實(shí)數(shù)a同樣由圖象可得對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式x 1 x 2a恒成立，求實(shí)數(shù)a,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得 a<3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，

14、應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍 三、在恒成立問題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問題，是一種熱點(diǎn)題型，介紹一些基本的解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué) 會(huì)把問題分類、歸類，熟練基本方法。(一)換元引參，顯露問題實(shí)質(zhì)1、對(duì)于所有實(shí)數(shù)X,不等式_22,4(a 1) 2a . (a 1)一X log 2 2xlog 2 log 22- 0恒成立，求 a的取值范圍。aa 14a2a 2a解：因?yàn)閘og 2 ±一的值隨著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)t log 2,a 1a 1則上述問題實(shí)質(zhì)是“當(dāng)t為何值時(shí)，不等式(3 t)x2 2t

15、x 2t 0恒成立”。這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價(jià)于2a。解彳11 0 ,即有l(wèi)og 2 0 ,易得0a 1若不等式x+y+c 0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍3 t 0求解關(guān)于t的不等式組：9(2t)2 8t(3 t)0 a 1。222、設(shè)點(diǎn)P (x, y)是圓x2 (y 1)2 4上任意一點(diǎn),(二)分離參數(shù)，化歸為求值域問題23 、右對(duì)于任意角息有sin2mcos4m 10成立，求m的范圍4)cos22 cos 根據(jù)邊界原理知，2 m必須小于f ()cos一的最小值，這樣問題化歸為怎樣求22coscos 2的最小解：此式是可分離變量型，由原不等式得 m(2cos2cos又cos 2

16、0,則原不等式等價(jià)變形為 2m -cos恒成立cos 22值。因?yàn)閒()coscos 2，一、2，(cos2)4(cos2) 4cos 2cos 2 4即cos 0時(shí)，有最小值為0,故m 0。cos 24 4 0(三)變更主元，簡化解題過程24 、右對(duì)于0 m 1,萬程x mx 2m 10都有實(shí)根，求實(shí)根的范圍。解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)m的根，再由m的范圍來確定根x的范圍，但這樣會(huì)遇到很多麻煩，若以m為主元，則m(x 2)(1 x)2,由原方程知x 2,得m1 x21 x2又 0 m 1,即 0 1解之彳導(dǎo)31 .1325、當(dāng)a1時(shí),若不等式2x (a6)x 9 3a 0恒成立， 求

17、x的取值范圍。(四)圖象解題，形象直觀6 、設(shè)x (0,4,若不等式Jx(4 x)ax恒成立,求a的取值范圍。解：若設(shè)y1Jx(4 x),則(x 2)2 y24(y10)為上半圓。ax,為過原點(diǎn)，a為斜率的直線。在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象x 2依題意，半圓恒在直線上方時(shí)，只有 a 0時(shí)成立，即a的取值范圍為a 0。7、當(dāng)x (1,2)時(shí)，不等式(x-1) 2<logax恒成立,求a的取值范圍。解：設(shè)y1=(x-1) 2,y 2=log ax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線要使對(duì)一切x (1,2),y 1<y2恒成立，顯然a>1,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于 y

18、的函數(shù)值。故 loga2>1,1<a2.8、已知關(guān)于x的方程lg(x 2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。解：令 y1=x2+4x= (x+2) 2-4,y 2=2x-6a-4,y1的圖象為一個(gè)定拋物線y 2的圖象是k=2,而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上方有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l 1和l 2之間。(包括l 1但不包括l 2)當(dāng)直線為l1時(shí)，直線過點(diǎn)(-4, 0),此時(shí)縱截距為-8-6a-4=0,a=2；2 一 2當(dāng)直線為L時(shí)，直線過點(diǎn)(0, 0),縱截距為-6a-4=0 , a= 一 .-.a的范圍為2 )3 3分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg

19、(x 2+4x)=lg(2x-6a-4),從而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù)y= x 2+4x及一次函數(shù)y=2x-6a-4 ,則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。(五)合理聯(lián)想，運(yùn)用平幾性質(zhì)2229、不論k為何頭數(shù)，直線 y kx 1與曲線x y 2ax a 2a 4 0恒有交點(diǎn)，求a的范圍。22解：(x a) y 4 2a , c (a, 0),當(dāng)a 2時(shí)，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點(diǎn) a(0, 1)2必在圓上或圓內(nèi)，即點(diǎn) a(0, 1)到圓心距離不大于半徑，則有 a 1 2a 4(a2),得 1 a 3。分析：因?yàn)轭}設(shè)中有兩個(gè)

20、參數(shù)，用解析幾何中有交點(diǎn)的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來解題是比較困難的。若 考慮到直線過定點(diǎn) a(0, 1),曲線為圓(六)分類討論，避免重復(fù)遺漏10、當(dāng) |m|2時(shí)，不等式2x 12m(x1)怛成立,求x的氾圍。解：使用|m|2的條件，必須將m分離出來，此時(shí)應(yīng)對(duì)1進(jìn)行討論。當(dāng)x20時(shí)，要使不等式2x 1一 m恒成立,1只要2x 12,13解彳導(dǎo)1 x 當(dāng)x20時(shí)，要使不等式2x-2x1.一 m怛成立,1只要2x當(dāng)0時(shí),要使2x解法2:可設(shè)f (m)(x21)m11、當(dāng) 13時(shí),不等式(七)構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想12、(1990年全國高考題)設(shè) f(x)的自然數(shù)，且n 2,如果域。四、1. 7

21、解得20恒成立，只有x 1。綜上得(2x 1),用一次函數(shù)知識(shí)來解較為簡單。2ax 60恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。1x 2x 3x lgf (x)當(dāng) x (解：本題即為對(duì)于x (, 1,有1x 2x1.72x - X _(n 1) n a,其中a為實(shí)數(shù),1時(shí)有意義，求a的取值范圍。n為任意給定(n 1)x0恒成立。這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求(1)xn(2)xn(=)x(nn2)，對(duì)于x (構(gòu)造函數(shù)由于函數(shù)的范圍，可先將a分離出來，得1恒成立。g(x)u(x)則g(x)在(1)xn(2)xnn 1 x,、(),則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) g(x)在xn(,1上的值(與x(

22、kn1,2,1上為單調(diào)增函數(shù)。于是有n 1)在x (, 1上是單調(diào)增函數(shù),g(x)的最大值為：g(1)i(n1),從而可得12(n 1)。同步跟蹤練習(xí)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,若不等式a恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍2、已知函數(shù)f(x)1 lg(2x 22 xR),對(duì)任意的x R都有意義，求實(shí)數(shù)m的取值范圍3、知f(x)是定義在(，3的單調(diào)減函數(shù)，且f(a2 sin x) f (a 1 cos2 x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x成 立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。4、當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x的不等式(x2 1)a x(a 5) 31對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立?5、已知 f(x)= x32 Iax bxC,在 x=1 與 x=-2

23、 時(shí),都取得極值。11)求a、b的值;(2)若x -3,2都有 f(x)>求實(shí)數(shù)c的取值范圍。解、(1) a= ,b=-6.2(2)由f(x)min=-7+C>1-1 得2 c 23 .1323 .1326、定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)y f(x)，若對(duì)任意的Xi,X2 D，者B有| f (x1) f(x2) 1 ,則稱函數(shù)y f(x)為“接近函數(shù)”，否則稱“非接近函數(shù)”函數(shù)f(x)x3 x a(x 1,1,a R)是否為“接近函數(shù)”？如果是,請(qǐng)給出證明；如果不是，請(qǐng)說明理由.解：因?yàn)閨 f (x1)f ( x2 ) | | fmax fmin函數(shù)f (x)x a(x 1,1, a2R導(dǎo)數(shù)是f (x) 3x 1當(dāng)3x2時(shí)，f (x) 3x2 1 0;當(dāng)x故f(x)在x 0,1內(nèi)的極