概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案上課時間第一周上課節(jié)次3節(jié)課型理論課 題概率論基本概念教學(xué)目的使學(xué)生掌握隨機試驗、樣本空間、隨即事件、頻率、概率及古典概型等概念教學(xué)方法講授重點、難點基本概念的掌握與理解時間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計在大量重復(fù)試驗或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性就是我們所說的統(tǒng)計規(guī)律性。在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，在大 量重復(fù)試驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn) 象，我們稱之為隨機現(xiàn)象。1.1 隨機試驗具有如下特點的試驗稱為隨機試驗： 可以在相同的條件下重復(fù)地進行。每次試驗的結(jié)果可能不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果。進行次試驗之前不能確定哪個結(jié)果會出現(xiàn)。1.2 樣本空間、隨機事

2、件(1)樣本空間我們將隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成的 集合稱為E的樣本空間，記為S。樣本空間的元素即E的每個結(jié)果，稱為樣本點。(2)隨機事件我們稱試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件，簡稱事件。在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生。由一個樣本點組成的單點集稱為基本事件。樣本空間S包含所有的樣本點，它是S自身 的子集，在每次試驗中它總是發(fā)生的，S稱為 必然事件?？占话魏螛颖军c，它也作為樣本空間 的子集，它在每次試驗中都不發(fā)生，稱為不 可能事件。(3)事件間的關(guān)系與事件的運算設(shè)試驗E的樣本空間為S,而A, B, Ak(k=l , 2,)是S的子集：若AB,則稱

3、事件B包含事件A,這指的是若AB且BA,即人=8,則稱事件A與事件B相等。事件A B x|x A x B稱為事件A與事件B 的和事件。當(dāng)且僅當(dāng)A , B中至少有一個發(fā)生時，事件A B發(fā)生。事件A B x|x A x B稱為事件A與事件B 的積事件。當(dāng)且僅當(dāng)A, B同時發(fā)生時，事件AB發(fā) 生。A B也記作ABo 事件A-B x |x A且x B稱為事件A與 事件B的差事件。當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生，B不發(fā)生時事件A-B發(fā) 生。 若AB,則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的。基本事件是兩兩互不相容的。 若A B S A B ,則稱事件A與事件B互為逆事件。又稱事件A與事件B互 為 對立事件。交換律：ABBA

4、ABBA結(jié)合律.A(B 0 (A B) C結(jié)口：A (B 0 (A B) C分配率：a(bc)(a b) (A C)“A (B 0 (A B) (A C)摩根率：ABABABAB1. 3頻率與概率(1)頻率定義：在相同的條件下，進行了 n次試驗， 在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱 為 事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值ru/n稱為事件A發(fā)生 的頻率，并記為井)。頻率具有如卜基本性質(zhì)： 0 fn(A)Oo 規(guī)范性：對于必然事件S,有P(S)=1?？闪锌杉有裕涸O(shè)Ai, A2,是兩兩互不相容的事件，即對于AiAj= , i工j, i,j=l ,2,有 P(AiU A2U -U )=P(Ai)+P(A2)+

5、 概 率的性質(zhì)：性質(zhì)1： P( ) 0性質(zhì)2 (有限可加性)：若Ai, A2, , An是兩兩互不相容的事件，則有P (Ai U A2U -U An) =P (A i)+P(A2)+ +P(An)。性質(zhì)3:設(shè)A, B是兩個事件，若A B ,則有 P(B-A) =P(B)-P(A) ; P(B) P(A)O性質(zhì)4:對于任一事件A , P(A) 0,稱P(B|A)為在事件A發(fā)生的條件P(A)下事件B發(fā)生的條件概率。條件概率P(-IA)滿足：非負(fù)性：對于每一事件B,有P(B1A) Oo 規(guī)范性：對于必然事件S,有P(S|A)=1。可列可加性：設(shè)Bi, B2,是兩兩互不相容的事件，則有PC Bi A)

6、 P(Bi A) i 1概率的性質(zhì)都適用于條件概率。(2)乘法定理P(AB)二 P (B | A) P (A)(乘法公式)一般地，設(shè)Ai, A2,，An為n個事件,n2, 且P(AiA2An)0,則有P(A1A2An) = P (An IA1A2An-1) P (An-l A1A2 An-2)P(A2 A) P (Al)(3)全概率公式和貝葉斯公式定義：設(shè)S為試驗E的樣本空間，Bi,B2,，Bn為E的一組事件，若BiBj 二，iM j, i, j=l,2,，n Bi B2Bn S則稱Bi, B2,，Bn是樣本空間S的一個戈|J 分。若Bi , B2,，Bn是樣本空間S的一個劃 分, 那么對每次

7、試驗，事件Bi, B2,，Bn中必有 一個且僅有一個發(fā)生。定理：設(shè)試驗E的樣本空間為S, A為E的事 件，Bi, B2,，Bn為S的一個劃分,且 P(Bi)0 (i=i , 2,n),則P(A)=P(A|B i)P(Bi)+ P(A|B2)P(B2) + +P (A | Bn) P (Bn)(全概率公式)定理：設(shè)試驗E的樣本空間為S, A為E的事住 R, Ro乩頭1 S的一不古|芬且 P(A)0, P(BJ0 (i=l , 2,八,n),貝 Sp(BjAXBA) /砂) 一3P (A | BJP) (Bj) J 1(貝葉斯(Bayes)公式)1. 6獨立性定義：設(shè)A, B是兩事件，若滿足等式P

8、 (AB) =P (A)P (B),則稱事件A, B相互獨 立， 簡稱A, B獨立。定理：設(shè)A, B是兩事件，且P(A)O。若A, B 相互獨立，則P(B|A)=P，反之亦 然。定理：若事件A與B相互獨立，則下列各 式 也相互獨立：A與B, A與B, A與B。定義： 設(shè)A, B, C是三個事件，若滿足等式P (AB) =P (A) P(B), P (BC) =P (B) P(C),P (AC) =P (A) P(C), P (ABC) =P (A) P (B) P(C), 則 稱事件A, B, C相互獨立。般地，設(shè)Ai, A2,，An/E n (n2)個事件，若對于其中任意2個，任意3個，任意

9、n個事件的積事件的概率，都 等于各事件概率之積，則稱事件Ai,A2,，An相互獨立。推論：若事件Ai, A2,，An （n 2）相互獨立， 則其中任意k（2 ko, k=l,2, Pk 1 k 1(1) (OT)分布設(shè)隨機變量X只可能取0與1兩個值，它的分布律是 P x=k =p k(l-p)1-k, k=O, 1( 0v pv 1),則稱X服從以p為參數(shù)的(0-1)分布或兩點分布。(2)伯努利試驗、二項分布設(shè)試驗E只有兩個可能結(jié)果：A及A,則稱E為伯努利(Bernoulli )試驗。將E獨立重復(fù)地進行n次，則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重伯努利試驗。在n次試驗中A發(fā)生k次的概率為n pk(l

10、p)n k，記 q=l-p，即有 kPX k : pkqn k, k=0, 1,2,，no k注意到中廣剛好是二項式(p+q)1)的展k開式中出現(xiàn)pk的那一項，我們稱隨機變量X服從參數(shù)為n, p的二項分布，并記為Xb (n, p) o特別，當(dāng)n=l時二項分布化為Px k Pkqn k=0 , 1 (O-l)分布)。(3)泊松分布設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0,1, 2,，k 而取各個值的概率為PX kk!k=0,l,2,其中入0是常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為入的泊松分布，記為X n(入)。泊松定理：設(shè)入0是一個常數(shù)，n是任意 正整數(shù)，設(shè)nPn=入，則對于任一固7E的非nk負(fù)整數(shù) k,有：lim =p

11、k(l pn)nk1 o* kk!上述定理表明，當(dāng)n很大，p很小()時有以下近似式“ pk(l p)nk(其中入kk!二 np) o2. 3隨機變量的分布函數(shù)定義：設(shè)X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù) F(x) =PX x, -x稱為 X的分布函數(shù)。對于任意實數(shù)Xi , X2 (XiV X2),有PXi v X X2 =P X X2-PX Xi分布函數(shù)F(x)具有以下基本性質(zhì)：F(x)是一個不減函數(shù) 0 F(x) 0 f (x) dx 1對于任意實數(shù)Xi, X2(Xi0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為B的 指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為：F(x) le ”:武 U央匕服從指數(shù)分布的隨機變量X具有以下性質(zhì)：

12、對于任意 s, t0,有 PXS+t|XsZlPXt)o 上式稱為無記憶性。(3)正態(tài)分布若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)二32, 4X汽其中a, a ( a o)為常數(shù)，則稱x服 從參數(shù)為a的正態(tài) 分布或高斯(Gauss)分布，記為 X N( a , a 2) o正態(tài)分布具有如下性質(zhì)：曲線關(guān)于*= a對稱。當(dāng)x= /時取到最大值f() oz a= a, 0a 1,則稱點Za為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分 位點。2. 5隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)XN(O, 1),其概率密度為(x) _Le,心X汽則Y=X?的概J211/2y/20率密度為fy(y)TTy-，,，此0y 0時稱丫服從自由度為1的x 2

13、分布。定理：設(shè)隨機變量X具有概率密度fx (x), 4 x0 (或恒有g(shù)x) 0),則Y=g(X)是連 續(xù)型隨機變量，其概率密度為fXh(y) h (y)y凡0其它教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解 和 掌握概率密度與分布函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，由于相 關(guān)參數(shù)含義在后面章節(jié)介紹，學(xué)生對正態(tài)分布 的掌握稍感欠缺。上課時間第六周上課節(jié)次3節(jié)課型理論課 題隨機變量及其分布習(xí)題解析教學(xué)目的使學(xué)生鞏固隨機變量及其分布所學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法講授重點、難點重要概率離散型隨機變量分布律與連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)、概率密度時間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計1 盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過僅用圓規(guī)和 直 尺三等分一個任意

14、角是不可能的，但每一年總 是有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于僅用圓規(guī)和直尺 將角三等分的文章。設(shè)某地區(qū)每年撰與此類文 章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分 布。求明年 沒有此類文章的概率。解：由題設(shè)某地每年撰寫此類文章的篇數(shù)X n（6）,因此，明年無此類文章的概率為：0 6PX=0 = 6e 二 e-=2. 5*10-3o0!2.某種型號器件的壽命X （以h計）具有概1000率密度：f（x）X2 X ,現(xiàn)有大批此種器件(設(shè)各器件損壞與否相互獨立)，任取5 只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概 率是多少？解：任取一只該種器件，其壽命大于1500h的概率為p儂1500voXA 15000任取5只這種器件

15、，其壽命大于1500h的只數(shù) 記為X,則X-b2/3),故所求概率為： PX 21-PX0-PX11-(1 g 5- =(1 =)4 23231 332433.由某及其生產(chǎn)的螺栓的長度(cm)服從 參數(shù)P =10. 05, (T =0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長 度在范 圍10. 05土 0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合 格產(chǎn)品的概率。解：記螺栓的長度為X, X-N(10. 05, 0. 0&),螺栓不合格的概率為：1 ( 0. 06 ) ( 0. 06 )1(2)( 2) 0.0456教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生鞏固所 學(xué) 隨機變量及其分布的相關(guān)內(nèi)容，通過本次課的 學(xué)習(xí)，學(xué)生對隨機

16、變量及其分布的相關(guān)應(yīng)用技巧有所提升。上課時間第七周上課節(jié)次3節(jié)課型理論課 題二維隨機變量、邊緣分布與條件分布教學(xué)目的使學(xué)生了解并掌握一維隨機變量與相關(guān)分布的內(nèi)容教學(xué)方法講授重點、難點邊緣分布與條件分布時間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計3. 1二維隨機變量一般，設(shè)E是一個隨機試驗，它的樣本空間 是 S=e,設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨 機變量，由它們構(gòu)成的一個向量(X, Y)叫做二維隨機向量或二維隨機變量。定 義：設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，對于任意 實數(shù) x, y,二元函數(shù) F(X, y) =P (X x) A (Y y) =P X x,Y xi 時 F(X2, y) F(Xi

17、, y)；對于任意固定的x,當(dāng)y2yi時，F(xiàn)(x, y2)F(x, yi)。 OW F(x, y) 1,且:對于任意固定的y, F(-g,y)=0對于任意固定的x, F(x, - g)=0F(- g, -g )=0, F( g, g )=1 F (x+0, y) =F (x, y) , F (x, y+0)=F (x, y),即F(x, y)關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù)。 對于任意(xi, yi),(X2, y2), xiX2, yi 0。如果二維隨機變量(X,Y)全部可能取到的值 是有限對或可列無限多對，則稱(X,Y)是離散型的隨機變量。我們稱 PX=x i, Y=yi =pj, i, j=

18、l , 2,為一 維離散型隨機變量(X,Y)的分布律，或稱為隨 機變量乂和丫的聯(lián)合分布律。對于二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y),如 果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)使對于任意X, yxy 有 F (x, y)f (u, v)dudv ,則稱(X, Y)是連續(xù)型的二維隨機變量，函數(shù) f(x,y)稱為二維 隨機變量(X,Y)的概率密度，或稱為隨機變 量X和Y的聯(lián)合概率密度。概率密度f(x, y)具有以下性質(zhì)： f (x, y) 0設(shè)G是xOy平面上的區(qū)域，點(X,Y)落在G 內(nèi)的概率為 P(X, Y) G f(x, y) dxdyG 若f(x,y)在點(x,y)連續(xù)，則有-(x, y)f

19、(x, y) x y般，設(shè)E是一個隨機試驗， 它的樣本空間是 是e,設(shè) Xi=Xi (e), X2 = X2(e),，Xn=Xn(e)是定義在S上的隨機變量，由它們 構(gòu)成的一個n維向量(Xi, X2,Xn)叫做n維 隨機向量或n維隨機變量。對于任意n個實數(shù)Xi, X2,，xn, n元函數(shù)F(Xi, X2,Xn) = P Xi Xi, X2 X2, ,Xn 0，則稱PX Xi|Y 丫 產(chǎn)旦，i=l,P Y yjP?j2,為丫二yj條件下隨機變量X的條件分布 律。同樣，對于固定的i ,若PX=x j0,則稱皿/21 P X Xi, Y yjPji 1F 叼，二，PX XiPi?2,為X=Xi條件下

20、隨機變量Y的條件分布 律。定義：設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y) , (X,Y)關(guān)于丫的邊緣概率密度為fY(y) 若對于固的y, fy (y) 0,則稱“ 為在fy (y)丫二丫的條件下X的條件概率密度，記為教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解和掌握一維隨機變量、邊緣分布與條件分布的 相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生對邊緣分布和條件分布的定義 掌握較好，但對其性質(zhì)尚需多加聯(lián)系后方能熟 悉。上課時間第八周上課節(jié)次3節(jié)課型理論課 題相互獨立的隨機變量與隨機變量的函數(shù)分布教學(xué)目的使學(xué)生掌握相互獨立的隨機變量并了解幾種常見的隨機變量的函數(shù)分布教學(xué)方法講授重點、難點相互獨立的隨機變量時間分配教學(xué)內(nèi)

21、容板書或課件版面設(shè)計3. 4相互獨立的隨機變量定義：設(shè)F(x, y)及Fx(x), FY(y)分別是二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對于所有x, y有 PX x,Y y =PX xPY y,即F(x, y) =Fx(x)Fy(y),則稱隨機變量X和Y是相互 獨立 的。若對于所有的Xi,X2,Xn有F(X1, X2,，Xn) = Fxi(Xl)Fx2(X2)Fxn(Xn),貝 口稱Xl, X2,Xn是相互獨立的。若對于所有的Xi, X2,Xm； yi, y2,，yn有F (X1, X2, , Xm, yi, y2, yn) =Fi (xi, X2, , Xm) F2 (yi,

22、y2,yn),其中Fi, F2 , F依次為隨機變量(Xl, X2,，Xm) ,(Yl, 丫 2,，Yn)和(Xi,X2,，Xm, 丫 1, Y 2,，Yn)的分布函數(shù),則稱隨機變量(Xl, X2,Xm)和(Y1, 丫2,，丫 n)是相互 獨立的。定理：設(shè)(Xl,X2,Xm)和(Y 1, 丫 2，,Y n)是相互獨立 的，則Xi(i=l,2,m)和丫,n)相互獨立。又若h , g是連續(xù)函數(shù),則h(Xi, X2,Xm)和g(Y 1, 丫2，Yn)相互獨立。3. 5兩個隨機變量的函數(shù)的分布(1) Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是一維連續(xù)型隨機變量，它具有概率密度f(x, y)o則2=乂+丫仍為連續(xù)型

23、隨機變量，其概率 密度為：fx Y(z)f (z y, y) dy或 fx 丫 (z) f (x, z x) dxo若乂和丫相互獨立，設(shè)(X, Y)關(guān)于X , 丫的邊緣 密度分別為&(x), fy(y),則上面兩式可化為G(z)fx(z y) fy(y)dy和 fxy(z) fx(x) fY(z x)dxo以上兩式稱為fx和fY的卷積公式，記為fx*f Y ,即 fx * fy fx y(z)fx (z y) fy(y) dy且 fx *fy fx Y(Z)fx(x) fy (z X)dx(2) Z二Y/X的分布和X=XY的分布設(shè)(X,Y)是一維連續(xù)型隨機變量，它具有概率密度f(x, y),則

24、Z=Y/X與Z=XY仍為連續(xù)型隨機變量，其概率密度分別為：fY/x(z)x f (x, xz)dx ,1zfxY (z)f (x, ) dxo1 x|X若乂和丫相互獨立，設(shè)(X, Y)關(guān)于X, Y的邊緣 密度 分別為fx(x), fy(y),則上式可化為：fy/x (z) |x fx (x) fy(xz) dx,1zfxY (z) 一 fx (x) fy (-) dxo1 x|X(3)M=maxX,Y& N 二 minX, Y的分布設(shè)X, Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分 布函 數(shù)分別為Fx(x)和Fy(。，貝P：Fmax (Z)二 Fx(Z) Fy (Z), Fmin(Z)=l-l-F

25、x(Z) 1-FY(Z) O特別的,當(dāng)Xl, X2,Xn相互獨立且具有相同教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解和掌 握相 互獨立的隨機變量與兩種常見的隨機變量的函數(shù)分 布。學(xué)生相互獨立的隨機變量的定義掌 握較好，其 余部分需要多加練習(xí)。上課時間第九周 上課節(jié)次3節(jié)課型理論課 題多維隨機變量及其分布習(xí)題解析教學(xué)目的使學(xué)生鞏固多維隨機變量及其分布所學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法講授重點、難點邊緣分布、條件分布與相互獨立的隨機變量時間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計1 .設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為k(6 x y) 0 x 2, 2 y 4f (x, y)廿0其它(1)確定常數(shù)k(2)求 PX1,Y3(3

26、)求 PX1.5(4)求 PX+Y 4解：由f (x, y) dxdy 1 得：x 24 2 4 r 1 21 adyok (6 xy) dx k 2 (6 y) x -x dy2x 0k 2(12 2y 2)dy k(10y y2) ： 8k所以k=l/8。31 1P(X 1, Y3 2dy -(6 x y) dx81 3-2 (6 y)x -xX 11 2dy711PX 1.542dy1.5 1 (68y) dxPX Y 41 4-2 (6 y)x -x632(M2 842dydyxo3、 y) dy227324 y 18(6y) dxx 4 y(6dy(6y) (4 y)一(4y)1 2

27、 dy2(48 2y)1-(422y) dy (4 8y)2(4 64y)3 f232.設(shè)二維隨機變量(X, Y)的概率密度為yf(x, y) e3求邊緣概率密度。計)近似地服從于正態(tài)分布N(160,似2),隨 機地選取4只，求其中沒有一只壽命小于180的 概率。解:以Xi (i=l, 2, 3, 4)記所選取的第i只元件的壽命，由題設(shè)一只元件壽命小于180小時的概率為X1160180 160PXi 180 P )20 20180 160()(1) 0. 841320可認(rèn)為Xi, X2, X3, X4相互獨立，故選取 的4教學(xué)后記只元件沒有一只壽命小于180小時的概率 為上課時間第十周 上課節(jié)

28、次3節(jié)課型理論課 題數(shù)學(xué)期望與方差教學(xué)目的使學(xué)生了解和掌握數(shù)學(xué)期望與方差的概念及其在實踐中的應(yīng)用教學(xué)方法講授重點、難點數(shù)學(xué)期望與方差的定義及相關(guān)定理時間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計4.1數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)離散型隨機變量X的分布律為：PX=xk =pk, k=l , 2,。若級數(shù) XkPk 絕 k 1對收斂，則稱級數(shù)XkPk的和為隨機變量X k 1的數(shù)學(xué)期望,記為E(X),即E(X)二 XkPk。k 1若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),若 積分xf(x)dx絕對收斂，則稱積分xf (x) dx的值為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)。即E(X) =xf (x)dxo數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱為

29、均值。數(shù)學(xué)期望E(X)完全由隨機變量X的分布律所確定。若X服從某一分布，也稱E(x)是 這一分布的數(shù)學(xué)期望。定理：設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)：Y二g(X)(g是連續(xù)函數(shù))。 若X是離散型隨機變量，它的分布律為PX=x k=pk, k=l, 2,若 g(xQPk 絕對收k 1斂，則有 E(Y) Eg(X)g(Xk)Pkok 1 若x是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為f(x),若g(x)f(x)dx絕對收斂，則有E(Y) Eg(X)g(x)f (x) dx o數(shù)學(xué)期望重要性質(zhì)：設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C。設(shè)X是一個隨機變量，C是常數(shù)，則有E (CX) =CE (X) o設(shè)X, Y是兩個隨機變量，則有E

30、 (X+Y)二 E (X)+E (Y)。此性質(zhì)可推廣到任意有限個隨機變量之和的情況。設(shè)X, Y是相互獨立的隨機變量，則有E (XY)二 E(X) E (Y) o機變量之和的情況。4. 2方差定義:設(shè)X是一個隨機變量，若EX-E(X) 2 存在，則稱EX-E(X) 2為x的方差,記為 D(X)或 Var (X),即D (X)=Var (X)= E X-E (X) 2。應(yīng)用中引入JD(X),記為c(X),稱為標(biāo)準(zhǔn) 差或 均方差。對于離散型隨機變量：2D(X)Xk E (X) Pkk 1對于連續(xù)型隨機變量：2D(X)x E(X)2f(x) dx方差重要性質(zhì)：設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=O。設(shè)X是隨機變量

31、，C是常數(shù)，則有D (CX) =C 2D(X) , D (X+C) =D (X)。設(shè)X, 丫是兩個隨機變量，則有D (X+Y)二 D(X)+D( Y) +2E (X-E (X) (Y -E( Y)特別地，若X , 丫相互獨立，則有D (X+Y)二 D(X)+D( Y)隨機變量之和的情況。D （X）=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)E（X）,即 PX=E（X）=lo定理：設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=P,方差D（X）= （T ；則對于任意正數(shù),2不等式P| X一成立。（切比雪夫（Chebyshev）不等式）教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解 和 掌握數(shù)學(xué)期望與方差的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生對數(shù)

32、學(xué) 期望與方差的定義掌握較好，相關(guān)定理部分需 要結(jié)合習(xí)題多加練習(xí)。上課時間第十周上課節(jié)次3節(jié)課型理論課 題協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)，矩、協(xié)方差矩陣教學(xué)目的使學(xué)生了解并掌握協(xié)方差相關(guān)知識教學(xué)方法講授重點、難點協(xié)方差時間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義：i EX-E(X) Y -E( Y)稱為隨機變 量X與Y的協(xié)方差。記為Cov(X, Y)二 EX-E(X)Y -E( Y)oXY /- Y)稱為隨機變量X與丫的JD (XD (Y)相關(guān)系數(shù)。Cov(X, Y)二 Cov (Y, X), Cov(X, X)=D(X)D (X+Y)二 D(X) +D( Y) +2Cov (X, Y)Co

33、v(X, Y)二 E (X Y) -E (X)E ( Y)協(xié)方差的性質(zhì)：Cov (aX, bY)二 abCov(X, Y) , a, b 是常數(shù)。Cov(X 什 X2, Y)二 Cov(X i, Y) +Cov(X 2, Y)定理: 1 xyI 1IxyI 1的充要條件是，存在常數(shù)a, b使PY 二 a+bX=lo當(dāng)I xyI 0時，稱X和Y不相關(guān)。Cov(X, Y)=0 可得 XY I 0,即 X, 丫 不相 關(guān)；反之X, 丫不相關(guān)，X和Y卻不一定相互 獨立。當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時，乂和丫不相 關(guān) 與乂和丫相互獨立是等價的。4. 4矩、協(xié)方差矩陣定義：設(shè)乂和丫是隨機變量，若E(X9,

34、 k=l,2,存在，稱它為X的k階原點矩，簡 稱 k 階矩。若 EX=E (X) k, k=2,3,存在 稱它為X的k階中心矩。若E (XkY),k, 1=1, 2,存在，稱它為X和丫的k+1階混 合 中心矩。X的數(shù)學(xué)期望E(X)是X的一階原點矩，方差 D(X)是X的二階中心矩，協(xié)方差Cov(X, 丫)是 X和丫的二階混合中心矩。二維隨機變量 (Xl,X2)有四個二階中心矩(設(shè)它們分別存在)，分別記為：cn=E X i-E (Xi) 2Ci2=E X i-E (Xi) X2-E(X2) C2i=E X 2-E(X 2) Xi-E (Xi) C22=E X 2-E(X2) 2將它們排成矩陣的形式

35、5氐，這個矩陣C21 c22稱為隨機變量(Xi, X2)的協(xié)方差矩陣。設(shè)n維隨機變量(Xi, X2,Xn)的二階混合中心矩Gj 二 Cov(X i, Xj) =E X i-E (X i)X j-E (Xj) , i,j=l,2,，n都存在，則稱矩陣C11 c12clnC 叱為n維隨機變量cn2 cn2cnn(Xl, X2,，Xn)的協(xié)萬差矩陣。由于Cij =Cji (i 工j; i, j=l,2,n),因而上述協(xié)方差矩陣是 一個對稱矩陣。教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解 和 掌握協(xié)方差、矩與協(xié)方差矩陣的相關(guān)內(nèi)容。學(xué) 生對相關(guān)概念掌握較好，相關(guān)應(yīng)用部分尚需多 加練習(xí)。上課時間第十二周

36、上課節(jié)次3節(jié)課型理論課 題隨機變量的數(shù)字特征習(xí)題解析教學(xué)目的使學(xué)生鞏固隨機變量的數(shù)字特征所學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法講授重點、難點數(shù)學(xué)期望與方差時間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計1.某車間生產(chǎn)的圓盤直石 均勻分布，試求圓盤面秒 解：設(shè)圓盤直徑為X,1密度 fx（X） aa b0其它故圓盤面積 A= n X2/4/、b 121I，產(chǎn)；X） * dx3 4 b a 存 b2 ab a2）2.設(shè)在某規(guī)定的時畫備用于最大負(fù)荷的時間一個隨機變量，其概率密13在區(qū)間（a 的數(shù)學(xué)期望 按題設(shè)X具彳 x b:J數(shù)學(xué)期望為30）月艮從O可概率ba電氣設(shè)計）是X 19小小間隔里，某X （以 min要為：1- X0 X 150

37、0 150021f (x)2 1500 x 30001500 (x 3000)0其它求 E(X)。解：按連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義有：E (X)xf (x) dx0/ 、1500/ 、xf (x)dx xf (x)dx 30001500 xf,x，fix300001500Xx* Odx A x dx150023000 (x 3000)*x2 dxx* Odx15001500，3000150030003231 X1X X一(3000* )15002 3 o 1500223 偵。1500 (mi n)3.一直正常男性承認(rèn)血液中，每一毫升白細(xì) 胞數(shù)平均是7300,軍方差是700。利用切 比雪夫不等式估計每毫升含白細(xì)胞數(shù)在 52009400直接的概率p。解：以X表示每毫升含白細(xì)胞數(shù)，由題設(shè) E(X)= P 7300, JD(X)700而概率 p=P5200X9400=P-2100X-73002100=P X-7300|2100在切比雪夫不等式plx-(i i r 2/ 2中，取 =2100,此時：r y 2=l-7002/21002=8/9,即：p=P X-7300| 8/9教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生鞏固 所 學(xué)隨機變量的數(shù)