高考數(shù)學總復習導數(shù)的綜合應用基礎(chǔ)知識梳理教案理

1、導數(shù)的綜合應用【考綱要求】1.了解復合函數(shù)的求導法則會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)；2.理解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(導數(shù)在極值點兩側(cè)異號)，會求給定函數(shù)的極大值、極小值，會求給定函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值；4提高應用知識解決實際問題的能力?！局R網(wǎng)絡】 導數(shù)的應用極值與最值問題函數(shù)的單調(diào)性問題切線斜率、方程【考點梳理】【高清課堂：導數(shù)的應用（理）394572 知識要點】考點一、求切線方程的一般方法（1）求出函數(shù)在處的導數(shù)；（2）利用直線的點斜式得切線方程。要點詮釋：求切線方程，首先要判斷所給點是否在曲線上.若在

2、曲線上，可用上法求解；若不在曲線上，可設(shè)出切點，寫出切線方程，結(jié)合已知條件求出切點坐標，從而得方程.考點二、判定函數(shù)的單調(diào)性（1）函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，則當時，y=f(x)在相應區(qū)間上為增函數(shù)；當時，y=f(x) 在相應區(qū)間上為減函數(shù)；當恒有時，y=f(x)在相應區(qū)間上為常數(shù)函數(shù)。要點詮釋：在區(qū)間(a,b)內(nèi)，是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件！例如：而f(x)在R上遞增。學生易誤認為只要有點使，則f(x)在(a，b)上是常函數(shù)，要指出個別導數(shù)為零不影響函數(shù)的單調(diào)性，同時要強調(diào)只有在這個區(qū)間內(nèi)恒有，這個函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上才為常數(shù)函

3、數(shù)。要關(guān)注導函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系。（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本步驟確定函數(shù)f(x)的定義域；求導數(shù)；在定義域內(nèi)解不等式；確定f(x)的單調(diào)區(qū)間。要點詮釋：函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)遞增或遞減的判定可依據(jù)單調(diào)性定義也可利用導數(shù)，應根據(jù)問題的具體條件適當選用方法，有時須將區(qū)間(a,b)劃分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間上分別判定單調(diào)性?？键c三、函數(shù)的極值（1）極值的概念一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，如果對于x0附近的所有點，都有：f(x)<f(x0)，稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)；如果對于x0附近的所有點，都有：f(

4、x)>f(x0)，稱f(x0)為函數(shù)f(x)的個極小值，記作y極小值=f(x0)。極大值與極小值統(tǒng)稱極值。在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。要點詮釋：在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，否則無從比較。函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，是一個局部概念，在函數(shù)的整個定義域內(nèi)可能有多個極值，也可能無極值。由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系。即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值。極小值不一定是整個定義區(qū)間

5、上的最小值。函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點。連續(xù)函數(shù)的某一點是極值點的充要條件是該點兩側(cè)的導數(shù)異號。我們主要討論可導函數(shù)的極值問題，但是函數(shù)的不可導點也可能是極值點。如某些間斷點也可能是極值點，再如y=|x|，x=0?？蓪Ш瘮?shù)在某點取得極值，則該點的導數(shù)一定為零，反之不成立。在函數(shù)取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有。但反過來不一定。如函數(shù)y=x3，在x=0處，曲線的切線是水平的，但這點的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大，也不比它附近的點的函數(shù)值小。（2）求極值的步驟確定函數(shù)的定義

6、域；求導數(shù)；求方程的根；檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，則f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，則f(x)在這個根處取得極小值。 (最好通過列表法)要點詮釋：函數(shù)極值只反映函數(shù)在某點附近值的大小情況。在某區(qū)間上函數(shù)的極值可能有若干個，而且極小值未必小于極大值。f(x0)=0僅是函數(shù)f(x)在點x0處有極值的必要條件，點x0是f(x)的極值點，當且僅當在x0的左右f(x)的符號產(chǎn)生變化?？键c四、函數(shù)的最值函數(shù)的最值表示函數(shù)在定義域內(nèi)值的整體情況。連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上必有一個最大值和一個最小值，但是最值點可以不唯一；但在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值和最小值

7、。（1）最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系：函數(shù)最大值和最小值是比較整個定義域上的函數(shù)值得出的，是整個定義區(qū)間上的一個概念，而函數(shù)的極值則是比較極值點附近兩側(cè)的函數(shù)值而得出的，是局部的概念；極值可以有多個，最大(小)值若存在只有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能在區(qū)間端點取得；而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點。有極值的函數(shù)不一定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值。（2）在區(qū)間a，b上求函數(shù)y=f(x)的最大與最小值的步驟求函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的導數(shù)求函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值將函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值與區(qū)間兩端的函數(shù)值f(a)，

8、f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。要點詮釋：函數(shù)的最值表示函數(shù)在定義域內(nèi)值的整體情況。連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上必有一個最大值和一個最小值，但是最值點可以不唯一。在實際問題中，要由實際問題的背景構(gòu)造出相應的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),并注明其定義域，當在定義域內(nèi)只有一個解時，并且最值一定存在，則此點即為函數(shù)f(x)的最值點?！镜湫屠}】類型一：函數(shù)的切線問題例1.求曲線的分別滿足下列條件的切線： （1）在點的切線；（2）過點的切線；【解析】（1）時，在點的切線的切線的斜率，在點的切線為，即.（2）當切點為點時，切線為當切點不是點時，設(shè)切點為，則， 解得或（舍去）切點為

9、的切線為，即，故過點的切線為或.舉一反三：【變式1】已知曲線，曲線上哪一點處切線與直線y=-2x+3垂直，并寫出這一點的切線方程?！窘馕觥?，令，得x=4,將x=4代入中得y=5切點坐標是(4,5)， 切線方程為：. 即：x-2y+6=0?！咀兪?】設(shè)函數(shù)的圖象與直線相切于點（1，11）,求a，b的值.【解析】的圖象與直線相切于點（1，11）.，即解之得a=1，b=3.類型二：函數(shù)單調(diào)性問題例2已知aR，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】.（1）當a=0時，若x0，則；若x0，則.所以，當a=0時，函數(shù)在區(qū)間（，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+）內(nèi)為增函數(shù).（2）當a0時，由2x+ax20，解得或x0；由

10、2x+ax20，解得.所以，當a0時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+）內(nèi)為增函數(shù).（3）當a0時，由2x+ax20，解得；由2x+ax20，解得x0或.所以，當a0時，函數(shù)在區(qū)間（，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).舉一反三：【變式1】設(shè)恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間.【解析】（1）當時，則恒成立，此時f(x)在R上為單調(diào)函數(shù)，只有一個單調(diào)區(qū)間為，不合題意；（2）當時，當時，函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，增區(qū)間為：；減區(qū)間為：，.【變式2】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-lf(x), 試問：是否存在

11、實數(shù)l，使F(x)在(-¥,-1)上是減函數(shù)，且在(-1,0)上是增函數(shù).【解析】假設(shè)存在實數(shù)l滿足題設(shè).F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l),F¢(x)=4x3-2(l-2)x,令4x3-2(l-2)x=0,（1）若l2，則x=0. 當x(-,0)時，F(xiàn)¢(x)<0；當x(0,+)時，F(xiàn)¢(x)>0.F(x)在(-,0)上單調(diào)遞減，在(0,+)上單調(diào)遞增，顯然不符合題設(shè). （2）若l>2，則x=0或， 當時，F(xiàn)¢(x)<0；當時，F(xiàn)¢(x)&g

12、t;0；當時，F(xiàn)¢(x)<0；當時，F(xiàn)¢(x)>0.F(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，. 要使F(x)在(-,-1)上是減函數(shù)，且在(-1,0)上是增函數(shù)，則，即l=4. 故存在實數(shù)l=4，使F(x)在(-,-1)上是減函數(shù)，且在(-1,0)上是增函數(shù).類型三：函數(shù)的極值問題例3. 已知函數(shù)在處取得極值，求函數(shù)以及的極大值和極小值.【解析】依題意，即，令，得x=-1或x=1，當x變化時，與的變化情況如下表：1(1，+)+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值.【總結(jié)升華】利用“在處取得極值，則必有導數(shù)”是本題的破題關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】已知函數(shù)

13、f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a,b的值.【解析】依題意得方程組 解得. 當a=-3,b=3時，令得x=1.x(-,1)1(1,+)+0+無極值 顯然a=-3, b=3不合題意，舍去. 當a=4, b=-11時，f´(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11) 令得或 x=1.x1（1，+）+0-0+極大值極小值f(x)在x=1處有極小值10，合題意，a=4, b=-11.【變式2】已知函數(shù)，當且僅當時，取得極值，并且極大值比極小值大4.（1）求常數(shù)的值；（2）求的極值.【解析】，令得方程在處取得極值或為上述方程的根， ，即當時，（不符合題意）當時

14、，當x變化時，與的變化情況如下表：1(1，+)+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值. 由題意得， 整理得，又聯(lián)立，解得，由表知道：，當時，當x變化時，與的變化情況如下表： 當x變化時，與的變化情況如下表：1(1，+)-0+0-極小值極大值在處取得極小值，在處取得極大值. 由題意得， 整理得，又聯(lián)立，解得，綜上可得：（），或，（）當，時，當，時，類型四：函數(shù)的最值問題【高清課堂：導數(shù)的應用（理）394572 典型例題一】例4.已知函數(shù) （1）若曲線與曲線在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求的值； （2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間上的最大值。【解析】（1），由題意：（2）令令令令+0-0+極大極小所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是結(jié)合函