高考數(shù)學一輪復習總教案84 直線與圓圓與圓的位置關系

1、8.4直線與圓、圓與圓的位置關系典例精析題型一直線與圓的位置關系的判斷【例1】已知圓的方程x2y22，直線yxb，當b為何值時，(1)直線與圓有兩個公共點；(2)直線與圓只有一個公共點.【解析】方法一：(幾何法)設圓心O(0,0)到直線yxb的距離為d，d，半徑r.當dr時，直線與圓相交，2b2，所以當2b2時，直線與圓有兩個公共點.當dr時，直線與圓相切， ，b±2，所以當b±2時，直線與圓只有一個公共點.方法二：(代數(shù)法)聯(lián)立兩個方程得方程組消去y得2x22bxb220，164b2.當0，即2b2時，有兩個公共點；當0，即b±2時，有一個公共點.【點撥】解決直

2、線與圓的位置關系的問題時，要注意運用數(shù)形結合思想，既要運用平面幾何中有關圓的性質，又要結合待定系數(shù)法運用直線方程中的基本關系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習慣.【變式訓練1】圓2x22y21與直線xsin y10(R，k，kZ)的位置關系是()A.相離B.相切C.相交 D.不能確定【解析】選A.易知圓的半徑r，設圓心到直線的距離為d，則d.因為k，kZ.所以0sin21，所以d1，即dr，所以直線與圓相離.題型二圓與圓的位置關系的應用【例2】如果圓C：(xa)2(ya)24上總存在兩個點到原點的距離為1，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】到原點的距離等于1的點在單位圓O：x2y21上.當圓C與圓O有兩個公共點時

3、，符合題意，故應滿足21|OC|21，所以13，即|a|，所以a或a為所求a的范圍.【變式訓練2】兩圓(x1)2(y1)2r2和(x2)2(y2)2R2相交于P，Q兩點，若點P的坐標為(1,2)，則點Q的坐標為.【解析】由兩圓的方程可知它們的圓心坐標分別為(1,1)，(2，2)，則過它們圓心的直線方程為，即yx.根據(jù)圓的幾何性質可知兩圓的交點應關于過它們圓心的直線對稱.故由P(1,2)可得它關于直線yx的對稱點，即點Q的坐標為(2，1).題型三圓的弦長、中點弦的問題【例3】已知點P(0,5)及圓C：x2y24x12y240.(1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程；(2)求圓C

4、內過點P的弦的中點的軌跡方程.【解析】(1)如圖，AB4，D是AB的中點，則AD2，AC4，在RtADC中，可得CD2.設所求直線的斜率為k，則直線的方程為 y5kx，即kxy50.由點C到直線的距離公式2，得k，此時直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時的方程為x0.所以所求直線為x0或3x4y200.(也可以用弦長公式求解)(2)設圓C上過點P的弦的中點為D(x，y)，因為CDPD，所以0，即(x2，y6)·(x，y5)0，化簡得軌跡方程x2y22x11y300.【點撥】在研究與弦的中點有關問題時，注意運用“平方差法”，即設弦AB兩端點的坐標分別為

5、A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點為(x0，y0)，由得k.該法常用來解決與弦的中點、直線的斜率有關的問題.【變式訓練3】已知圓的方程為x2y26x8y0，設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A.10B.20C.30D.40【解析】選B.圓的方程化成標準方程(x3)2(y4)225，過點(3,5)的最長弦為AC10，最短弦為BD24，SAC·BD20.總結提高1.解決直線與圓、圓與圓的位置關系有代數(shù)法和幾何法兩種，用幾何法解題時要注意抓住圓的幾何特征，因此常常要比代數(shù)法簡捷.例如，求圓的弦長公式比較復雜，利用l2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)求弦長比代數(shù)法要簡便.2.處理直線與圓，圓與圓的位置關系，要全面地考查各種位置關系，防止漏解，如設切線為點斜式，