三角恒等變形及應(yīng)用

1、三角恒等變形及應(yīng)用一要點精講1兩角和與差的三角函數(shù)；。2二倍角公式； ；。3三角函數(shù)式的化簡常用方法：直接應(yīng)用公式進行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式；。（2）輔助角公式，。4三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如

2、等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。5三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。二典例解析題型1：兩角和與差的三角函數(shù)例1已知，求cos。例2已知求。題型2：二倍角公式例3化簡下列各式：（1）， （2）。例4若。題型3：輔助角公式例5已知正實數(shù)a,b滿足。例6（2

3、000全國理，17）已知函數(shù)ycos2xsinxcosx1，xR.（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由ysinx（xR）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?（2000全國文，17）已知函數(shù)ysinxcosx，xR.（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由ysinx（xR）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?題型4：三角函數(shù)式化簡例7（06北京理，15）已知函數(shù). （）求的定義域； （）設(shè)的第四象限的角，且，求的值。題型5：三角函數(shù)求值例8（06重慶理，17）設(shè)函數(shù)f(x)=cos2x +sinx cosx+a(其中0,aR),且f(x

4、)的圖象在y軸右側(cè)的第一個高點的橫坐標為。（）求的值；（）如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值。例9（06上海理，17）求函數(shù)2的值域和最小正周期。題型6：三角函數(shù)綜合問題例10已知向量（I）若求（II）求的最大值。例11（2001天津理，22）設(shè)0<<，曲線x2sin+y2cos=1和x2cosy2sin=1有4個不同的交點。（1）求的取值范圍；（2）證明這4個交點共圓，并求圓半徑的取值范圍。三思維總結(jié)從近年高考的考查方向來看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時也以大題的形式出現(xiàn)，分值約占5%因此能否掌握好本重點內(nèi)容，在一定的程度上制約著在高考中成功與否。1兩角和與兩

5、角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學習時應(yīng)注意以下幾點：（1）不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應(yīng)用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如，等；（3）注意倍角的相對性（4）要時時注意角的范圍（5）化簡要求熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。2證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。3解答三角高考題的策略。（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即

6、進行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。4加強三角函數(shù)應(yīng)用意識的訓練1999年高考理科第20題實質(zhì)是一個三角問題，由于考生對三角函數(shù)的概念認識膚淺，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系，造成思維障礙，思路受阻.實際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實踐，是客觀實際的抽象，同時又廣泛地應(yīng)用于客觀實際，故應(yīng)培養(yǎng)實踐第一的觀點.總之，三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法。5變?yōu)橹骶€、抓好訓練變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達形式的變換等比比皆是，在訓練中，強化變意識是關(guān)鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習題進行歸類，并進行分析比較，尋找解題規(guī)律。針對高考中題目看