2019高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破——函數(shù)概念：函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)案

1、函數(shù)的單調(diào)性與最值【考點(diǎn)梳理】1 增函數(shù)、減函數(shù)般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D? I，如果對(duì)于任意Xi,X2D,且XiVX2,則都有:(1)f(X)在區(qū)間D上是增函數(shù)？f(Xi)Vf(X2)；f(X)在區(qū)間D上是減函數(shù)？f(xi) f(X2) 2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y=f(X)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù), 格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(X)的單調(diào)區(qū)間.3 函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?，如果存在實(shí)數(shù).M滿足條件1對(duì)于任意的xI，都有f(x) M2存在X0I，使得f(X0) =M結(jié)論M是y=f(x)的最大值%M是y=f(x)的最小值【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、函數(shù)單調(diào)

2、性的判斷【例1】函數(shù)y= log1( X2+X+ 6)的單調(diào)增區(qū)間為()解析由x2+x+ 60,得2x3.令t= x2+x+ 6，則y= log1t是減函數(shù)，.只；需求t= x+x+ 6 在(一 2, 3)上的減區(qū)間又t= x+x+ 6 在定乂域(一 2, 3)上的減區(qū)間 是 2，3，故y= log1( X2+x+ 6)的增區(qū)間為ax【例2】試討論函數(shù)f(x) =(az0)在(1, 1)上的單調(diào)性.X 1解析 法一 設(shè)1X1X21 ,IX 1+ 1)f 12,答案A.12, 2C. ( 2, 3) D3.22f(x)=aT=a1+肓，f(x1)f(x2)=a1+a1+ 4 =(a1)(X1)1

3、)，X1 1.X2 1(X1 1 ) (X2 1 )23由于一 1X1X20,xi 10,X2 10 時(shí)，f(xi) f(xM0,即即f(xJf(X2)，函數(shù)f(x)在(1, 1)上遞減;當(dāng)a0 時(shí)，f(X1)f(X2)0 ,即f(X1)0 得x1 或XV1,即函數(shù)f(X)的定義域?yàn)?8,1)U(1, +8).令t=x21，因?yàn)閥=log2t在t(0,+)上為增函數(shù)，t=x21 在x(8,1)上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=log2(X21)的單調(diào)遞減區(qū)間為(8,1).yiI-Xik、2.試討論函數(shù)f(x) =x+(k 0)的單調(diào)性.X解析法一：由解析式可知，函數(shù)的定義域是(8,0)U(0,+8

4、).在(0,+8)(X)上(x1)ax(x1)a(x 1)ax(X (x 1)當(dāng)a0 時(shí)，f (x)0，函數(shù)f(x)在(一 1, 1)上遞減； 當(dāng)a0，函數(shù)f(x)在(一 1， 1)上遞增.【類題通法】1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間內(nèi)任取X1,X2,令 0VX1X2,那么f(X2)f(X1)=X2+XXX1+ = (X2X1) +丄X1(X2X1)X1X2kX1X2法(x 1)24因?yàn)?0X1 0,X1X2 0. 故當(dāng)X1,X2 (,)時(shí)，f(X1)Vf(X2),即函數(shù)在(，k,+8)上單調(diào)遞增.當(dāng)X1,X2 (0, fk)時(shí)，f(xd f(X2),即函數(shù)在(0 ,.

5、k)上單調(diào)遞減.5k考慮到函數(shù)f(x) =x+-(k0)是奇函數(shù)，在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,X故在(a, k)上單調(diào)遞增，在(k,0)上單調(diào)遞減.綜上，函數(shù)f(x)在(a, k)和(.k,+a)上單調(diào)遞增，在(k,0)和(0,k)上單調(diào)遞減.法二：f (x) = 1 令f(X)0 得x2k，即x(a, . k)或x(k,+a)，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 為(一a, k)和(，k,+a).令f(x)v0 得x2vk,即x ( k, 0)或x (0 , k),故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(一k, 0)和(0 ,k).故函數(shù)f(x)在(a, k)和(.k+a)上單調(diào)遞增，在(k,0)和(0,k)上單

6、 調(diào)遞減.考點(diǎn)二、禾 U 用函數(shù)的單調(diào)性求最值x【例 2】函數(shù)f(x)= -(x2)的最大值為 _ .x 1答案21 1故f(X)在2,+a)上的最大值為 2.【類題通法】解析法一：f(x)=一 1xz2,.x2時(shí),f(x)v0 恒成立,6 f(x)在2,+a)上單調(diào)遞減，f(x)在2,+a)上的最大值為f(2) = 2.1f(x)的圖象是將y=-的圖象向右平移 1 個(gè)單位，再向上平移 1 個(gè)單位得到的.Vy=x1-在 2,+a)上單調(diào)遞減，f(x)在2,+a)上單調(diào)遞減，故f(x)在2,+a)上的最大x值為f(2) = 2.1法三：由題意可得f(x) = 1 +.11Vx2,.x11,.0v

7、 w1,1法二:Vf(x)=Xx1x 1+ 1=11x17利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)最值的步驟(1)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性；計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值；(3)確定最大值和最小值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】22xm設(shè)函數(shù)f(x)=在區(qū)間3 , 4上的最大值和最小值分別為M m則卞盯()X 2M小順序?yàn)?)D.f(b)f(c)f(a)答案答案C解析 因?yàn)楹瘮?shù)y= 0.6x是減函數(shù)，00.60.60.60.61.5，即ba1.因?yàn)楹瘮?shù)y=x0.6在(0，+8)上是增函數(shù)，110.6= 1,即卩c1.綜上，bac.答案解析易知f(x)2x4=2+，所以f(x)在區(qū)間3 ,4上單調(diào)遞減，所以M=f(3)x-2x-224m 16

8、 8=6 m=f(4) = 2 +- = 4 所以一=一=-3- 26, =(4)4-24，所以M63.【例 3】已知f(x) = 2X- 2-x,a=則f(a),f(b) ,f(c)的大A .f(b)f(a)f(c)B .f(c)f(b)f(a)f(c)f(a).7c= log29f(b)f(c).【類題通法】比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)設(shè)a= 0.6,b= 0.6,c= 1.5，貝U a,b,c的大小關(guān)系是()A.abcB.acbC. bacD. bca考點(diǎn)三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用15,C= log8【例 4】已知函數(shù)f(x) = lnx+ 2x，若f(x2-4)2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 _.答案(.5， 2)U(2，.5)9解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x) = InX+ 2x在定義域上單調(diào)遞增，且f(1) = In 1 + 2= 2,所以 由f(x2 4)2得，f(x2-4)f(1)，所以 0 x2 41,解得一 石x 2 或 2x 0,由題意知1|2x -1v3,1X2,即2.XV3,1 2所以寸xv3.A.B.- ,+gD.a2已知函數(shù)f(X)=I一1,x,x2,x2滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)xi工X2,都有f X1f X2X1X24,解得-av0.a4綜上所述