高中數(shù)學(xué)放縮法技巧全總結(jié)

1、2010高考數(shù)學(xué)備考之放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是: 列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：通過多角度觀察所給數(shù)一、裂項(xiàng)放縮n例1.(1)求k 14k2 1求證：n解析：(1)因?yàn)?4n2(2n21)(2n1)12n 112n一所以1214?"12n 12n2n(2)因?yàn)? nT122n1，所以2n1k22n 12n 1奇巧積累：(1) 1 nT44n22n

2、12Cn 1 Cn(n 1)n(n 1)n(n 1)1n(n 1)Trn!r!(n r)!1r!r(r 1)11(r 2) r(4)(1n(n 1)n n2 (21)2n(6)1 2( .n 1- n)2( nn 1)(8)22n 1121(2n 1) 21(2n3) 2n(9)1k(n 1 k),n 1 n(n 1 k)(10)n(n 1)!1n!1(n 1)!(11) 1一 .2(. 2n-i - 2n1) n2n 1(11)2n (2n1)2(2n2n1)(2n 1)(2n2n1)(2n2)2 n 1(2n 1)(2n 11)1(n 2n 12)(12)n(n 1)(n 1)1Jn(n

3、1)1.Jn(n 1)(13)(14)(15)2n 1 2 2(3 1)33(21) 22n1 32n3k! (k 1)! (k 2)!i2 1 j2 1(i例2.(1)求證：1 1工1_ 2_2325(15)1) ! (k 2) ! 2.2i jj)(i2 1 . j212(2n 1)21)n(n 1)j2 1n n 1(n2)而nFn2)，、一 111(2)求證： 4 16 361114n22 4n請瀏覽后下載,資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!2n 1 1求證：121 3 5(2n 1)2n(4)求證:2( n 1 1)2(. 2n 11)解析：(1)因?yàn)?14(2n1)2(2n 1)(2

4、n 1)2 2n1 2n 1i 11161361474(1122L n14(1，所以111)¥11n 11 1)n(3)先運(yùn)用分式放縮法證明出1 3 5(2n2 4 6 2n1,再結(jié)合.2n 1首先22(許n)，所以容易經(jīng)過裂項(xiàng)得到.n2( n 11)1 1 -(2 3)2n 11 111 2(3 2n 1進(jìn)行裂項(xiàng)，最后就可以得到答案 n再證1° L,2( 2nn1 2n 1)2n 1 2n值不等式知道這是顯然成立的，所以2( 2n1 1)例3.求證:6n(n 1)(2n1)解析:一方面：因?yàn)?n2n244n212nr，所以2n 12n 1另一方面：11 n(n1)當(dāng)n3時(shí)

5、,n6n，當(dāng)1時(shí),6n(n 1)(2n 1)(n 1)(2n 1)當(dāng)n 2時(shí),6n(n 1)(2n 1)工，所以綜上有6n(n 1)(2n 1)例4.(2008年全國一卷設(shè)函數(shù)f(x) x xlnx.數(shù)列滿足0 ai 1 . an 1 f (an).設(shè) b (科,1),整數(shù)k>U .證 a1 In b解析：由數(shù)學(xué)歸納法可以證明是遞增數(shù)列，故存在正整數(shù)m k,使am b,則ak 1 ak b,否則若 amb(m k),則由 0 q am b 1知amlnama/n ama/nb0，ak1akak In akaalna，因?yàn)?alnaaainaaina1m mm mm 1m 1k(q In

6、b),于是 ak 1 a1 k | a11nbi例5.已知n m N x ,a1 (b a1) bS.mm mm 123nm,求證：nm 1(m1)Sn (n 1)m 1 1.解析:首先可以證明:(1 x)n 1 nx請瀏覽后下載，資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!nm1 nm 1 (n 1)m 1 (n1)m 1 (n2)m 11mkmk 11 (k 1)m1所以要證nm(n1)m 11只要證:nkm 1k 1(k 1)m1(mnm1) kk 1m(n 1)m 11 (n 1)m 1(n 1)n1m 1m 1 m 1 -i(k 1) k k 1只要證n kmk 1(k 1)m 1(mn1) k

7、mk 1n(k11)m 1 km1,即等價(jià)于km 1 (k 1)m1 (m 1)km(k1)mkm,即等價(jià)于1(1m 1(1而正是成立的，所以原命題成立例6.已知aJI4n2n2 ,Tn2n，求證：tT3Tna1a?解析：Tn4142434n(21 222n)4(14n)42(12n)4 Z(4n 31) 2(12n)所以Tn1) 2(1 2n)2n32n 13 2n1 3 2n 12n(2v-從而T例7.已知x(2T21,4 X2 X32. n所以二、函數(shù)放縮2n2TT31)Tn12rn(n n2k1(n1,k2k,kZ)，求證:Z)4/X4 X514 -X2nX2n 12( n 11)(n

8、N*)4 (2n 1)( 2n 1)14 X2 X314X4 X5例8 .求證：Jn,2 2ln3解析:先構(gòu)造函數(shù)有l(wèi)n x44n2 114 X2nX2n 11$X2nX2 n 1In 44In 3nlnx13n14 24n2 n:/n2( n1,從而X3nIn 221111，2 ,因?yàn)? n2( n 1 n)11)(n N*)5n6In 336(n NIn 4412nIn 3n丁12n 19189273123n13n 13T5n6In 33In 44In 3n3n3n5n63n5n1 (2請瀏覽后下載,資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!例 9.求證:(1)21n 2, 21n33TIn n2/

9、2n n 12(n 1)(n2)解析:構(gòu)造函數(shù)憶、lnx,得到f (x)xln nlnn2，再進(jìn)行裂項(xiàng) 2ln n2n21n2J，求和后可以得到答案 n(n 1)函數(shù)構(gòu)造形式：lnx x 1,1nn n 1(2)例10.求證:12ln(n1)解析:提示：1n(n 1)InInln nln2函數(shù)構(gòu)造形式：I ， d 1lnx x,1n x 1 _ x當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮如圖取函數(shù)f(x) 1x首先：qSabcfix1nx in i1n n1n(n取i 1有,1 nln n1n(n1),1 ln 2,3ln3ln 2, 一ln n另一方面SABDE1從而有1ln(ni)1), 1n 1

10、1n 1 1n(n 1)ixln x in i ln nln(ni)取i 1有, 1 n 1ln nln(n 1),所以有1n(n 1) 11，所以綜上有n1 1n(nn 11)例 11.求證：(1 1)(113!)(11 n!)e和(19)(1(13b，e解析:構(gòu)造函數(shù)后即可證明例12 .求證：(1 1 2)(12 3)1n(n 1)2n 3e解析：1nn(n 1) 1 2-，疊加之后就可以得到答案n(n 1) 1函數(shù)構(gòu)造形式：n(x 1) 2 Jx 0)1_ jx 0)(加強(qiáng)命題)x 1x x 1例13.證明：ln2ln 3 1n445ln nn 1n(n 1)4(n N*,n 1)解析:

11、構(gòu)造函數(shù)f(x)ln(x 1)(x 1)1(x1),求導(dǎo)，可以得到:f (x)圣令f(x)2,令 f(x) 0有 x2,所以f(x)f(2)0,所以 1n(x1)1 有, ln所以ln n nn 1，所以ln21n3V1n4-5ln n n(n 1)(nN*,n 1)例14.已知a 1,an 1(112ne2.解析:1、1an 1(1 )an _(1n(n 1)2n1n(n 1)L)an2n，n然后兩邊取自然對數(shù)，可以得到lnan 11 ln(1 n(n 1)ln an然后運(yùn)用ln(1放縮思路：X) X和裂項(xiàng)可以得到答案an 1(111、= 一 )an n 21。于是2Tln aln a1 l

12、n(1In a1-2n n1-2 n n1 產(chǎn))lnan1 ，2nn 1(ln ai 1 ln ai )i 1ln a,'n11 dr211 _21-2. 2n即 ln anln a1e2.注：題目所給條件ln(1x)0)為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論2n n(n1)(n 2)來放縮:an 11(1 )an(n 1)1 n(n1)an 1ln(an1 1) ln(an1)ln(1即 ln(an 1) 1In 3) n(n 1)an 3e(11n(n1n(n 1)1e2.同(an1)1ln(ai 11) ln(ai 1)2111n(an1) ln

13、(a21)1 n例15.(2008年廈門市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(X)是在(0,)上處處可導(dǎo)的函數(shù)，若X f '(X) f (X)在X0上恒成立.(I)求證：函數(shù)g(x) ?在(0,)上是增函數(shù);(II)當(dāng) X 0,x2(III)已知不等式0時(shí),證明:f (x1)ln(1X) X 在 Xf(X2) f(X X2)；且X 0時(shí)恒成立，求證：121_ln 22 _ln322 鼠ln 4242ln(n 1)2 (n 1)2n2(n 1)(n* 了.解析：(I)g,(X)f'(x)x f(x)0,所以函數(shù)g(x)f(X)六小在(0,X上是增函數(shù))(II)因?yàn)?g(x) 3在(0,X)上是增函

14、數(shù),所以f(X1)X1f(X1 X2)X1X2f(X)X1X1X2f (X1X2)f(X2)X2f(xx2)X1 X2f(X2)X2XX2f (X1X2)兩式相加后可以得到f(X1)f(X2)f (X1 X2) f(為)f(X1 X2Xn)X1X X2Xnf (X2)f (X1X2Xn)X2X1X2Xnf (X)f (X1 X2Xn)XnX1X2Xn相加后可以得到：f(X1)f(X2)f (Xn)所以x1 ln x1x2ln x2 x3f (X1)f (X2)f(Xn)為X1X2xnX2X1X2X1f (X1X2一f (X1 X2 XnXn f (X1 X2X2XnXnXn)Xn )f (X1

15、X2Xn)In X3Xn ln Xn(X1 X2Xn)ln(X1 X2Xn)令 1,有Xn (1 n)21121n 2221n 322321 ,2ln 4422 ln(n 1) (n 1)11223211122In13222321(n 1)-2In12-i13-21(n 1)n2(nn1)(n 2)ln2212n 32 3Tln 42(n 1)2ln(n1)22(n 1)(n_ (n N 2).(方法二)ln(n(n1)2記ln(n 1)2(n 1)(n 2)ln4(n 1)(n 2)ln4 一 n所以如221-n 32321-n 4 4T1 一身 ln(n(TV1)21In 4 -2nln

16、42(n 2)又 ln4 1所以1ln 22 22例16.(2008年福州市質(zhì)檢解析:設(shè)函數(shù)g(x) f(x)已知函數(shù)f(kx), (k0)三、分式放縮f(x) g(x) 0 xg (x)令 g(x):函數(shù)x In x, xln x (k x)ln(k k.In x 1 ln(kx0,則有17x),x)1 In - k2x kk xk )上單調(diào)遞增，在g(x)在一,k2g(x)而 g(2)g(x)的最小值為即 f (x)令 x a, kg(2)f(2)f(k)f (kf(a) f (b)f (a) (a b) Inf(kkln 2,x)b,則f (alln4212n ln(n 1)(n 1)2

17、 ''2(n 1)(n2)x ln x若a0, b0,證明：f (a) (a b)ln 2f(a(nf (x)b)ln32m k1上單調(diào)遞減.(0, 2,即總有g(shù)(x)kk In k(ln k2f(k)kln 2.b.b) (a b)ln2.2 f (a b) f(b).kg(2).In 2)f (k) kln 2,姐妹不等式：b b_Jm(b a 0,m 0)和 a a mb m , (a b 0, m a m0)記憶口訣”小者小，大者大”解釋:看b,若b小，則不等號是小于號，反之.例19.姐妹不等式：(1 1)(111二)(1 二)(112n 1)/2n 1 和111(1

18、/4)(16)(112n)也可以表示成為2n 12 4 6 2n k和1 3 5(2n 1)(2n 1)2n12n 1解析：利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)baU(b a ma 0, m 0)可信*N ).f(b).請瀏覽后下載，資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!(2n1)2 4 6 2n135 2n 12n 12n2n 122rT2 4 6 2n )21 3 5 2n 12n 1 即(1 1)(1 3)(1 5) (1 1_j)d2i.111例 20.證明：(1 1)(1 -)(1 ) (1 )47 3n 2解析：運(yùn)用兩次次分式放縮：3 3n 1.2583n 1 369.1 4 73n 2 2583n3n

19、 1(加1)2583n 14 7 10.1 4 73n 2 3 6 93n 1(加 2)3n相乘，可以得到：_2一 一25 83n14 710.14 73n22 583n 11 4 73n 1 2583n 23n 1(3n1)所以有(1 1)(1 1)(1 1) 4713(1 ) 3 3n 1.3n 2請瀏覽后下載，資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!解析：1 1 12 3四、分類放縮例 21.求證：1 1 1n2 32n 1211111111乃 1 2 (4 4) 手了了12nr)12n(17)例22.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編)在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，y軸正半軸上的點(diǎn)列 A與曲線

20、y 叵 (x >0)上的點(diǎn)列Bn滿足0A0嘰1,直線AnBn在x軸上的截距為an.點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為bn,nN .n n n(1)證明an >an1 >4, n N ； (2)證明有n0 N ，使得對nn0都有b_凡之二也<n2008.b1b2bn 1bn解析:(1)依題設(shè)有：An 0,1, Bn bn,網(wǎng)，bn 0 ,由OBn1得：n-nb2n2bn1n2.1mN*,又直線ABn在x軸上的截距為an滿足一 11an0-2bnn 0 n bn 0annbnST-Nbn 1 n2bn20,bn1n2blbnb 1 n72bT1 n 2>1 2n2，木法 bn 2 an

21、 S 1 1 «2 4顯然，對于1工0,有an an 1 4,n Nn n 1(2)證明：設(shè) cn1 bAnN*，則bn211請瀏覽后下載，資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!11 12n 1 n2 2 n 1 2:12nn 1212n 0,2n 12n 12n 1 ncn1,n2ciIIIcn,n則當(dāng)n2k時(shí),SnHI1 2k12112211ll小III12k12T22所以，取n°1廢24009HI2kb3b2故有空b1b3b2bnbn 1nn0k""2"都有:Sn04017212008bnl<n 2008成立。bn例23.(2007年泉州

22、市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f (x)x2 bx c(b 1, c R),若f(x)的定義域?yàn)?, 0,值域也為 1, 0.若數(shù)列bn滿足b f(n)(n N*)，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,問是否存在正常數(shù) n n3A,使得對于任意正整數(shù)n都有t a ?并n證明你的結(jié)論。解析:首先求出f (x)x2 2xb bnf(n)kn2n32n 1 nTnb1b2b3bn2k 11,故當(dāng)2n2k 時(shí),Tn因此，對任何常數(shù)a,設(shè)m是不小于a的最小正整數(shù),則當(dāng)n 22m2時(shí)，必有T 2m 2 1 m A.n 2故不存在常數(shù)A使T nA對所有n 2的正整數(shù)恒成立例24.(2008年中學(xué)教學(xué)參考)設(shè)不等式組0, Qn

23、x3n表示的平面區(qū)域?yàn)椋O(shè)D內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為an.設(shè)1a2n2時(shí)，求證：1117n11a1a?a336解析:容易得到an 3n,所以，要證1a111a2a31A2n7n 11只要證s n 1362衛(wèi)3,因?yàn)?n12S2n11111111 -()(-)23 45 6 7 8/ 1(2n 1112n 1 212n1 1 T,1T22222心1五、迭代放縮例25.已知, xn 1x 4nx 1n解析:通過迭代的方法得到例26.設(shè)QS解析：9I Sn ksin(n 1)!2n122又 2n (1 1)nxnsin 1! sin 2!sin(n 1)!Sn I I _2T1sin( n 2)!2nC

24、O六、借助數(shù)列遞推關(guān)系例27.求證：121 32-4,2解析:設(shè)anan2n而an2(na1a2所以1 32428.求證：1 2七、(n 1)12，求證:當(dāng)(1C1n7n 11,所以原命題得證.122 時(shí)，X 2I 2 21ni 1，然后相加就可以得到結(jié)論sin n!，求證:對任意的正整數(shù)2nsin(n 2)!2n 2sin(n k)2n k I5(2n1-an 1)1)an 1an 2(nCnn解析：設(shè)an 1an 1a129.若an2n 1an 2(n 1)2(n 1)a2a1解析:an1,an 1an 2an所以就有1a1分類討論一. 1k,右* k司恒有：Sn+k - SnI<n

25、sin(n-2nk) 1I 2n-T所以ISI Sn2 4 6 2n1)則6 2nkSn I2(n 1)an 1 2nan an,從而2nan，相加后就可以得到1)an2a1 2(n11) 11 (2n2n 32)2n 24 6 2n1 3 5(2n 1)2 4 62(2n2n1)則2n 1 12(n 1)1an 1(2nan1an 1(2n 1)an a，從而(2n 1)an,相加后就可以得到1)an1 3a1(2n1)12n 11a21an1,求證:a1an an 11 a a11a2anan 1a212( n 1 1) anan 2 ana12 an 1ana2例30.已知數(shù)列an的前n

26、項(xiàng)和Sn滿足Sn 2an ( 1)n,n 1.證明：對任意的整數(shù)請瀏覽后下載，資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!1a5a,1am解析:容易得到an由于通項(xiàng)中含有(1)n1很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論:3且n為奇數(shù)時(shí)1an2n 22n 131-(2 2n 322 n 2(減項(xiàng)放縮)2n2n當(dāng)m 4且m為偶數(shù)時(shí)1a4_m 2 )2am當(dāng)m 4且m為奇數(shù)時(shí)1a4 a5八、線性規(guī)劃型放縮例31.設(shè)函數(shù)f (X)2x 1 .若對一切xx2 2解析:由(f(x)1-)(f(1) 1) 2由此再由f(x)的單調(diào)性可以知道因此對一切x R，af (x)即a , b滿足約束條件bb1一a21a2由線性規(guī)劃得，a(1

27、1amR,2ma4I)(-) a67.8(a) am(添項(xiàng)放縮)由知11a或117由得證。.am am1 8af(x)b的最大值。(X 叭二1)2 知 (f(x)2(x2)f (x)的最小值為1 ,2b的最大值為九、均值不等式放縮例 32.設(shè) sn1 22 3解析：此數(shù)列的通項(xiàng)為k k(k 1)akk k-23的充要條件是,5.Jn(n 1),求證 n(n 1)k(k 1),k1,2,n.1-)(f(1) 1) 0最大值為1Sn12 f(x) 1即 n(n 1) n(n 1) nSn2(n 1)-2-Sn(k注：應(yīng)注意把握放縮的度”:nSn(k 1)k 1(n 1)(n 3) (n 1)2 ,

28、就放過1 a b 32a b 3(n 1)2-2-1 )2)上述不等式右邊放縮用的是均值不等式.a度”了!根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里， 若放成1) k1a1na1 anara1an 1nan22a1ann其中,2,3等的各式及其變式公式均可供選用。例33.已知函數(shù)f(x) 一1一，若 4,且f(x)在。，1上的最小值為1 ，求證: ' 1 a 2bxf 52f(1) f (2)f (n) n12n 1請瀏覽后下載，資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!1解析: f(x) _ 1J111 4x12 ?2x(x 0)f(1)1f(n)(1 1(1a(14(i11n T

29、 -. 廠2例34.已知a,b為正數(shù),試證：對每一個(gè)22n 2n 1解析:(a b)n 令 f (n)由1 a iC0an1得ab又/(ab)(二 b)4,故 ab a(a2f(n)=C；(anb)1bcnan1naabn1)而 an1b abn1bnbn r則2f (n)=(C；c：(ab)n例35.求證C：C2C3解析：不等式左Cn 原結(jié)論成立.C：例36.已知f (x)解析：f(xj f(4) (ex1(e經(jīng)過倒序相乘，就可以得到例37.已知f (x)解析：心 (k1K)(2n1,2,3,Cnran rbrf(n)=C：Cnr(an rbCnnbnC3abn1)(arb22nCn2nCn

30、e x，求證：f (1)f(1) f(2)X1x2e'f(3)，求證：ff(2)Cnbn，1bC：anCn(abnCnn a1 , n 1ab1b) ,，因?yàn)閏n cn i，倒序相加得b 2 anbnn2 422n 1rbr)(2n 2)(arbn2 2 (n 1,nN)rbr)(2n 2) 2n 1,所以f (n)(2n 2) 2n ,即對2nf (2)f(3)ex2ex1exx2f(n)f(3)2 22f(n)(eex1x2/ n 1(ef(2n)_n ,2 (n1)n2nn1)2n 12k)k(2n 1 k)2n 1 k2n 1 k2nk(2n1 k)2(2n 1k),2n,因?yàn)?/p>

31、 k 2n k(1 k) 2n (k 1)(2n k)k(2n 1k) 2n所以(k 1)(2n 1 k 1)2n 2k2n 1 k從而f(1) f (2) f (3)f(2n)2 (2n 2)2n，所以 f (1) f (2) f (3)f (2n) 2n(n 1)n.例38.若k 7 ,求證：Sn13nk 12解析：2Sn(1n六)(nnk 2(nk(nk 13) n因?yàn)楫?dāng)x 0, y° 時(shí),x y 2 x xy,- x y上，所以(xxy1 y)(-x1) 4,所以二,當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取到等號x y所以2s-44n n nk 1 n 1 nk 2 n 2 nk 34 4n(k 1

32、)n nk 1 n nk 1所以S2(k 1)11 k 一n2(k 1)k 13所以313nk 12請瀏覽后下載，資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!例 39.已知 f (x) a(x xj(xX2)，求證：a22f (0) f (1) _16解析：f(0) f (1)a2x1(1 x1)x2(12 ax2) w例 40.已知函數(shù) f(x)=x2 ( 1)1求證:f'(x)n 2n 1 f xn) >n(2121nx(ke N*).k 是奇數(shù)，ne N* 時(shí), -2).解析：由已知得f J) 2x2(x0)， x當(dāng)n=1時(shí)，左式=(2x(2x 2) x0右式=0.：不等式成立.(2)

33、n2,左式=f (x)n2n 1f (xn)(2x2 n n 1 n-)2(2xx(C：xCn2xC；).1Cnx2 rCnxIII由倒序相加法得:2S C：(xn2二) xC2(x,)n 4 7 x1(2)2(C；所以S(22).所以f(x)n2n 1C；1)2(2n2)，f (xn) 2n(2n 2)成立.綜上,當(dāng)k是奇數(shù),n N時(shí),命題成立例41. (2007年東北三校)已知函數(shù)f(x) ax x(a 1)(D求函數(shù)f (x)的最小值，并求最小值小于 0時(shí)的a取值范圍;(2)令 S(n) C：f'(1) C2f'(2)Cnn 1f(n1)求證:S(n)2) f(2)S(n

34、) C：(alna1)Cn2(a2 ln a(1)由 f (x)ax ln a 1, f (x) 0,即:ax ln a 1,ax!, Xaln alogIn a同理：f (x) 所以f' (x)在(0,有x,log所以 f (x)minf(loglog a ln a,ln a)上遞減，在(1 ln ln a ln a)ln alogln a,)上遞增;(C：a C2a-2Cn(a ann1)CO 1aC2(a2)In aan 2)一一 1右 f(x)min0,即-ln ln aln aa的取值范圍是1 a e0,則 ln ln a1,e1,1 ln a 一ea2 (2n2)lnan(

35、2n2)( a ln a所以不等式成立。(2n 2)1) (2n2)f例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù)ax ,x 0, . ax 8.對任意正數(shù)解析:對任意給定的a 0,x 0,由f(x)11 x1若令b旦，則axabx 8，而f(一)、先證f x又由 2 a b x2 72a 2 £7 4.2abx 8 ,得 a b1)(Cn9,C2Cn n1(aa,證明：11(an 1 lna 1)C： 1)a)ln a (2n2)請瀏覽后下載,資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!1 x .1a 41b13 2(a b x) (ab ax bx)r-b(1 x)(1 a)(1 b)(a&

36、quot;"(1b x) (ab ax bx)x)(1 a)(1 b)1 (a bx) (ab ax bx) abx .(1 x)(1 a)(1 b)(二)、再證f x 2；由、式中關(guān)于x,a, b的對稱性，不妨設(shè)x a b .則(i)、當(dāng)b 7,則a 5,所以a 5，因?yàn)?JJ1 b1.二1 x,1 a 1 51，此時(shí)f(ii)、當(dāng)8 ,ab因?yàn)閎b2r-b 4(1 b)21b2(T-b)2所以 11 bb 2(1 b)同理得a ，于是2(T-a)ab21ab 8今證明b 2 b因?yàn)閍bab(1 a)(1 b)只要證ab(1 a)(1因此得證.故由得b)ab、即 ab 8f(x)a

37、b(1 a)(1b)，也即a7,據(jù)，此為顯然.綜上所述，對任何正數(shù)a,皆有1 f例43.求證：11n 113n 1解析:一方面：1n 11213F1-213n 11TT213n13n 14n4n 2(3n 1)( n 1)3n(n2)4n 2(n 1)(3n1)2n1(2n(2n1ip(n 1)21(2n 1)2n1(2n(2n 1)2另一方面：113n2n 1n 12n 2 2n 1十、二項(xiàng)放縮(11)nCn°C；Cnn，2nCn0Cn n1,2nC0c；C22nn(n1)(n2)例44.1,an 1(1n)an12證明e2ln(an 1 1)即 ln(an解析：*ln(an 1)

38、 ln(11) 1 ln 3(1n(n 1)1n(n 1)，an 3e 1)an1 n( n1n(n 1)2e .1)an 1(11ln(ai 11)(ann(n 1)n1)1)ln(a11)i11 ln( an1) ln(a2 1) 11i(i 1)n請瀏覽后下載,資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!例45.設(shè) 1 nan (1 一)" n,求證：數(shù)列an單調(diào)遞增且a4.解析：引入一個(gè)結(jié)論:a 0則 bn1(n1)bn (b a)(證略)整理上式得an以 1a 1 ,b n 1bn(n1代入 n1)a)nb.(式得°(11) n即an單調(diào)遞增。以1代入a 1, b 1 一2n

39、此式對一切正整數(shù)式得1(1)'2n(12n4.n都成立,即對一切偶數(shù)有(13n n4,又因?yàn)閿?shù)列an單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)n有(1 n)n 40注：上述不等式可加強(qiáng)為(1Q簡證如下: 3.利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮:ancnC2CIA n只取前兩項(xiàng)有anCn率模型、從而n a1k!故有a 1nnn122對通項(xiàng)作如下放縮: M.1k!1 1 (1/2)n1 31/2上述數(shù)列an的極限存在，為無理數(shù) e；同時(shí)是下述試題的背景:已知i,m,n是正整數(shù)，且1i m n.(1)證明 niAmmiA：； (2)證明(1 m)n(1 n)m.(01年全國卷理科第20題)1簡析 對第(2)問：用1

40、/n代替n得數(shù)列bn：bn (1 n)n是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列 (1 n"遞減,i m n,故(1 m)- (1 n/,即(1 m)n當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有 構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決!(1 n)m。10多種,如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造分房問題”概詳見文例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求證：anbn1。21 n.解析：因?yàn)閍+b=1,a>0,b>0,可認(rèn)為a 1 b成等差數(shù)列，設(shè) ,2,1bn 1 d2n1 d21n2例47.設(shè)1,n N ,求證n(n1)(n 2)解析：觀察n的結(jié)構(gòu),注意到(11、n, 2)展開得C2122口 n(n281)(n 1)(n 2) 6 ,8即 1(1)2(n 1)(n 82),得證.例48求證:ln3的2ln(1ln2n解析:參見上面的方法，希望讀者自己嘗試!)例42.(2008年北京海淀5月練習(xí))已知函數(shù)f(x),xN*,y N*,滿足:對任意對任意a, b*N , a都有b，都有 af (a) bf (b) f f (n) 3n .