(第30講)高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題講座-排列、組合的應(yīng)用問(wèn)題Word版

1、題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題講座排列、組合的應(yīng)用問(wèn)題高考要求 排列、組合是每年高考必定考查的內(nèi)容之一，縱觀全國(guó)高考數(shù)學(xué)題，每年都有12道排列組合題，考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)、思維能力 重難點(diǎn)歸納 1 排列與組合的應(yīng)用題，是高考常見(jiàn)題型，其中主要考查有附加條件的應(yīng)用問(wèn)題 解決這類(lèi)問(wèn)題通常有三種途徑 (1)以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素 (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置 (3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù) 前兩種方式叫直接解法，后一種方式叫間接(剔除)解法 2 在求解排列與組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意 (1)把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化

2、或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題；(2)通過(guò)分析確定運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；(3)分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；(4)列出式子計(jì)算和作答 3 解排列與組合應(yīng)用題常用的方法有 直接計(jì)算法與間接(剔除)計(jì)算法；分類(lèi)法與分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆綁法等八種 4 經(jīng)常運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是 分類(lèi)討論思想；轉(zhuǎn)化思想；對(duì)稱(chēng)思想 典型題例示范講解 例1在AOB的OA邊上取m個(gè)點(diǎn)，在OB邊上取n個(gè)點(diǎn)(均除O點(diǎn)外)，連同O點(diǎn)共m+n+1個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任取其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可作的三角形有( )命題意圖 考查組合的概念及加法原理 知識(shí)依托 法一分成三類(lèi)方法；法二，間接法，去掉三點(diǎn)共線的組合 錯(cuò)

3、解分析 A中含有構(gòu)不成三角形的組合，如 CC中，包括O、Bi、Bj;CC中，包含O、Ap、Aq，其中Ap、Aq,Bi、Bj分別表示OA、OB邊上不同于O的點(diǎn)；B漏掉AiOBj；D有重復(fù)的三角形 如CC中有AiOBj,CC中也有AiOBj 技巧與方法 分類(lèi)討論思想及間接法 解法一 第一類(lèi)辦法 從OA邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)與從OB邊上(不包括O)中任取兩點(diǎn)，可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第二類(lèi)辦法 從OA邊上(不包括O)中任取兩點(diǎn)與OB邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第三類(lèi)辦法 從OA邊上(不包括O)任取一點(diǎn)與OB邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，

4、有CC個(gè) 由加法原理共有N=CC+CC+CC個(gè)三角形 解法二 從m+n+1中任取三點(diǎn)共有C個(gè)，其中三點(diǎn)均在射線OA(包括O點(diǎn))，有C個(gè)，三點(diǎn)均在射線OB(包括O點(diǎn))，有C個(gè) 所以，個(gè)數(shù)為N=CCC個(gè) 答案 C例2四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案的總數(shù)是_ 命題意圖 本題主要考查排列、組合、乘法原理概念，以及靈活應(yīng)用上述概念處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 知識(shí)依托 排列、組合、乘法原理的概念 錯(cuò)解分析 根據(jù)題目要求每所學(xué)校至少接納一位優(yōu)等生，常采用先安排每學(xué)校一人，而后將剩的一人送到一所學(xué)校，故有3A種 忽略此種辦法是 將同在一所學(xué)校的兩名學(xué)生按進(jìn)入學(xué)校的前后順序，分為兩種方

5、案，而實(shí)際題目中對(duì)進(jìn)入同一所學(xué)校的兩名學(xué)生是無(wú)順序要求的 技巧與方法 解法一，采用處理分堆問(wèn)題的方法 解法二，分兩次安排優(yōu)等生，但是進(jìn)入同一所學(xué)校的兩名優(yōu)等生是不考慮順序的 解法一 分兩步 先將四名優(yōu)等生分成2，1，1三組，共有C種；而后，對(duì)三組學(xué)生安排三所學(xué)校，即進(jìn)行全排列，有A33種 依乘法原理，共有N=C =36(種) 解法二 分兩步 從每個(gè)學(xué)校至少有一名學(xué)生，每人進(jìn)一所學(xué)校，共有A種；而后，再將剩余的一名學(xué)生送到三所學(xué)校中的一所學(xué)校，有3種 值得注意的是 同在一所學(xué)校的兩名學(xué)生是不考慮進(jìn)入的前后順序的 因此，共有N=A3=36(種) 答案 36例3有五張卡片，它們的正、反面分別寫(xiě)0與1

6、，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？解法一(間接法) 任取三張卡片可以組成不同三位數(shù)C23A(個(gè))，其中0在百位的有C22A (個(gè))，這是不合題意的，故共有不同三位數(shù) C23AC22A=432(個(gè)） 解法二 (直接法) 第一類(lèi) 0與1卡片放首位，可以組成不同三位數(shù)有 (個(gè)); 第二類(lèi) 0與1卡片不放首位，可以組成不同三位數(shù)有 (個(gè)) 故共有不同三位數(shù) 48+384432(個(gè)） 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 從集合0，1，2，3，5，7，11中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_條(用數(shù)值表

7、示) 2 圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)(n1)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi) 3 某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，有5次出牌機(jī)會(huì)，每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a、b、c，在集合3，2，1，0，1，2，3，4中選取3個(gè)不同的值，則可確定坐標(biāo)原點(diǎn)在拋物線內(nèi)部的拋物線多少條？5有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù) (1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置 (2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊 (3)全體排成一行，其中男生必須排在一起 (4)全體排

8、成一行，男、女各不相鄰 (5)全體排成一行，男生不能排在一起 (6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變 (7)排成前后二排，前排3人，后排4人 (8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人 6 20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，求不同的放法種數(shù) 7 用五種不同的顏色，給圖中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相鄰部分涂不同色，則涂色的方法共有幾種？8 甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值兩天班，若甲不值周一、乙不值周六，則可排出不同的值班表數(shù)為多少？參考答案 解析 因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)，所以C=0，從1，2，

9、3，5，7，11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A、B兩數(shù)的順序不同，表示的直線不同，所以直線的條數(shù)為A=30 答案 302 解析 2n個(gè)等分點(diǎn)可作出n條直徑，從中任選一條直徑共有C種方法；再?gòu)囊韵碌?2n2)個(gè)等分點(diǎn)中任選一個(gè)點(diǎn)，共有C種方法，根據(jù)乘法原理 直角三角形的個(gè)數(shù)為 CC=2n(n1)個(gè) 答案 2n(n1)3 解 出牌的方法可分為以下幾類(lèi) (1)5張牌全部分開(kāi)出，有A種方法；(2)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；(3)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有CA種方法；(5)2張2分開(kāi)出，3張A一起出，有A種方法；(6)2張2分開(kāi)出，3張A分兩次

10、出，有CA種方法 因此，共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860種 4 解 由圖形特征分析，a0,開(kāi)口向上，坐標(biāo)原點(diǎn)在內(nèi)部f(0)=c0;a0,開(kāi)口向下，原點(diǎn)在內(nèi)部f(0)=c0,所以對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c來(lái)講，原點(diǎn)在其內(nèi)部af(0)=ac0,則確定拋物線時(shí)，可先定一正一負(fù)的a和c，再確定b,故滿足題設(shè)的拋物線共有CCAA=144條 5 解 (1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲左、右、中共三個(gè)位置可供甲選擇 有A種，其余6人全排列，有A種 由乘法原理得AA=2160種 (2)位置分析法 先排最右邊，除去甲外，有A種，余下的6個(gè)位置全排有A種，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排

11、法數(shù)AA種 則符合條件的排法共有AAAA=3720種 (3)捆綁法 將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列 再與其他元素進(jìn)行全排列 共有AA=720種 (4)插空法 先排好男生，然后將女生插入其中的四個(gè)空位，共有AA=144種 (5)插空法 先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440種 (6)定序排列 第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N，第二步，對(duì)甲、乙、丙進(jìn)行全排列，則為七個(gè)人的全排列，因此A=NA，N= 840種 (7)與無(wú)任何限制的排列相同，有A=5040種 (8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有A種，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有AA 最

12、后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可 共有AAA=720種 6 解 首先按每個(gè)盒子的編號(hào)放入1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)小球，然后將剩余的14個(gè)小球排成一排，如圖，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15個(gè)空檔，其中“O”表示小球，“|”表示空檔 將求小球裝入盒中的方案數(shù)，可轉(zhuǎn)化為將三個(gè)小盒插入15個(gè)空檔的排列數(shù) 對(duì)應(yīng)關(guān)系是 以插入兩個(gè)空檔的小盒之間的“O”個(gè)數(shù)，表示右側(cè)空檔上的小盒所裝有小球數(shù) 最左側(cè)的空檔可以同時(shí)插入兩個(gè)小盒 而其余空檔只可插入一個(gè)小盒，最右側(cè)空檔必插入小盒，于是，若有兩個(gè)小盒插入最左側(cè)空檔，有C種；若恰有一個(gè)小盒插入最左側(cè)空檔，有種；若沒(méi)有小盒插入最左側(cè)空檔，有C種 由加法原理，有N=120種排列方案，即有120種放法 7 解 按排列中相鄰問(wèn)題處理 (1)(4)或(2)(4) 可以涂相同的顏色 分類(lèi) 若(1)(4)同色，有A種，若(2)(4)同色，有A種，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A種 由加法原理，共有N=2A+A=240種 8