指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)講義

1、第三章、基本初等函數(shù)（I）第一節(jié)、指數(shù)函數(shù)一、實(shí)數(shù)指數(shù)鬲及其運(yùn)算1、指數(shù)概念：，即n個(gè)。的乘積，叫做”的n次舞，“叫做舞的底數(shù)，n叫做事的指數(shù)。2、基本公式：嚴(yán)"；;_ =""-"（加>小。0）； aabyn = a,nbm ； a° = 1（。¥ 0）；。一"=（H 0, e 乂）；1tnj加=曬1>U）； / =（我用=47rm>0,jeN.,且竺為既約分?jǐn)?shù)）； nm a = ；y(a>°，? eN4,且上為既約分?jǐn)?shù)). 一na91例1、計(jì)算(1) 正正(2) (0.2)-2 x(0.0

2、64)5xJx(")T(4) (X)3-()°x(-)-327b62a2 3a a(5) da, -2a + a'(0VaVl) 3、方根的概念：如果存在實(shí)數(shù)X,使得x" = aa e Re>1e wN.）,則x叫做a的n次方根。求a的n次方根, 叫做把“開(kāi)n次方，稱(chēng)作開(kāi)方運(yùn)算。正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，分別表示為萬(wàn)和-M7 （a>0,n為偶數(shù)）；負(fù)數(shù)的偶次方根在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在：正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，都表示為（n為奇數(shù)）:正數(shù)a的正n次方根叫做a的n次算術(shù)根；當(dāng)W有意義的時(shí)候，而叫做根式，n叫做根指

3、數(shù)。例2、求定義域和值域(1)，= 2、"(2) y = 2x+3(3) y = VF(4) y = >-2x三、指數(shù)函數(shù)應(yīng)用1、圖像變換：(1)平移：“左加右減，上加下減”(2)對(duì)稱(chēng)：)，=/(x)與y = /(-x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)：),=/(a)與y = -fx的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；>'=/'")與)，= /(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：丁 = /(國(guó))的圖像是對(duì)于y = /(x)的圖像，保留y軸右邊的圖像，y軸右邊的圖像對(duì)稱(chēng) 到y(tǒng)軸左邊；y=|/(x)|的圖像是對(duì)于y = /(x)的圖像，保留X軸上方的圖像，X軸下方的圖像對(duì)稱(chēng) 至IJ X軸上

4、方。2、比較大?。海?）底數(shù)相同，指數(shù)不同，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較：（2）底數(shù)不同，指數(shù)相同，根據(jù)函數(shù)的圖像比較；（3）底數(shù)不同，指數(shù)也不同，通過(guò)中間值比較；例3、比較大小（1） 2.3"與2.3b“（2） 0.1旬與0.產(chǎn)2孑,2”,3"（手,2：（_$3,（44 a（5）已知（產(chǎn)（產(chǎn)，比較a.b的大小3、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)：兩種復(fù)合形式：y = afxa>a * 1）和 y = f（ax）（a>O,a W 1）1 、例4、討論/（幻=（丁口的單調(diào)性，并求值域。1例5、設(shè)0<x<2,求函數(shù)y = 4'W3.2'+5的最大值和最小值。第二節(jié)

5、、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一、對(duì)數(shù)1、對(duì)數(shù)的概念：對(duì)于指數(shù)函數(shù)丁 = 4、（加>0,且。工0）,實(shí)數(shù)集R內(nèi)的任意X,在正實(shí)數(shù)集內(nèi)，都 有唯一確定的y與它對(duì)應(yīng)：反之，對(duì)于正實(shí)數(shù)集內(nèi)的一個(gè)確定的y,在R內(nèi)也都有唯一的X與它對(duì) 應(yīng)。對(duì)于事指數(shù)x,我們也稱(chēng)之為以“為底y的對(duì)數(shù)。例1、（1） 5? =25,我們稱(chēng)2是以5為底,25的對(duì)數(shù);-1 111（2） 4 2=-.我們稱(chēng)一一是以4為底，一的對(duì)數(shù)；222（3） 3" = ,我們稱(chēng)-1是以3為底，1的對(duì)數(shù)。33一般地，對(duì)于指數(shù)式d= N,我們把“以為底N的對(duì)數(shù)”記作log°N ,即 8=log。N（a>0,且。工1）,其中，“叫做

6、對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。2、對(duì)數(shù)的性質(zhì)：對(duì)于對(duì)數(shù)1。8“"(”>0,且工1),具有下列性質(zhì)：(1) i=N,(2) 0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，即N>0；(3) 1的對(duì)數(shù)為0,即10g.i = 0：(4)底的對(duì)數(shù)等于1,即log/，= l。3、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：(1)常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)，就叫做常用對(duì)數(shù)，loggN記作IgN。例 2、(1) lgl00 = 2(2) 1g0.01=-2(2)自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)e=2.71828為底的對(duì)數(shù)，叫做自然對(duì)數(shù)。log, N通常記作In N .例 3、(1) In/=2(2) In-2 = -2(3) 0萬(wàn)二幾4、運(yùn)算公式：(1) o

7、ga(MN) = logfl M + logfl N ,log. (MM 2) = log. N + logfl N?+、，+ log. Nk ：M bga = = 10g“M70gaN： N(3) log.M" = alogfl M :log N(4) logN = e logf例4、計(jì)算化簡(jiǎn)咄6*5產(chǎn)4綱”)log 2 3二、對(duì)數(shù)函數(shù)1、定義：形如)，=1。8i(4>0,。工1)的函數(shù)叫對(duì)數(shù)函數(shù)。2、性質(zhì)：3、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)比較對(duì)數(shù)函數(shù))，= log2x和指數(shù)函數(shù))'=2'以及y = logX和y = d)'的圖像，如下72(2)當(dāng)一

8、個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新函數(shù)的自變量，而把這個(gè) 函數(shù)的自變量作為新函數(shù)的因變量，我們稱(chēng)原函數(shù)和新函數(shù)互為反函數(shù)。圖像表現(xiàn)為關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)。函數(shù)y = /(x)的反函數(shù)通常表示為y = rx) o例5、求函數(shù)y =一2和函數(shù)y+ 2(x<0)的反函數(shù)。三、對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用1、定義域、值域問(wèn)題：(i)對(duì)于y = logjg(x)，確定其定義域,需注意:心0,且 啟1； ©g(x)>0：值域的確定需根據(jù)定義域來(lái)判斷。(2)對(duì)于y = logg(x),定義域?yàn)镽 ,則g(x) >0恒成立：值域?yàn)镽,則g (x)可以取到 (0, +8)上的所有數(shù)

9、, 例6、判斷定義域(a>0,且* 1)<4)< = >/1叫(4工-3)(1) y = ogax2 (2) V = logfl(9-x2) (3) y= lg(x + l)-3例 7、已知/(x) = lg(aF+2x + l),(1)若f(x)的定義域?yàn)镽,求a的范圍(2)若f(x)的值域?yàn)镽,求a的范圍 2、單調(diào)性、比較大小對(duì)于函數(shù)y = log0/(x),要確定其單調(diào)性，首先確定0<aVl還是a>l,再確定f(x)的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)的符合法則確定y = log. /(x)的單調(diào)性。利用單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)區(qū)間，比較函數(shù)的大小。例8、比較大小(1) I

10、og6 7 , log7 6(2) log3 n , log2 0.8(3) log53, log63 , log73(4) l.l09 , log, jO.9, log070.8例9、已知函數(shù)/(x) = log2(3x22x l),試確定f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。例10、已知/(x) = log式V ax 在區(qū)間(-8, -1 )上是增函數(shù)，求a的范惘。 72第三節(jié)、黑函數(shù)一、定義：形如)，=產(chǎn)(。£凡。為常數(shù))的函數(shù)，叫做幕函數(shù)。二、圖像及性質(zhì)：(1)所有事函數(shù)在(0, +8)都有意義，且圖像都經(jīng)過(guò)(1,1)點(diǎn)；(2)如果a>0,圖像過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間0,+ 8)上是增函數(shù)，在第一象限內(nèi)，0<a<l時(shí)，圖像上凸，在第一象限內(nèi)，a>l時(shí)，圖像下凹；(3)如果aVO,基函數(shù)在(0, +8)是減函數(shù),在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖像在y軸右方無(wú)限逼近y軸，當(dāng)x趨近+8時(shí)，圖像在x軸上方無(wú)限逼近于x軸，過(guò)(1,1)點(diǎn)后，卜1越大，圖像下落速度越快。例1、比較大小(1) (4+1產(chǎn)與戶(