微分中值定理和不等式的證明

1、淮北師范大學(xué)2013屆學(xué)士學(xué)位論文微分中值定理和不等式的證明學(xué)院、研究專業(yè)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)方向函數(shù)論學(xué)生姓名謝晨西學(xué)號20091101169指導(dǎo)教師姓名卓澤朋指導(dǎo)教師職稱副教授2013年 4月20日微分中值定理及不等式的證明謝晨西（ 淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，淮北， 235000）摘要 微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中具有重要作用 , 不等式在初等數(shù)學(xué)中是最基本 的內(nèi)容之一 , 微分中值定理主要包括： 拉格朗日中值定理， 羅爾中值定理 , 以及柯 西中值定理 . 本文采用舉例的方式歸納了微分中值定理在不等式證明中的幾種常 見方法和技巧，并對中值定理進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐茝V ,同時結(jié)合幾個常見的實例

2、論述 了羅爾中值定理 ,拉格朗日中值定理在證明不等式面的應(yīng)用 , 從而加深對兩個定 理的理解 , 總結(jié)了微分中值定理在不等式證明中的基本思想和方法 .關(guān)鍵詞 ：微分中值定理，柯西中值定理，費(fèi)馬定理，不等式Differential Mean Value Theorem and Proof of InequalityXie Chenxi( School of Mathematical science,Huaibei Normal University,Huaibei,2350000)AbstractDifferential mean value theorem plays an important

3、 role in mathematical analysis.Inequality is one of the most important elements in elementary mathematics.Differential mean value theorem include: lagrange mean value theorem, rolle theorem, cauchy mean value theorem.This article summarizes several common methods and techniques of differential mean

4、value theorem to prove inequality.Appropriate promotion differential mean value theorem.Combined with a few common examples discussed rolle theorem of lagrange mean value theorem in proving inequalities surface.So as to deepen the understanding of the two theorems,summarizethe basic method of differ

5、ential mean value theorem to prove inequalityKey words: Differential mean value theorem， Cauchy Mean Value Theorem， generalized Fermat's theorem，; inequalities目錄引言 11 預(yù)備知識 12 微分中值定理及其證明 12.1 費(fèi)馬引理 12.2 羅爾中值定理及其推廣 22.3 拉格朗日中值定理及其推廣 32.4 柯西中值定理及其推廣 32.5 泰勒中值定理 43 利用微分中值定理證明不等式 43.1 羅爾中值定理證明不等式 43.2

6、 利用拉格朗日中值定理證明不等式 53.3 利用柯西中值定理證明不等式 63.4 利用泰勒中值定理證明不等式 83.5 綜合利用微分中值定理證明不等式 10結(jié)論 11參考文獻(xiàn) 11引言在高等數(shù)學(xué)課程中羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等統(tǒng)稱為微 分中值定理，他們是微分中值學(xué)中最基本、最重要的定理為加深學(xué)生對微分中值 定理的理解.它的出現(xiàn)是一個過程，聚集了眾多數(shù)學(xué)家的研究成果.從費(fèi)馬到柯西 不斷發(fā)展，理論知識也不斷完善，成為了人們引進(jìn)微分學(xué)以后，數(shù)學(xué)研究中的重 要工具之一，而且應(yīng)用也越來越廣泛.微分中值定理在函數(shù)在某一點的局部性質(zhì)； 函數(shù)圖象的走向；曲線凹凸性的判斷；積分中值定理；級數(shù)理論

7、；等式及不等式 證明等問題的研究中也發(fā)揮著十分重要的作用.因此，微分中值定理已經(jīng)成為整 個微分學(xué)基礎(chǔ)而又舉足輕重的內(nèi)容.1 預(yù)備知識微分中值定理是一系列中值定理總稱，是研究函數(shù)的有力工具，其中最重要的內(nèi)容是拉格朗日定理，可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況 或推廣。也就是說微分中值定理包括羅爾定理、 拉格朗日中值定理、以及柯西中 值定理等基本定理在內(nèi)的定理的總稱.以下是證明微分中值定理時用到的幾個概 念.定義11(單調(diào)性)函數(shù)f (x)在定義域內(nèi),當(dāng)X, x2時，有f(Xi) f(X2)(f(Xi)f(X2)則稱f (X)單調(diào)遞增. 當(dāng)Xi X2時,有f(Xi)f(X2)(f(Xi

8、)f(X2),則稱f (X)單調(diào)遞減.定義21(保號性)若lim f(X) limg(x),則存在 0,任意X (冷 ,X XoXX)Xo),使得 f(X) g(X).定義31(最值)設(shè)f(X)在I上有定義,若存在XoI使任意x I ,f(Xo)f(x)( f(Xo)f(x),則f(Xo)稱為f(x)的最小值(最大值).Xo為最小值點(最大值點).定義4(極值)設(shè)f(x)在任意x I上有定義,若存在Xo I,o,任意x(Xo,Xo),都有 f (x)f(Xo)( f(x)f (Xo)，貝Uf(Xo)稱為 f (x)的一個極小值(極大值),Xo稱為極小值點(極大值點).2微分中值定理及其證明2.

9、1費(fèi)馬引理1定理1 2 設(shè)函數(shù)f(X)在點X的某鄰域內(nèi)有定義,且在點X。可導(dǎo)，若X。為f的 極值點，則必有f '(Xo)0費(fèi)馬定理的幾何意義：如果將函數(shù)f(X)的曲線置于直角坐標(biāo)系 XOY,則費(fèi) 馬定理具有幾何意義表示若在曲線 y f(x)上有一點(x0,f(X)存在切線,且在 X)在f(x)取得極值.則這一點處的切線必平行于 X軸.2.2 羅爾中值定理及其推廣定理23如果函數(shù)f(x)滿足：(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3) 在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a) f(b)，那么在內(nèi)至少有一點使得f ( ) 0羅爾定理的幾何意義：若f(x)滿足羅爾定理的條件,則在曲線

10、y f(x)上至 少存在一點P( ,f(),使得點P處的切線平行于X軸(如圖),其中 A(a,f(a), B(b, f(b)證明因為a b,且f (b) f (a).(1) 若f(x) f(b) f(a)為常數(shù),則必有f(x) 0，所以,存在 (a,b),使得f ( )0;(2) 若f(x)不是常數(shù),則f(x)非單調(diào),又有f(x)在a,b上連續(xù)在a,b內(nèi) 可導(dǎo),根據(jù)引理1,存在 (a,b),使得f ( ) 0.證畢.定理3 3 設(shè)f (x)在a,b內(nèi)可導(dǎo)，且lim f (x) lim f (x) A,其中a ,x ax b則存在 (a,b)使得f()0.2.3 拉格朗日中值定理及其推廣定理4

11、4如果函數(shù)f(x)滿足(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一點 (a,b)使等式f(b) f(a)b a證法利用羅爾中值定理F(x) f(x) f(a) 羋 血(x a).b a定理55(推廣一)設(shè)f(x),g(x),h(x)在a,b上連續(xù),在a,b內(nèi)可導(dǎo),則存在(a,b)使得f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)f ()g ()h()0.定理66(推廣二)若f(x)在有限開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo),且f(a 0)與f(b 0)存在,則至少存在一點(a,b)使得f (b 0) f (a 0)2.4 柯西中值定理及其推廣定理7 7 設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足

12、:(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù);(2)在開區(qū)間 a,b內(nèi)可導(dǎo),且g (x) 0，則至少存在一點(a, b)使得f ( ) f(b) f(a) g ( ) g(b) g(a)'定理87(洛必達(dá)法則一)若函數(shù)f(x)與(x)滿足下列條件：0(1)在a的某去心領(lǐng)域U(a)可導(dǎo)，且'(x)0 ；lim f(x) 0 與 lim (x)0 ;(2) x ax alim IM l.(3) x a (x)則 lim型 limiMl.X a (x)X a (x)證法證明洛必達(dá)法則要找到兩個函數(shù)之比與這兩個函數(shù)的倒數(shù)之比之間 的聯(lián)系.柯西中值定理正是實現(xiàn)這種聯(lián)系的紐帶為了使函數(shù)f(x)與(X)在a

13、滿 足柯西中值定理的條件，將函數(shù)f(x)與(x)在a作連續(xù)開拓.這不影響定理的證 明，因為討論函數(shù) 空在a的極限與函數(shù)f(x)與(x)在a的函數(shù)值無關(guān).2.5泰勒中值定理定理98立(x)若函數(shù)f X在x的某鄰域U Xo內(nèi)存在n階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域成7Rn Xo2!f xo f xo xxofXo2Xo n!nXo 尺X其中pn xf n 1 Tnx Xo G x G . n!G稱為f X在Xo的n次泰勒多項式，RnRn x稱為n次泰勒多項式的余項.利用微分中值定理證明不等式3.1 羅爾中值定理證明不等式羅爾中值定理的幾何意義：在滿足定理條件下，在曲線y f(x)上必有一點， 使得過該點P( ,f

14、()的切線平行于x軸.在一般情況下，利用羅爾中值定理很容易證明關(guān)于方程的根的問題，但是僅用羅爾中值定理卻很難證明不等式，所以在利用羅爾中值定理證明時要綜合利用 其他的微分中值定理.X例1 ( 1)如果X 0,試證ln(1 X) x;1 x(2)求證: arctg arctg證(1)令 f (x) ln(1 x), f(x)在區(qū)間 0,x (x 0)上連續(xù),在 0,x (x 0)內(nèi)可導(dǎo),應(yīng)用拉格朗日中值定理,則有l(wèi)n(1 x) ln(1) ,(0, x).由于在閉區(qū)間0,x上,有XX1 X 1X,所以1Xxln(1 x) x (x 0)(2)當(dāng)時,顯然等號成立當(dāng)時，不妨設(shè).設(shè) f (x)arct

15、gx,x,J由拉格朗日中值定理得,arCtgarCtg112,(,).則有arctgarctg1 2()所以arctg arctg112()3.2利用拉格朗日中值定理證明不等式拉格朗日中值定理的幾何意義：在滿足定理條件下，在曲線y f (x)上必有 一點P( , f (),使得過該點的切線平行于曲線兩端點的連線(a, f(a) , (b, f(b)兩點的弦我們在證明中引入的輔助函數(shù) F(x) f(x) f (a)丄©(x a),b a正是曲線yf (x)與弦線之差.拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣,當(dāng)f(a) f (b)時，本定理即為羅爾中值定理的結(jié)論，這表明羅爾中值定理是朗格朗

16、日定理的一個特殊情形 y f(x).拉格朗日中值定理的其它表示形式：(1) f(b) f(a) f ( )(b a), a b;(2) f(b) f(a) f (a (b a)(b a)(01)；(3) f (a h) f (a) f (a h),01.值得注意的是：拉格朗日中值定理無論對于 a b,還是a b都成立.而 則 是介于a與b之間的某一定數(shù),而(2),( 3)兩式的特點,在于把中值點 表示成了 a (b a),使得不論a , b為何值,總可為小于1的某一整數(shù).例2 當(dāng)x 0時，函數(shù)f (x)在其定義域上可導(dǎo)，且f (x)為不增函數(shù),nnf (x)0 , x 0,i 1,2,., n

17、,求證 f( n) f(N).i 1i 1證用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n 1時,顯然不等式成立.當(dāng)n 2時，若,x2均為0 ,或者一個為0時,當(dāng)一個為0時，顯然有f(X1 X2) f(xj f(X2).設(shè)0X2均大于0 ,不妨設(shè)N X2,在0, M應(yīng)用拉格朗日中值定理可得：f(X1)f(xj f(0)x1x1 0f ( 1), 10, 1在X2,Xi X2上再次利用拉格朗日中值定理可得f(Xi X2) f(X2)Xif(Xi X2) f(X2)f ( 2), 2X2, XiX2所以f(X1 X2) f (X2)f(X1)X1X1 '即f (X1 X2)f (X1 X2)f(X2).假設(shè)當(dāng)kkn k

18、時不等式成立，即f( xji 1i 1f(Xi).k 1取 f (Xi )kf ( XXk 1),顯然Xk 10的情況不證而明,所以只考慮XkXiX2X2顯然12,由題設(shè)知，f ( 1) f ( 2).i 1i 10的13k情況.取u X，由前面已證的結(jié)論有i 1f (u Xk 1) f(u) f (Xk 1),k 1k 1再用歸納假設(shè)可得f( Xi)f(Xi),i 1i 1即當(dāng)以上例子是利用拉格朗日中值定理來證明不等式，有些不等式利用此定nf ( X).i 1n理時,方法要靈活些n k 1時結(jié)論成立.所以f (Xi)i 13.3利用柯西中值定理證明不等式柯西中值定理是研究兩個函數(shù) f(X),

19、 g(X)的變量關(guān)系的中值定理，當(dāng)一個函 數(shù)(不妨設(shè)此函數(shù)為g(X)取作自變量自身時它就是拉格朗日中值定理，所以用拉格朗日中值定理能證明的不等式一定能用柯西中值定理來證明，反之則不然.下面舉例來說明：對例1用柯西中值定理證明，這里僅用第一個小題來說明，其證法如下：證(1)令 f (X) ln(1 X) , g(X) X . f (X), g(X)在區(qū)間 0,x (x 0)上連續(xù)，在0,x (X 0)內(nèi)可導(dǎo)，且g (x)在0,x (X 0)內(nèi)每一點都不為零，那么由柯西中值定理可得：ln(1 x) In (1)1心、,(0, X)(1 X) 11則有l(wèi)n(1 x) In(1) ,(0, x).1F

20、面與例1中解法同，這里就不再贅述了 .例3 ( 1)設(shè)X 0 ,對01的情況，求證：x X 1(2)設(shè) x 0，求證：sinxeX 1.證明(1)設(shè) f (t) x , g(t) X.當(dāng)x 1時結(jié)論顯然成立.當(dāng)x 1時,取x,1或1,x , f(x),g(x)在閉區(qū)間x,1或1,x上連續(xù),在開區(qū)間x,1或1,x可導(dǎo),且g (x)在內(nèi)x,1或1,x每一點均不為零,由柯西中值定理可得：即所以Xf(x)f(1)f(),(x,1)或(1,x)g(x)g(1)g()x1 1 1xx 1得證.(2)設(shè) f(t) sin t, g(t) et, t 0,xf(x), g(x)在閉區(qū)間0,x上連續(xù)，在開區(qū)間0

21、,x內(nèi)可導(dǎo),且g(x)在0,x內(nèi)每一點均不為零,那么由柯西中值定理可因為ex 10, e 10,所以即注例定理證明.例4f (x)；(2) f (a)使得f(x) f(0)g(x) g(0)sin xet 1si nxsi nxf () g() cosJecos1.0,x .0,x .3中的兩個不等式能用柯西中值定理來證明，但不能用拉格朗日中值如果函數(shù)f (x)滿足兩個條件:(1)在閉區(qū)間a,b上有二階導(dǎo)數(shù)f (b)0.試證明：在開區(qū)間a,b內(nèi)至少存在一點c,I4f (c)|_ |f(b) f(a).(b a)證令k 乙(b a)我們不妨假設(shè)f (x) k , a x b .對于構(gòu)造的輔助函數(shù)

22、F(x) f (x)f(x0)f (x°)(x 怡)及 G(x) (x x)2(其中x0是a,b中任意固定的一點),兩次利用柯西中值定理，可得:f (b) f (a).在此我們利用用反證法來證明本題，f(x)f(x。)其中介于xq與x之間(即f (Xo)(X xq)x或x1 2-(x xq) f ()2x0), x為a,b上任意點，特別地,在上式中取x0 a, X旦-,并利用已知條件f(a) 0,則有:2f(f (a)(b a)28(cj,其中g(shù)滿足a ci于是f (電上)f(a) (b a) k .2 8同理再取x b, x ¥，并利用已知條件f (b)0,則得：2f(S

23、) f(b) (b a) f (C2),其中 C2 滿足皂上 C2 b.2 8 22于是：f(b) f(j)g_k.2 8因此,a br a b ,(ba)2上上f(b) f(a)f(b) f()f() f(a)'丿 k f(b) f(a)224這是不可能的.所以在區(qū)間a,b內(nèi)至少存在一點c, 使得lf(c)占f(b) f(a)3.4 利用泰勒中值定理證明不等式泰勒公式的余項大體分兩種：佩亞諾型余項，拉格朗日型余項.與帶拉格朗日 型余項的泰勒公式相比，帶佩亞諾型余項的泰勒公式對函數(shù)f (x)的假設(shè)條件較少，只需函數(shù)f(x)在Xo處n階可導(dǎo),不需要n 1階可導(dǎo),也不需要在X0的鄰域內(nèi) 存

24、在n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，因此應(yīng)用范圍較廣.但是在證明不等式時，精確度卻不如帶拉 格朗日型余項的泰勒公式好.利用此原理可以證明一般的不等式，積分不等式，估值不等式等多種不等式 這種方法的用法非常廣泛.證明方法：(1)根據(jù)已知條件，圍繞證明目標(biāo)，尋取適當(dāng)?shù)狞c將函數(shù)在該點展成泰勒展 式.根據(jù)已知條件，向著有利于證明不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當(dāng)?shù)奶?理,直到可以結(jié)合已知條件證出不等式為止.下面舉例來說明：例5當(dāng)0 x 2時,求證:k0(2k 1)!2n1( 1)kx2ksinx 2n ( 1)kx2k分析 由于朗格朗日中值定理很容易證明x k 0 (2 ksin x 1 ,1)!而利用泰勒中值定理時，當(dāng)n

25、1時,不等式為:1x2 xsin x3! xx2x43!5!,隨著n的增大，不等式的精顯然第二個比前一個的不等式的精確度高得多確度會大幅度地提高，所以我們在做題過程中，按題目的要求來選擇適當(dāng)?shù)姆椒?來證明不同的不等式.證 令f (x) si nx,那么函數(shù)f(x)在x0 0點展開前2n項的泰勒公式,余項取拉格朗形式，那么有:sin4n 3 xsin x2nk 2k 1(1) x0(2 k因為0所以有Rtn 3(X)(4n 3)!x 4nxsin(R")3(4n 3)!2 4n 3xcos 4n 3x (4n 3)!x ,所以cos20 ,從而 R2n 1(x) 0 ,sin xsin

26、 x2n ( 1)k x2k 1 k 0 (2k1)!2n ( 1)kx2k k 0(2k1)!sin(同理，因為R2n(x)(4n 1)!另外,在遇到高階導(dǎo)數(shù)的不等式，4.我們也可以用泰勒中值定理來證明例4的另一種證法：由題設(shè)條件，應(yīng)用泰勒展開式有：f(U f(a)2f(Jb2其中1介于a與乞上之間，2上述兩式相減，且有f (a)0,所以左端的不等號也成立一般都首先考慮泰勒中值定理像之前的例 ,下面具體來說明：)f(b)b a f (a) 2f (b)-2-f (2if(J(j,22)(專幾2與b之間.2f (b)0,得：2介于-f(b)f(b)1 a bf(a) (2 2(a b)22)f

27、 (2)f ( 1),f (a)令 maxf ( 2), f ( 1) f (),f(a) f(b)8(a, b),則有 (a b)2 f44f ( 2)f ( 1).(),(a,b).(b a)2f(b) f(a).例6設(shè)函數(shù)求證：對任意的x證對任意的f (x)在 a,b 上二階可導(dǎo)，且 f (x)0, f (x)0 .厶.2a,b ,有 f (x)b aa,b ,將 f (x)在 t 點展開(t a,b ).b a®.f(x) f(t) f(t)(x t) OX 其中介于 x 與t 之間)注意到f (x)0,所以有 f(x) f (t) f (x t).對上述不等式的兩邊對t積分

28、,得：bbbf (x)dtf(t)dtf (t)(x t)dtaaabbb(b a)f(x) a f(t)dt f(x)(x t)a a f (t)dtb2 f (t)dt f (b)(x b) f (a)(x a) a因為f (x)02bf(b)(x b) f (a)(x a) 0.所以 f (x) f (t)b a a3.5綜合利用微分中值定理證明不等式禾用拉格朗日中值定理能夠很方便的判斷出函數(shù)的單調(diào)性，其方法是：如果函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù),在a,b內(nèi)可導(dǎo),則有：(1) 如果在在a,b內(nèi)函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)0,則函數(shù)f (x)在a,b上單調(diào)增加；(2) 如果在在a,b內(nèi)函數(shù)

29、f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)0 ,則函數(shù)f (x)在a,b上單調(diào)減少.另外,函數(shù)f(x)在a,b內(nèi)除有個別點外,仍有f (x)0(或f (x)0),則函數(shù)f (x)在a, b上單調(diào)增加(或減少)的,即連續(xù)函數(shù)在個別點處無導(dǎo)數(shù)并不影響 函數(shù)的單調(diào)性.再利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象上峰值點與各極值點的性質(zhì)，便可以方便地求出函數(shù)的極值，從而證明出不等式.其方法為：確定函數(shù)f (x)的定義域，然后求出定義域內(nèi)的所有駐點，并找出 f(x)連續(xù)但f (x)不存在的所有點，討論所有駐點和不可導(dǎo)點左右兩側(cè)附近 f (x) 的符號變化情況，確定函數(shù)f(x)的極值點，并求出相應(yīng)的極大值點與極小值點， 從而進(jìn)一步證明不等式.215例7求證(1)當(dāng)x0時，證明ln(1 x)2)當(dāng)x(0,-)時,證明tan xx2成立.2x成立. sin x證(1)令 f(X)ln(1x),因為函數(shù)f (x)在0,)上連續(xù),在(0,)內(nèi)可導(dǎo),且當(dāng) x 0 時，f (x)0,所以當(dāng)0時，函數(shù)f (x)是單調(diào)遞增的.故當(dāng)x 0f (x)f(0)從而ln(1x) x0,即 f (x)0 ,2成立.1cosx因為x(0,)時，cosx21cosx2 , tanx x,所以 f (x)0.即 f (x)在 x%)(2)因為 x (0,-),所以 sinx 0,心