離散型隨機變量及其分布列均值與方差

1、第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差20132017年高考真JS選粹題組求離散型隨機變量的分布列、均值與方差i1. 2017 浙江,8,4 分已知隨機變量 &滿足 P( &= 1)=pi,P( &=0)= 1-pi,i= 1,2若 0<pi<p2<2，則A.E( &)<E(幼D(3)<D(C.E(切>E(,D( 8)<D( )B.E( 8)<E(站D($)>D(切D.E( 8)>E(站D( $)>D(切2. 2013湖北,9,5分理如圖13-3-1,將一個各面都涂了油漆的正方體 ，切割為12

2、5個同樣大小 的小正方體經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為 X,則X的均值E(X)=A.126125B5亠168C.1257圖 13-3-1第6頁共8頁3.2014浙江,12,4分理隨機變量1E的取值為 0,1,2若 P(E=)=5,E(3 = 1，則 D(滬4.2016山東,19,12分理甲、乙兩人組成星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則 星隊”得3分;如果只有一人猜對，則 星隊”得1分;如果兩人都沒猜對，則 星隊”得o分.已知甲每輪猜對的概率是 3,乙每輪猜對的概率是每輪43活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響假

3、設(shè) 星隊”參加兩輪活動，求：(I )星隊”至少猜對3個成語的概率；(n )星隊”兩輪得分之和 X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.20162018年模擬限時演練A組基礎(chǔ)題1. 2018惠州市二調(diào)，19某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，以班級為單位組織學(xué)生開展古詩詞背誦比賽，隨機抽取一首，背誦正確加10分，背誦錯誤減10分，且背誦結(jié)果只有正確”和錯2誤”兩種其中某班級學(xué)生背誦正確的概率p=3,記該班級完成n首背誦后的總得分為 Sn.(1) 求 S6=20 且 S> 0= 1,2,3)的概率；記E =IS，求E的分布列及數(shù)學(xué)期望2. 2018廣東七校第一次聯(lián)考，19某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周

4、一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘，下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：周無雨無雨有雨有雨周有雨有雨二無雨無雨收20萬15萬10萬7.5萬益元元元元若基地額外聘請工人，可在下周一當天完成全部采摘任務(wù)無雨時收益為20萬元;有雨時，收益為10萬元額外聘請工人的成本為 a萬元已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.(1) 若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益；(2) 該基地是否應(yīng)該額外聘請工人，請說明理由3. 2017長沙市五月模擬，18某班級50名學(xué)生的考試分數(shù)x分布在區(qū)間50,100)內(nèi)，設(shè)考

5、試分?-0.4,10?W ?< 10(?+ 1),?= 5,6,7,一數(shù)x的分布頻率是f(x)且f(x)=1(?考試成績采用"汾-5 + ?10?< ?< 10(?+ 1),?= 8,9.制”規(guī)定:考試分數(shù)在50,60)內(nèi)的成績記為1分，考試分數(shù)在60,70)內(nèi)的成績記為2分,考試分 數(shù)在70,80)內(nèi)的成績記為3分，考試分數(shù)在80,90)內(nèi)的成績記為4分，考試分數(shù)在90,100)內(nèi) 的成績記為5分在50名學(xué)生中用分層抽樣的方法，從成績?yōu)?分,2分及3分的學(xué)生中隨機抽出6人,再從這6人中隨機抽出3人，記這3人的成績之和為E將頻率視為概率)(1) 求b的值,并估計該班

6、的考試平均分數(shù)；(2) 求 P(E=)；(3) 求E的分布列和數(shù)學(xué)期望B組提升題4. 2018南昌市調(diào)考,18微信已成為人們常用的社交軟件 ，微信運動”是微信里由騰訊開發(fā)的 一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾號 手機用戶可以通過關(guān)注 微信運動”公眾號查看自己每天行走的步數(shù)，同時也可以和好友進行運動量的PK或點贊現(xiàn)從小明的微信好友中隨機選取40人(男、女各20人)，記錄他們某天行走的步數(shù)2 001 ，并將數(shù)據(jù)整理如下表：步數(shù)05 0018 001>10 000性別2 0005 0008 00010 000男12476女03962(1)若某人一天行走的步數(shù)超過8 000步被評定為 積極型”否則被評定為

7、懈怠型”根據(jù)題意完成下面的2X2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有 90%的把握認為 評定類型"與 性別"有關(guān)?積極型懈怠型總計男女總計(2)在小明這40位好友中，從該天行走的步數(shù)超過10 000步的人中隨機抽取3人，設(shè)抽取的女性有X人，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).附:K2=?= 一(?+?+?+?+?P(K2 沫0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.8285. 2017合肥市三模,18某供貨商計劃將某種大型節(jié)日商品分別配送到甲、乙兩地銷售據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲、乙兩地該商品需求量的頻率分布表如下：甲地需求量頻率分布表需求

8、量456頻率乙地需求量頻率分布表需求量345頻率以兩地需求量的頻率作為兩地需求量的概率，保證兩地不缺貨(配送量帶求量)(1)若此供貨商計劃將10件該商品全部配送至甲、乙兩地 的概率均大于0.7，問該商品的配送方案有哪幾種？(2)已知甲、乙兩地該商品的銷售相互獨立，該商品售出，供貨商獲利2萬元/件;未售出的，供貨商虧損1萬元/件.在(1)的前提下，若僅考慮此供貨商所獲凈利潤，試確定最佳配送方案6. 2017鄭州市三模，18為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象(能力指標X)、推理(能力指標y)、建模(能力指標z)的相關(guān)性，并將它們各自量化為1,2,3三個等級，再用綜

9、合指標w=x+y+z 的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：若w>7則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若5* 6則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為，調(diào)查人員隨機訪A(2,3,2)二級;若3WwW繃U數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級.為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 問了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果：學(xué)生編號A1A2A3A4(x,y,z)(2,2,3)(3,2,2)(3,3,3)(1,2,2)學(xué)生編號A6aA8aA10(x,y,z)(2,3,3)(2,2,2)(2,3,3)(2,1,1)(2,2,2)(1)在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標相同的概率；(2)從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標為a，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等

10、級不是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標為b,記隨機變量X=a-b,求隨機變量X的分布列及其數(shù)學(xué) 期望答案2013 2017年島矯典題逸粹11.A 根據(jù)題意，得 E( &)=pi,D( &)=pi(1-pi),i=1,2,T 0<p1<p2<2,.E(幼<E (幼令 f(x)=x(1-x)，則1f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，所以f(p1)<f(p2),即D( )<D(幻,故選A.2.B由題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3.8個頂點處的8個小正方體涂有3 面，所以 P(X= 3)=-;125 每一條棱上除了兩個頂點處的小正方體，還剩下3個

11、,一共有3X12= 36(個)小正方體涂有2面,所以P(X=2)=熹； 每個表面去掉四條棱上的16個小正方形，還剩下9個小正方形，因此一共有9 X6= 54(個)小正方體涂有一面54,所以P(x=1)=質(zhì). 去掉所述的小正方體，還剩下125-(8+36+54) = 27(個)內(nèi)部的小正方體的 6個面都沒27有涂油漆 所以P(X=0)=五.125故X的分布列為X 01232754368P125 125 125 125E >1Q因此E(X)=0X芮+1令+2X + 3X祈=5.故選B.由事件的獨立性與互斥性，得P(E)=P (ABCD)+P (?BCD)+P(A?QD)+P (AB?D)+P

12、 (ABC?=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(?P(B)P(C)P(D)+P(A)P(?P(C)P(D)+P(A)P(B)P(?P(D) +P(A)P(B)P(C)P(?3 23 223.所以星隊”至少猜對3個成語的概率為|3(n )由題意知，隨機變量X可能的取值為0,123,4,6. 由事件的獨立性與互斥性，得1 1P(X= 0)=4 X1 1xx=4 31144,可得隨機變量X的分布列為所以數(shù)學(xué)期望1EX= 0x144114457225144112512_ _ 1 _ 一+ 1x72+2 中+3先+4先+6迄=72512346 .31111211105P(X= 1)=2X(4 x3

13、x4 X3+4 x3x4x3)=而=72,313131121231121225P(X=2)=4 x x4 x3+4x3x4 x3+4 x2 x4 x1+KxX=3 211113 2121P(X= 3)=4 x3 x4 x3+4x3x4 這=而=石,32 31321260512,P(X=4)=2X(； x3 x4 x3+N x3x4x3)=面2016 2(朋年模擬|取時演練A組基礎(chǔ)題1.(1)當S6 = 20時,即背誦6首后，正確的有4首，錯誤的有2首.由S > 0= 1,2,3)可知,若第一首和第二首背誦正確，則其余4首可任意背誦正確2首；若第一首背誦正確，第二首背誦錯誤，第三首背誦正確

14、，則其余3首可任意背誦正確2首.則所求的概率 P= (|)2XC4(f)2X(3)2+|x? x|xCs(|)2 乂扌諾.2由題意知，E =|S的所有可能的取值為 10,30,50，又 p=-,-p( eofc 23 2361P(X= 6)=4 x3 x4 迄=而=4® 疋)2+&(3)2 圧)3=詈,P( 30)=C4(2)4x(1)1+ c5&)1 X(1)4=|0,P(三=0)=住(2)5站)0+ c5(|)0x(1)5=11, E的分布列為E103050P40301181818?第10頁共8頁1 85081403011E( E=10x8?+ 30X81+50

15、京2.(1)設(shè)下周一無雨的概率為p,由題意得p2= 0.36,解得p=0.6.基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5則P(X= 20)=0.36,P(X=15) = 0.24,P(X=10) = 0.24,P(X= 7.5)= 0.16. 基地收益X的分布列為X 201510 7.5P 0.36 0.24 0.24 0.16E(X)= 20X0.36+ 15X0.24+10X0.24+7.5 X0.16 = 14.4(萬元),基地的預(yù)期收益為 14.4萬元.(2)設(shè)基地額外聘請工人時的收益為Y萬元，則其預(yù)期收益 E(Y)=20X0.6+10 X0.4-a= 16-a(萬元),E(Y)-

16、E(X)=1.6-a(萬元),綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時，不額外聘請工人；當成本低于1.6萬元時，額外聘請工人；當成本恰為1.6萬元時,額外聘請或不聘請工人均可以.?齋-0.4,10?< ?< 10(? 1),?= 5,6,7,3. (1)因為 f(x) = ?-5+ ?10?< ?< 10(? 1),?= 8,9,56789所以(10-0.4)+ (石-0.4)+ (舌0.4) + (-5+b)+(-5+b )= 1,解得 b= 1.9.估計該班的考試平均分數(shù)為56789(亦-0.4) X55+ (10-0.4) X65+ (石-0.4) X75+ (

17、-計 1.9) X85+ (-5+ 1.9) X95= 76.由題意可知，考試成績記為1分,2分,3分,4分,5分的頻率分別是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1,按分層 抽樣的方法分別從考試成績記為1分,2分,3分的學(xué)生中抽出1人,2人,3人,再從這6人中抽出 3 人，所以 P( E7)=c3c1c+c3c2=-3-.C610由(2)知，E的所有可能取值為5,6,7,8,9,dd 1 _C10C1 3 _3 _血 3 _c3則 P仁=)=訝=云P( E=)=c廠=，P( E=石,P(三=)=肓=%尸(e=9)='c3 = 20.所以E的分布列為131E( 8 = 5 X20+ (6

18、+ 7+ 8) $+ 9 X20= 7.B組提升題4. (1)2 X2列聯(lián)表如下K2=240 X(13 X 12-7X8)20 X 20 X 21 X 192506< 2.706,積極型懈怠型總計男13720女81220總計211940沒有90%的把握認為 評定類型”與性別”有關(guān).由已知得,小明這40位好友中,該天行走的步數(shù)超過10 000步的人中男性有6人,女性有2 人，現(xiàn)從中抽取3人，抽取的女性人數(shù) X服從超幾何分布,X的所有可能取值為0,1,2,則 P(X=0) =C6 20c2c6 30c6c2 6C3=56,p(X= 1)CT=56,p(X= 2)=百=矗, x的分布列為X01

19、2P20306565656203063 E(X)=0 X56+1 x56+2x56=4.5.(1)由表格可知，當甲地不缺貨的概率大于0.7時,至少需配貨5件;乙地不缺貨的概率大于0.7時，至少需配貨4件,所以共有兩種方案：甲地配5件,乙地配5件；甲地配6件,乙地配4件.(2)方案一:當甲地配5件,乙地配5件時,記供貨商從甲地所獲利潤為X1萬元,供貨商從乙地所獲利潤為丫1萬元則X1,Y1的分布列分別為X1710P 0.50.5Y14710P0.60.3 0.1E(X1) = 7X0.5+10X0.5=8.5( 萬元),E(Y1)= 4X0.6+ 7 X0.3+ 10 X0.1 = 5.5( 萬元),所以選擇方案一時，此供貨商所獲凈利潤的期望為E(X1)+E(Y1)= 8.5+5.5=14(萬元).方案二：當甲地配6件,乙地配4件時,記供貨商從甲地所獲利潤為X2萬元，供貨商從乙地所獲利潤為丫2萬元，則X2,Y2的分布列分別為X26912P Y258P0.60.4E(X2) = 6 X0.5+ 9 X0.3+ 12X0.2= 8.1(萬元),E(Y2)=5X0.6+ 8 X0.4= 6