二項(xiàng)式定理考點(diǎn)大全詳解

1、1/ 12二項(xiàng)式定理高考知識點(diǎn)總結(jié)14若（x 2）n的展開式的常數(shù)項(xiàng)為一 20.求n.X1求(. X1 )103x)展開式中的常數(shù)項(xiàng)3.a2.已知（一X9的展開式中X3的系數(shù)為9，求常數(shù)a的值4求(.X8展開式中系數(shù)最大的項(xiàng);2/ 125 求當(dāng)(x23x 2)5的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)?6.已知(、x1)n的展開式前三項(xiàng)中的x的系數(shù)成等差數(shù)列2 Vx(1)求展開式中所有的 x 的有理項(xiàng);(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng) 7.已知二項(xiàng)式(.XA)n，5 N*)的展開式中第 5 項(xiàng)的系數(shù)與第 3 項(xiàng)的系數(shù)的比是x2(1)求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和(2 )求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)以及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)6&a

2、mp;求0.998的近似值，使誤差小于0.001;10: 1,3/ 129求證：51511能被 7 整除。10.求證:32n+2-8n-9 能被 64 整除.11 求 9192除以 100 的余數(shù).123n n n13 計(jì)算1 3Cn9Cn27 (1) 3Cn；12求證：cn+2Cn+3c2+1n= 1(2n+1 1)n 1Cn= n 1(2)4/ 1214 .求值：15、已知數(shù)列an (n 為正整數(shù))是首項(xiàng)為 ai,公比為 q 的等比數(shù)列。(3)設(shè) qz1, Sn是等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，求:16.規(guī)定cm(Xm 1，其中 x R,m 是正整數(shù)，且C01，這是組合數(shù)cmm!(n、m 是正

3、整數(shù)，且 mWn)的一種推廣.3(1)求和：a1C；0a2C；a3c2, a1c3a2CasCa4C(2)由(1)的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n 的一個結(jié)論，并加以證明S2cnS3C2S4C3(1)nSmCnn.5/ 12(1)求C15的值；6/ 123 解:c；(1)824a9 89，解得a4記第r項(xiàng)系數(shù)為Tr,設(shè)第k項(xiàng)系數(shù)最大，則有r 1 r 1又C8.2，那么有k 1 cC&.2k 1C8.2kC8c2.2k 2 k2k8乙cx設(shè) x0,當(dāng) x 為何值時，（C1）2取得最小值?（3）組合數(shù)的兩個性質(zhì);是否都能推廣到cm（xR, m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出

4、證明；若不能，則說明理由令5 -r 0,即r 6。6所以常數(shù)項(xiàng)是（1）6C；0210cmn mcncmcm1mcn 1.1 解:Tr 1GroCx)10 r(5-r62 解:Tr 12r 9x2令3r2依題意,93，即rrr r(1) C107/ 128!(k 1)!.(9K)! (K 2)!.(10K)!8!28!(K 1)!.(9 K)!K!(8 K)!1l4 解：當(dāng)x 0 時，(x 2)n=( JXX丄)r=( 1)rC；nX2n2r，令 2n 2r= 0，得：n=r,、x展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：（1）rC；n；當(dāng)x v0 時，（x同理：展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：（1）rC；n；無論哪一種情況，常

5、數(shù)項(xiàng)均為（1）rC；n.令(1) C2n= 20,得n= 3 .5 解法：（x23x 2）5（x22） 3x5,1C；（x22）5 r（3x）r，當(dāng)且僅當(dāng)r 1時,124Tr 1的展開式中才有 x 的一次項(xiàng)，此時Tr 1T2C5（x2） 3x,所以x得一次項(xiàng)為C；C：243X它的系數(shù)為C；C：243240。解法：（x23x 2）5（x 1）5（x 2）5（C5）x5C5x4Ccfx5C5x42C；25）8!解得3 k 4,系數(shù)最大的項(xiàng)為第 3 項(xiàng)T3577x和第 4 項(xiàng)T47x。其通項(xiàng)為：Tr 1=C2nCx)2nr(.1x)2n8/ 1245544故展開式中含x的項(xiàng)為C5XC52 C5X22

6、40 x，故展開式中x的系數(shù)為 240.6 解：（1）展開式前三項(xiàng)的系數(shù)分別為121口221C：1,C；1 n，C：（2）2n（n 1）.n1由題設(shè)可知：21 n（n 1）28解得：n= 8 或門=1 （舍去）.4 _ r當(dāng)“=8 時，Tr 1C；C_x)8 r(24x)r=c82rx43據(jù)題意，4 3r必為整數(shù)，從而可知r必為 4 的倍數(shù)，4而 owr 0,故有 In 1 且 E?w1.trtr 1.tL=C；2r9 r 77 _C812r 1百，9 r由-一 1，得rw3.2r.心=C；12r 12(r 1),tr 1C8r2r8 r 由2(r 1)w1,得r2.8 r57r= 2 或r=

7、 3,所求項(xiàng)分別為T37x和T47x4.7 解：（1）.第 5 項(xiàng)的系數(shù)與第 3 項(xiàng)的系數(shù)的比是 10: 1,44C2（2）210，解得 n=8C（2）21令 x=1 得到展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為（1-2）8=1展開式中第 r 項(xiàng)，第 r+1 項(xiàng)，第 r+2 項(xiàng)的系數(shù)絕對值分別為r 1nrrrr 1r 1C82,C82,C82,若第 r+1 項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大，則必須滿足:9/ 12r 1 nrr rr 1 r 1r rC82wC82并且C82wC82,解得 5Wrw6;1所以系數(shù)最大的項(xiàng)為 T7=1792 石；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=1120 x8 分析：因?yàn)?.9986=（1 0.002）

8、6，故可以用二項(xiàng)式定理展開計(jì)算。66 1 2 6解：0.998=(10.002)=16.( 0.002)15.( 0.002).( 0.002)2 2 2T3C6.( 0.002)15 ( 0.002)0.00006 0.001,10/ 1251511 7P 7Q 7(P Q)5151511能被 7 整除。0.9986=(1 0.002)61 6( 0.002)=1 0.0120.988515151151=(49 2)511051150249 250 50 51 51=C0514951C151.4950.2C251.4949.22.C5501.49.250C5511.2511=49P+2511

9、(P N)又2511(23)17117=（7+1）1710171 162151617=C17.7C17.7C17.7 .C17.7C171=7Q(QN）且第 3 項(xiàng)以后的絕對值都小于0.001， 從第3 項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì)。9 證明：11/ 1210 證明12/ 12能被 64 整除.11 分析轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式來求.解法一 9192=(100 - 9)92=10092C；2 10091 9+c22T90 92一c91 100 991+992,前面各項(xiàng)均能被 100 整除，只有末項(xiàng) 992不能被 100 整除，于是求 992除以 100 的余數(shù). 992=(10-1)92=1092C；

10、2 1091+C92 1090+c92 102c92 10+( -1)92=1092C；2 1091+C： 1090+C92 102 920+1=(1092C；2 1091+C92T090+C92 1021000)+81被 100 除的余數(shù)為 81,即 9192除以 100 的余數(shù)為 81.解法二/ 9192=(90+1)92=C02 9092+Cg2 9091+C92 902+C92 90+1由于前面各項(xiàng)均能被 100 整除，只有末尾兩項(xiàng)不能被100 整除，由于C92 90+ 仁 8281=8200+81被 100 除余 81.12 分析 2n+1=c01+cn 1+c21+cn 1+cn1

11、二右邊=(cn 1+cn 1+cn 1+cn ;)比較左、右兩邊和，只要證明1cn丄右cn 1即可.13/ 12n!(k 1)!(n k 1)!(n 1)!_1k證明n! _ 1 k!(n k l)!_n14/ 12k!(n k 1)!_帀=Cn 1+cn1+Ccn1+cn1)_(2n+1- 1)011223313解：原式 _CnCn(3)C，3)3)14 分析:注意將此式還原成二項(xiàng)展開式的結(jié)構(gòu)C：( 3)n(1 3)n( 2)n原式_ 0 _ 115 解：(1)aC2a2C2a3C2a122aq aqa1(1 q)2,玄1。3a2C3a3C3a4C3a13ai q 33 q2a1q3a1(1

12、 q)3.0+ 115/ 12（3）性質(zhì)不能推廣，例如當(dāng)x、2時，有定義，但C ；1無意義；（10 分）歸納概括的結(jié)論為:若數(shù)列 an是首項(xiàng)為aCna2Cna3Cna4Cn(1)nann 1Cna1(1 q)n, n 為整數(shù)證明:aa2Cna3Cna4Cn(1)nan 1C；農(nóng)1aCn2 2a Cn3 3Cn(n1) aen nCna1CnqC12233q Cnq Cnn(1) qncna1(1 nq)-(3) 因?yàn)镾na1naqJS3CnS4C：(1)nSn iCa1aq0Cn2a1a1q1“Cn3a1a1q2“Cn(1)nn 11a1a1qC1q1 q1 q1 qa1C0CCn C(1)乜1 qaiq0/CnqC1q2嚅q3C3(1)nqnCnaq(1 q)n.1 qq 116解：* .七 S680(4 分)CXx(x 1)(x 2)6X21(x-3) x(6 分)當(dāng)且僅當(dāng)x、2時，等號成立C；（c：）2取得最小值(8 分