幾何證明—角平分線模型(中級)

1、幾何證明一一角平分線模型（中級）【知識要點】1、角平分線：（1 ）角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等（作用：證明兩條線段相等）；（2）逆定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。（作用：證明兩角相等或一 條射線是一個角的角平分線）。2、角平分線常見用法（或輔助線作法）：垂兩邊：如圖1，已知BP平分.ABC，過點P作PA _ AB，PC _ BC，貝U PA= PC。已知BP平分.ABC ,PA/ / AC，貝U AB 二 AP ;如圖3,截兩邊：如圖2，已知BP平分 MBN，點A BM上，在BN上截取BC二BA，則.：ABP CBP。+平行線t等腰三角

2、形:角平分線三線合一（利用角平分線 +垂線t等腰三角形）ABDC如圖 5，已知 AD 平分 BAC，且 AD _ BC，貝U AB 二 AC , BD = CD。C(5)3、角平分線比例定理AB bd AB AC如圖6, AD為 ABC的角平分線，則二竺 或AC CD BD CD(6)【經(jīng)典例題】例 1、已知如圖，：ABC 中，BC 二 AC , AD 平分.CAB，若.C=90求證：AB = AC CD ；C例 2、如圖，在 Rt ABC 中，.ACB =90 , CD _ AB 于 D , AF 平分.CAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F ,且EG / AB交CB于G。試求：CF與G

3、B的大小關(guān)系如何？B已知如圖，-ABC 中，BC 二 AC，AD 平分 CAB，若.C =108，求證：A AC BD ；例4、如圖：已知I是. ABC的內(nèi)心，DI/AB交BC于點D，EI / /AC交BC于E。求證：. DIE的周長等于BC 。AD E例5、如圖：已知在 ABC中，.ABC的平分線與 ACB的外角平分線交于點 D , DE / BC，交AB于 點E，交AC于點F，求證：EF二BE - FC 。M例6、如圖，已知 ABC中.BAC =90 ：AB二AC,CD垂直于.ABC的平分線BD于D , BD交AC于E ,求證：BE =2CD ?！咎嵘?xùn)練】1、如圖，已知，ABC的周長是2

4、1,OB,OC分別平分 ABC和ACB，OD BC于D，且OD =3，求ABC的面積.2如圖， ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60.其三條角平分線交于點O,則Sa ABO : SA BCO :Sa cao=3.如圖，/ AOB=30° , OP 平分/ AOB , PC/ OB ,4 如圖，AD是厶ABC的角平分線, EDF的面積.DF丄AB，垂足為 F, DE=DG , ADG和厶AED的面積分別為 50和39,求5.已知如圖在 ABC中，/ ACB=90° , CD丄AB于D，/ A的平分線交 CD于F, BC于E,過點E作EH丄AB 于 H .求證：

5、EC=CF=EH .6已知：如圖，平行四邊形ABCD各角的平分線分別相交于點E, F, G, H，求證：四邊形 EFGH是矩形.DCBE 求證： ACD BCE ;延長BE至Q，P為BQ上一點，連接 CP、8如圖，已知在 ABC中, 個距離是多少？7如圖，等邊 ABC中，AO是/ BAC的角平分線，D為AO上一點，以CD為一邊且在 CD下方作等邊 CDE , 連接(1)(2)Q/ B=90°，兩直角邊 AB=7，BC=24，在三角形內(nèi)有一點 P到各邊的距離都相等，則這9.已知：如圖在 ABC 中，/ C=90，AD 平分/ BAC，交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD : CD

6、=9 : 7,求：D 到AB邊的距離.C10 如圖， ABC中，點D在BC上，記 ABD的面積為Si， ACD的面積為S2，若Si:S2=AB : AC ,貝UAD是厶ABC的角平分線.請說明理由.11、如圖，已知在=ABC中，分別以AC, BC為邊向外作正=BCE、正二ACD， BD與AE交于M，求證:(1) AE=BDo( 2) MC 平分.DME。E12、已知：如圖， AP、CP分別是；ABC外角.MAC和.NCA的平分線，它們交于點 P，求證：BP為 MBN的平分線。N13、如圖， AB =2AC,. BAD =/DAC, DA =DB，求證：DC _ AC。C14、如圖，已知 AC

7、/ BD、EA、EB分別平分 CAB和 DBA,CD過點E ,求證：AB = AC - BD 。D15、如圖，ABC中，AD是.A的平分線，E,F分別為AB, AC上一點，且 EDF， BAF = 180 ,求證：DE = DF。16、已知：AC 平分.BAD , CE _ AB，乙 B ND =180，求證：AE = AD BE。17、已知，在 ；ABC中，BP、CP為角平分線，過 P點作EF/BC交AB于E，交AC于F。 求證：EF = BE CF。18、已知如圖， AD平分 BAC，AC=AB BD，求證：B =2 C。119、如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分.BAD，過C作CE _

8、 AB于E，并且AE (AB AD)，求2證： ABC ADC =180。DA20、已知.ABC中，AB = AC , GE過A且GE BC , £ B的平分線與 AC和GE分別交于D、E, £ C 的平分線與 AB和GE分別交于F、G。求證DE=FG 。121、如圖，已知線段 AB / CD , AD與BC相交于點F , BE平分.ABC , AE二一AD，猜想線段 AB、2BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系 ？請寫出你的結(jié)論并予以證明。22、如圖，已知 ABC 中，CE 平分 ACB，且 AE_CE , AED CAE =180，求證：DE/BC。23 .如圖所示，在四

9、邊形 ABCD中，/ A=90° AD=4，連接 BD , BD丄CD，/ ADB= / C.若P是BC邊上一動 點，貝U DP長的最小值為 .24 如圖所示，過線段 AB的兩個端點作射線 AM、BN，使AM II BN，/ MAB和/ NBA的平分線交于點 E，過 點E作一直線垂直于 AM，垂足為點 D，交BN于點C (1) 觀察DE、EC,你有什么發(fā)現(xiàn)？請證明你的結(jié)論；(2) 請你再研究 AD+BC與AB的關(guān)系，并給予證明.25 .已知:如圖所示，AQ，BM，CN是厶ABC的三條角平分線試說明AQ，BM，CN交于一點.26 .如圖， ABC 中，/ C=90，AD 是角平分線，

10、AC=8，AD= '，求/ B、BC、AB .27 如圖，已知/ BAC=90°，AD 丄 BC 于點 D，/ 1 = / 2，EF II BC 交 AC 于點 F.試說明 AE=CF .28 .如圖，已知點 B，C分別在射線 AN，AM 上，/ MCB與/ NBC的平分線交于點 P.(1)求證：AP 平分/ BAC ;(2)若/ ACB=90 ，PC=4 邁，PB=5，AB=7，求 AP 的長.29 .如圖， ABC 中，AC=BC , AD 平分/ BAC，若 AC+CD=AB，求/ C 的度數(shù).30 .如圖，在 ABC中，/ C=90°，M為AB的中點，DM丄

11、AB，CD平分/ ACB，求證：MD=AM31 如圖， ABC中，D為BC的中點,DE丄BC交/ BAC的平分線于E，EF丄 AB，交 AB 于 F，EG 丄 AC，交AC的延長線于 G,試問：BF與CG的大小如何？證明你的結(jié)論.32 已知：點 P為/ EAF平分線上一點， PB丄AE于B，PC丄AF于C,點M、N分別是射線 AE、AF上的點，且 PM=PN .(1) 當(dāng)點M在線段AB上，點N在線段AC的延長線上時(如圖1)，求證：BM=CN ;(2) 在(1)的條件下， AM+AN= AC ;(3) 當(dāng)點M在線段AB的延長線上時(如圖 2),若AC : PC=2 : 1，PC=4，求四邊形 ANPM的面積.33 .已知：/ DAB=120° , AC 平分/ DAB，/ B+ / D=180° .(1) 如圖 1,當(dāng)/ B= / D 時，求證： AB+AD=AC ;(2) 如圖2,當(dāng)/ BZ D時，猜想(1)中的結(jié)論是否發(fā)生改變并說明理由.34、如圖，已知