導數的綜合應用練習題及答案

1、導數應用練習題答案1 .下列函數在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請求出定理中的數值(1)f(x) 2x2 x 31,1.52,2; f(x) x ,3-x0,3;x2(4)f(x) ex11,1解：(1)f(x) 2x2 x1,1.5該函數在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導數為f (x)4x 1,在開區(qū)間上可導，而且f( 1) 0,f (1.5)0,滿足羅爾定理，至少有一點使f ( ) 41 0,解出(1,1.5)1o4雨.1解：f(x)寧2,2該函數在給定閉區(qū)間上連續(xù),其導數為f(x)2x7.2T2(1 x )在開區(qū)間上可導，而且f ( 2)滿足羅爾定理，至少有一點(2,2)一2一使f

2、 ( ) FT 0，解出(12)20。解：(3)f(x) x . 3 x0,3該函數在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導數為(x);,在開區(qū)間上可導，而且2、x 3f(0)0,f (3) 0,滿足羅爾定理，至少有一點(0,3),使 f ( )- 32.2。2解：(4)f(x) ex 11,1該函數在給定閉區(qū)間上連續(xù),其導數為f2(x) 2xex在開區(qū)間上可導，而且f ( 1) e 1f(1) e 1,滿足羅爾定理，至少有一點，使 f ()0。2 .下列函數在給定區(qū)域上是否滿足拉格朗日定理的所有條件？如滿足，請求出定理中的數值(1)f(x) x30,a (a 0);(2)f(x) In x 1,2；3 3)

3、 f (x) x3 5x2 x 2 1,0解：(1)f(x) x30, a (a 0)該函數在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導數為f (x) 3x2 ,在開區(qū)間上可導，滿足拉格朗日定理條件，至少有-占 八、(0,a)，使 f (a)f(0) f ( )(a 0),即 a3 0 3 2(a 0),解出a3解：(2)f(x) Inx 1,2該函數在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導數為11，_ ,f (x),即在開區(qū)間上可導，滿足拉格朗日定理條件，至少有 x-占 八、一 r1(1,2),使 f(2)f(1) f ( )(2 1),即 ln2 ln1 -(2 1),解出1In 2解：(3)f(x) x3 5x2 x 21

4、,0該函數在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導數為5 .433f (x) 3x2 10x 1,即在開區(qū)間上可導，滿足拉格朗日定理條件，至少有一點 (1,0)，使 f (0) f( 1) f ( )(0 1),即 2 ( 9) (3 2 101)(0 1),解出3.不求導數，判斷函數 f(x) (x 1)(x 2)(x答案：有三個本艮分別在 (1,2),(2,3),(3,4)3)( x 4)的導數有幾個實根及根所在的范圍。2x2 x成立且 F (x)21 x2212(1 x2) 2x 2x12x2)21 x21 x221 x24證明：當x 1時，恒等式2arctan x arcsin -1丁幾 L， 、 c

5、. 2x證：設 F (x) 2arctan x arcsin彳1 x2當x 1時，F(x)連續(xù)，當x 1時，F(x)可導即當 x 1 時，F(x) C,即 F(x) F(1) 2 -4 22x故當 x 1 時， 2arctan x arcsin21 x25設f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f (0) 0,證明在(0,1)內存在一點c, 使 cf (c) 2f (c) f (c).F(1)證明：令F(x) (x 1)2f(x),則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且因f (0) 0,則F(0) 0即F(x)在0,1上滿足羅爾定理的條彳%則至少存在c (0,1)使F(c)

6、0 又 F(x) 2(x 1)f (x) (x 1)2f(x),即 2(c 1)f (c) (c 1)2f (c) 0而 c (0,1),得 cf(c) 2f (c) f (c)6 .已知函數f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(0) 1,f(1) 0 ,證明在(0,1)內至少存在一點使得f ()f()32x 3x 22.x x 1limx 1In x ;x 1解:In x limx 1 x 11lim x 1x 1 1證明：令F(x) xf(x),則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且F(0) 0 F(1)即F(x)在0,1上滿足羅爾定理的條件，則至少存在(0,1)使尸

7、()0又 F(x) f (x) xf(x),即 f() f ( ) 0,故 f()工).7 .證明不等式：sinx2 sin x,x2 x,證明：設函數 f (x) sinx ,x1,x2R,不妨設x x2,該函數在區(qū)間x，x2上連續(xù)，在(x，x2)上可導，由拉格朗日中值定理有f(x2)f(x1) f ( )(x2x1),(x1x2)即 sinx2sinx1cos(x2x1),1,所以有 sin x2 sin x1x2x1故 sinx2 sinx cos (x2 x1),由于 cos8 .證明不等式：nbn 1 (a b) an bn nan 1 (a b) (n 1,a b 0)證明：設函數

8、f (x) xn,在b, a上連續(xù)，在(b, a)內可導，滿足拉格朗日定理條件，故n nn 1n 1 n 1 n 1a b n (a b),其中 0 ba,因此 ba有 nbn 1(a b) n n 1(a b) nan 1(a b)所以 nbn 1(a b) an bn nan 1(a b)9 .利用洛必達法則求下列極限: (1)limx 0則lxm13x2 6x3x22x 1(4) limx _ 2ln(x 5).tanx解:limx _21n(x 2)tanxlimx _ 2x 一212- cos xlimx _n x lim - axx e(a0,n為正整數)解:limxnxax el

9、imxn 1 nxax elimxn!ax e2cos xlimx _ 22cosx ( sin x)(6) lim xx 0mln(m0)；解：lim xx 0ln xlimIn xlimx 0x m mxlimx 0解：lim(”)e 1lxm0x(ex 1)lim 一 x 0 exelxm0xxelxm01lip(1sin x)x ;1解：lim(1 sin x)xlim(11sin x)sinxsin x(9) lim xsinxx 0sin x斛：lim xx 0elim：0sin xln xln x lim _10 sin xlimex 01xsin 2 x cosxlimx 0s

10、in2xx cosxexsin x sin x lim0 x cosxln(1kx)10.設函數f (x)解：由于函數在limx 0ln(1 kx),若f (x)在點x 0處可導，求k與f (0)的值。0處可導,kx lim 一 x 0 x因此函數在該點連續(xù)，由連續(xù)的概念有k f (0)1 ,即 k 11 cosx2x11.設函數f(x) k11一x x e 1解：函數連續(xù)定義,lim f (x)x 0limx 0(1xlimx 0ex 1 xx(ex 1)limx 0xe 1xxe 1 xelimx 0xxelim x 0 2 x按導數定義有l(wèi)n(1 x) 1_X 1f (x) f(0)xl

11、n(1 x) x 1 x1f (0) lim - lim x lim2-lim1xlimx 0 x 0 x 0 x x 0 x x 0 2x x 0 2(1 x)x 0x 0 ,當k為何值時，f (x)在點x 0處連續(xù)。x 0lim f (x) lim f (x) f (0), x 0x 01 cosx 11lim f (x) lim 2 一，而 f (0) k lim f (x) 一;x 0x 0 x2x 02i. 1.即當k 時，函數f (x)在x 0點連續(xù)。212.求下列函數的單調增減區(qū)間:，一一 2 一(1)y 3x6x 5；解：y 6x 6 0,有駐點x 1 ,由于當x 1時，y 0

12、,此時函數單調減少;由于當x 1時，y 0,此時函數單調增加; y x4 2x2 2；解：y 4x3 4x 4x(x2 1),令 y 0 ,有 x 0,x 1,x1 ,當x 1時，y 0,此時函數單調較少；當 1 x 0時，y 0,此時函數單調增加；當0 x 1時，y 0,此時函數單調較少；當 x 1時，y 0 ,此時函數單調增加2 x y ;； 1 x2 c2解：y 2x(1 x)2x 2x x2 ,令y 0,有x 0,x2,此外有原函數知 x 1,(1 x) (1 x)當x 2時，y 0 ,此時函數單調增加；當 2 x 1時，y 0 ,此時函數單調減少;當1 x 0時，y 0,此時函數單調

13、減少；當 x 0時，y 0,此時函數單調增加； 13.證明函數y x ln(1 x2)單調增加。證明：y 1臺巖。,等號僅在x 1成立，所以函數y x ln(12x)在定義區(qū)間上為單調增加。14.證明函數y解：y cosx等號僅在孤立點sin x1 0,x 2nx單調減少。(n 0, 1, 2L L )成立,所以函數y sin xx在定義域內為單調減少。15.證明不等式:3 1 (x 0,x x1)證明:設 f(x)2.xf(1)1時，fx 1時,(x) 0,f (x)函數單調增加，因此f(x) f(1) 0;0 ,函數單調減少，因此 f (x)所以對一切x0,且1 ,都有 f (x) 0 ,

14、即 26f(1)3 - x0;(x0,x1)16.證明：當x0時,解：設f(x) exf (x)0, f(x) 0f (x)，所以x0, f(x)f(0)所以0,ex0, f (x)f(x)，所以0, f(x) f(0)所以x 0,exx0,ex.17.證明：當0時,ln(1 x)解：設f(x)ln(1 x)f (x)1(1 x)2x2 ,(1 x)當 x 0, f (x)f(x)所以x0, f(x)f(0)0,即x 0 , ln(1 x)18.證明方程x33x 10在(0,1)內只有一個實根。證明：令f(x)x3 3x1, f (x)在0,1上連續(xù)，且 f (0) 1,f (1)1,由零點定

15、理存在(0,1),使f() 0,所以 是方程x3 3x 1 0在(0,1)內的一個根。又因為 f (x) 3x2 3 3(x2 1),當 x (0,1)時 f(x)0 ,函數單調遞減,當 x 時，f(x) f ( ) 0 ,當 x 時，f (x) f()0 ,所以在(0,1)內只有一個實根或用羅爾定理證明只有一個實根19.求下列函數的極值:y x3 3x2 7;解：y 3x2 6x 3x(x 2),令 y 3x2 6x 3x(x2) 0,解出駐點為x 0;x 2,函數在定義(,0)(0, 2)2(2,)f (x)一一0f(x)單調增加極大7單調減小極小3單調增加域內的單調性與極值見圖表所示:x

16、(2)y2x1 x2 2(1 x)(1 2 x),駐點為x 1,x1,函數的單調性與極值見表(1 x )x(,1)1(1,1)1(1,)f (x)極小極大f(x)單調減小1單調增加1單調減少解：y解：yxe x(2x),駐點為二階導數為y ex / 2(x 4x2),顯然 y (0) 2, y (2)4函數在x 0點取極小值0,在x 2處取極大值一2。ex3(X 2)2；2 一， 一 一 ，一 x(,2)2(2,)f (x)不存在f(x)單調增加極大3單調減少解：y一2一1,函數在x 2處不可導，以此點為界劃分區(qū)間并給出函數單調性與極值。x3(x 2)3(5)y (x 1)3 x2 ；5x 2

17、2解：函數導數為 y ,解出駐點為x -,不可導點為x 0,函數在各個區(qū)間的單調性見表格所示。c 353x3x(,0)0(0,1)_5 _25看)f (x)不存在0f(x)單調增加極大0單調減少極小 20 25單調增加(6)y3 x解：y(x 1)22 /x (x 3) ,駐點為x 0,x 3,不可導點為x 1 ,劃分區(qū)間并判斷增減性與極值 (x 1)x(,0)0(0,1)(1,3)3(3,)f (x)00f(x)單調增加無極 值單調增加單調減少極小27單調增加20.設ln(1解：y2x1 x2f(x)x2),求函數的極值，曲線的拐點。0 ,解出 x 0 , x 0, y 0 , y2(1 x

18、2)2A2、2(1 x )x 0, y 0 , y ,極小值 f (0) 0x(,1)1(1,1)1(1,)y0+0y凸ln2凹ln2凸0,解出x1,拐點(1,ln2), ( 1,ln2)21.利用二階導數，判斷下列函數的極值： _ 2_(1)y (x 3) (x 2);解：y (3x 7)(x 3), y 2(3x 8),駐點：x x 3, 3八，7 一4y 72 0,因此在x 一點函數取極大值一；x 3327y x 3 2 0 ,因此在x 3點函數取極小值0；x x y 2e e2e2x 1x xln 2斛：y x-, y 2e e ,駐點為 x ,e2由于y x %2 2yli 0,因此

19、在x旭處函數取得極小值 2及。x x in222.曲線 y ax3bx2cxd過原點，在點(1,1)處有水平切線，且點(1,1)是該曲線的拐點，求 a,b,c,d解：因為曲線yax3 bx2 cx d 過原點，有 d 0,在點(1,1)處有水平切線， 點(1,1)是該曲線的拐點， 又因為點(1,1)在曲線上, 聯立方程組解出a 1,bf (1) 3a 2b c 0,f (x) 6ax 2b, f (1) 6a 2ba b c d 13,c 3,d 00,23.求下列函數在給定區(qū)間上的最大值與最小值:4_ 2_ _(1)y x 2x 5 2,2；解：y 4x3 4x 4x(x 1)(x 1),令

20、 y0,得駐點為x 0,x 1,x1,計算出駐點處和區(qū)間端點處所有的函數值為y( 2)比較上述函數值，知最大值為 y( 2) y(2) 13；13, y( 1) 4, y(0) 5, y(1) 4, y(2) 13, 最小值為y( 1) y(1) 4。 y ln(x2 1)1,2；解：y 約，令y 0 ,得駐點為x 0 ,計算出駐點處和區(qū)間端點處所有的函數值為x 1y( 1) ln 2, y(0) 0,y(2) ln5 ,比較上述函數值，知最大值為y(2) ln 5 ；最小值為y(0) 0(3)y12,1;解：y (x 2)x，令y 0 ,得駐點為x 0,x2 ,計算出駐點處和區(qū)間端點處所有的

21、函數值為(x 1)21 11y( 2)4,y(0) 0,y( -) -,y(1)一,比較上述函數值，2 2211知取大值為y( -) y(1) 一；最小值為y(0) 0。 22 y x G 0,4解：y0,函數單調增加，計算端點處函數值為y(0) 0, y(4) 6,知最大值為y(4) 6 ;最小值為y(0) 0 24.已知函數f(x) ax3 6ax2 b (a 0),在區(qū)間1,2上的最大值為3,最小值為 29,求a,b的值。解：f (x) 3ax2 12ax，令 f (x) 3ax2 12ax 3ax(x 4) 0,解出駐點為 x 0,x 4(舍),且 f ( 1) b 7a , f (0

22、) b, f (2) b 16a因為 a 0,所以 f (0) f ( 1) f(2)故f(0) b 3為最大值，f(2) b 16a為最小值，即f (2) b 16a29 ,解出a 2。25.欲做一個底為正方形，容積為108m3的長方體開口容器，怎樣做所用材料最省?解：設底面正方形的邊長為 x ,高為h ,則表面積為S x2 4xh , 2V又體積為V x2h ,有h二 x小 c 2 4V2 432dS得S x x , xxdx2x6, h 3即取底面邊長為6 ,高為3時，做成的容器表面積最大。26.欲用圍墻圍成面積為 216m2的一塊矩形土地，并在正中間一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和

23、寬 選取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最??？解：所用的建筑材料為 L 3x 2y,其中面積xy 216,因此有LdL43230,解出x 12,即當取寬為x 12米，長為ydxx18米時所用建筑材料最省。27.某廠生產某種商品，其年銷量為100萬件，每批生產需增加準備費1000元，而每件的庫存費為 0.05元,如果年銷售率是均勻的，且上批銷售完成后，立即再生產下一批(此時商品庫存數為批量的一半)，問應分幾批生產，能使生產準備費及庫存費之和最??？解：設100萬件分x批生產，生產準備費及庫存費之和為y,則1 000 000y 1000x 0.05 1000x2x25 000y 1000 2 0 ,解

24、出 x 5,x25 000問5批生產，能使生產準備費及庫存費之和最小。28.確定下列曲線的凹向與拐點：23(1)y x x ；21斛：y 2x 3x , y 2 6x,令 y 0,x -3 y ln(1x2)；x1(,3)131 (3,)f (x)0f(x)凹227 小凸加2x2 2x解：y 2, y 令 y 0，x11 x(1 x )x(,1)1_(1,1)1(1,)f (x)00f(x)凸ln2拐點凹ln2拐點凸1 y x3；1 T解：y -x 3, y52,3=z, 令y不存在點，x 035. x(4)y2x1 x2x(,0)0(0,)f (x)不存在f(x)凹0拐點凸_ 22_解：y2

25、 2x4x(x3)7L 2T2 , y2 3(1 x )(1 x )(5)y xex；解：yex(1+x), yex(2+x),令 y 0, x= 2令 y 0,x 0, x .3x(,而也(石0)0（0,五）(G)f (x)000f(x)凸百 2 拐點凹0拐點凸員 2 拐點凹x(,2)2(2,)f (x)0f(x)凸22 e拐點凹解：y e x, y e x 0,所以y e x在()內是凹的，無拐點。噸)的函數:29.某化工廠日產能力最高為 1000噸，每天的生產總成本 C (單位：元)是日產量 x (單位:C C(x) 1000 7x 50、&x 0,100025 9.5(1)求當日產量為

26、100噸時的邊際成本；(2)求當日產量為100噸時的平均單位成本。2510解：(1)邊際成本C (x) 7 亍 C (100)C (x) 1000(2)平均單位成本 AC (x) 50.xC(100) 1000AC(100) 10010050221030.生產x單位某產品的總成本 C為x的函數:C(x)121100 x，求(1)生廣900單位時的總1200成本和平均單位成本;單位時的邊際成本。(2)生產900單位到1000單位時的總成本的平均變化率;(3)生產900單位和1000解：(1)C(900)1100129002 1775, 1200(2)C(900)900C(1000)1775900

27、C(900)1.97(3)1000 9001.58邊際成本為C (x)x600900C (900)600-10001.5, C (1000)1.6760031.設生產x單位某產品,2總收益 R為x的函數：R R(x) 200x 0.01x,求：生產50單位產品時的總收益、平均收益和邊際收益。解：總收益 R(50) 200 50 0.01平均U益 Rx) 200 0.01x ,x邊際U益 R (x) 200 0.02x ,2500 9975 ,R(50)問生產多少單位時獲得的利32.生產x單位某種商品的利潤是 x的函數：L(x) 5000 x 0.00001x2,潤最大？解：L (x) 1 0.

28、000 02x=0,解出 x 50 000所以生產50 000個單位時，獲得的利潤最大？ 33.某廠每批生產某種商品 x單位的費用為C(x) 5x 200,得到的收益是 R(x) 10x 0.01x2,問每批生產多少單位時才能使利潤最大？ 2解：L(x) R(x) C(x) 5x 0.01x200,令 L (x) 5 0.02x=0 ,解出 x 250所以每批生產250個單位時才能使利潤最大。34.某商品的價格P與需求量Q的關系為P 10 Q,求(1)求需求量為20及30時的總收益 R、平均5收益R及邊際收益R ; (2)Q為多少時總收益最大?解：總收益函數R(Q) PQ(10Q Q)Q=10

29、Q 5Q25平均收益函數R(Q)曹 c Q10 5邊際收益函數- 2QR(Q)=10 ,5(1) R(20)900300 = 120,R(20)400 200 =120,R(30)R20) 10 20 =6,R(30)5R(30)R (20)=10205304060=2,R (30)=10 一 = 2, 5530 /10 =4,5(2) R(Q)=1035.某工廠生產某產品,2Q _=0,解出Q=25時總收益最大。5日總成本為C元，其中固定成本為200元，每多生產一單位產品， 成本增加10元。該商品的需求函數為 Q 50 2P ,求Q為多少時，工廠日總利潤 L最大?解：成本函數 C C(Q) 200 10Q ,50 QQ2L(Q) PQ C(Q) Q (200 10Q) 15Q - 200,22令 L (Q) 15 Q=0,解得 Q=15, 所以Q=15 ,總利潤L最大。高二數學(文)選修1-1導數及其應用回扣練習一、選擇題1.下列求導運算正確的是(,11A、(xT)1Txx(log 2 x)四1x ln 2Cn (x2 cosx) = 2xsin x(3x)四 3x log 3 e22、已知函數f (x)=ax+c,且f=2,則a的值為()A. 0 B . 22C .1 D .13 .函數y= x3+ x的遞增區(qū)間是()A. (Q ) B. (,1)C .(,)