練習(xí)1 物體的平衡問題

1、 練習(xí)1 物體的平衡問題一、知識(shí)點(diǎn)擊 物體相對(duì)于地面處于靜止、勻速直線運(yùn)動(dòng)或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的狀態(tài)，稱為物體的平衡狀態(tài)，簡(jiǎn)稱物體的平衡物體的平衡包括共點(diǎn)力作用下物體的平衡、具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的物體的平衡和一般物體的平衡 當(dāng)物體受到的力或力的作用線交于同一點(diǎn)時(shí)，稱這幾個(gè)力為共點(diǎn)力物體在共點(diǎn)力作用下，相對(duì)于地面處于靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱為共點(diǎn)力作用下物體的平衡當(dāng)物體在外力的作用下相對(duì)于地面處于靜止或可繞某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，稱具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡當(dāng)物體在非共點(diǎn)力的作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，稱一般物體的平衡 解決共點(diǎn)力作用下物體的平衡問題，或具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡問題，或一般物體的平衡問題，首先把平衡

2、物體隔離出來，進(jìn)行受力分析，然后根據(jù)共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件：物體所受的合外力為零，即F0（如果將力正交分解，平衡的條件為：Fx =0、Fy=0）；或具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的物體的平衡條件：物體所受的合力矩為零，即M0；或一般物體的平衡條件：F0；M0列方程，再結(jié)合具體問題，利用數(shù)學(xué)工具和處理有關(guān)問題的方法進(jìn)行求解物體的平衡又分為隨遇平衡、穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡三種一、穩(wěn)定平衡：如果在物體離開平衡位置時(shí)發(fā)生的合力或合力矩使物體返回平衡位置，這樣的平衡叫做穩(wěn)定平衡如圖11（a）中位于光滑碗底的小球的平衡狀態(tài)就是穩(wěn)定的 二、不穩(wěn)定平衡：如果在物體離開平衡位置時(shí)發(fā)生的合力或合力矩能使這種偏離繼續(xù)增大，這樣的

3、平衡叫做不穩(wěn)定平衡，如圖11(b)中位于光滑的球形頂端的小球，其平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定平衡 三、隨遇平衡：如果在物體離開平衡位置時(shí)，它所受的力或力矩不發(fā)生變化，它在新的位置上仍處于平衡，這樣的平衡叫做隨遇平衡，如圖1-1（c）中位于光滑水平板上的小球的平衡狀態(tài)就是隨遇的從能量方面來分析，物體系統(tǒng)偏離平衡位置，勢(shì)能增加者，為穩(wěn)定平衡；減少者為不穩(wěn)定平衡；不變者，為隨遇平衡 如果物體所受的力是重力，則穩(wěn)定平衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)重力勢(shì)能的極小值，亦即物體的重心有最低的位置不穩(wěn)定平衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)重力勢(shì)能的極大值，亦即物體的重心有最高的位置隨遇平衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)于重力勢(shì)能為常值，亦即物體的重心高度不變二、方法演練類型一、物體平

4、衡種類的問題一般有兩種方法解題，一是根據(jù)平衡的條件從物體受力或力矩的特征來解題，二是根據(jù)物體發(fā)生偏離平衡位置后的能量變化來解題。例1有一玩具蹺板，如圖1-2所示，試討論它的穩(wěn)定性（不考慮桿的質(zhì)量） 【分析與解】假定物體偏離平衡位置少許，看其勢(shì)能變化是處理此類問題的主要手段之一，本題要討論其穩(wěn)定性，可假設(shè)系統(tǒng)發(fā)生偏離平衡位置一個(gè)角，則：在平衡位置，系統(tǒng)的重力勢(shì)能為 當(dāng)系統(tǒng)偏離平衡位置角時(shí)，如圖1-3所示，此時(shí)系統(tǒng)的重力勢(shì)能為 故只有當(dāng)時(shí)，才是穩(wěn)定平衡例2如圖1-4所示，均勻桿長(zhǎng)為a，一端靠在光滑豎直墻上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均處于Oxy平面內(nèi)如果要使桿子在該平面內(nèi)為隨遇平衡，試求該曲面

5、在Oxy平面內(nèi)的曲線方程【分析與解】本題也是一道物體平衡種類的問題，解此題顯然也是要從能量的角度來考慮問題，即要使桿子在該平面內(nèi)為隨遇平衡，須桿子發(fā)生偏離時(shí)起重力勢(shì)能不變，即桿子的質(zhì)心不變，yC為常量。 又由于AB桿豎直時(shí)，那么B點(diǎn)的坐標(biāo)為消去參數(shù)得 類型二、物體系的平衡問題的最基本特征就是物體間受力情況、平衡條件互相制約，情況復(fù)雜解題時(shí)一定要正確使用好整體法和隔離法，才能比較容易地處理好這類問題。例3三個(gè)完全相同的圓柱體，如圖1-6疊放在水平桌面上，將C柱放上去之前，A、B兩柱體之間接觸而無任何擠壓，假設(shè)桌面和柱體之間的摩擦因數(shù)為0，柱體與柱體之間的摩擦因數(shù)為，若系統(tǒng)處于平衡，0與必須滿足什

6、么條件？【分析與解】這是一個(gè)物體系的平衡問題，因?yàn)锳、B、C之間相互制約著而有單個(gè)物體在力系作用下處于平衡，所以用隔離法可以比較容易地處理此類問題。設(shè)每個(gè)圓柱的重力均為G，首先隔離C球，受力分析如圖1-7所示，由Fcy0可得 再隔留A球，受力分析如圖1-8所示，由FAy=0得 由FAx=0得 由EA0得 由以上四式可得，而， 類型三、物體在力系作用下的平衡問題中常常有摩擦力，而摩擦力Ff與彈力FN的合力凡與接觸面法線方向的夾角不能大于摩擦角，這是判斷物體不發(fā)生滑動(dòng)的條件在解題中經(jīng)常用到摩擦角的概念例4如圖1-8所示，有兩根不可伸長(zhǎng)的柔軟的輕繩，長(zhǎng)度分別為 和，它們的下端在C點(diǎn)相連接并懸掛一質(zhì)量

7、為m的重物，上端分別與質(zhì)量可忽略的小圓環(huán)A、B相連，圓環(huán)套在圓形水平橫桿上A、B可在橫桿上滑動(dòng)，它們與橫桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為1和2，且。試求1和2在各種取值情況下，此系統(tǒng)處于靜態(tài)平衡時(shí)兩環(huán)之間的距離AB?！痉治雠c解】本題解題的關(guān)鍵是首先根據(jù)物體的平衡條件，分析小環(huán)的受力情況得出小環(huán)的平衡條件，由圖1-9可知 定義，為摩擦角，在得出摩擦角的概念以后，再由平衡條件成為展開討論則解此題就方便多了。即由情況1：BC繩松弛的情況1=00，不論1、2為何值，一定平衡。情況2：二繩均張緊的情況（圖1-10） A環(huán)不滑動(dòng)的條件為：，即于是有又由圖1-11知所以，若要A端不滑動(dòng)，AB必須滿足 根據(jù)對(duì)稱性，只要

8、將上式中的下角標(biāo)1、2對(duì)調(diào)，即可得出B端不滑動(dòng)時(shí)，AB必須滿足的條件為： 如果系統(tǒng)平衡，兩式必須同時(shí)滿足。從式可以看出，1可能取任意正值和零，當(dāng)1=0時(shí)，AB只能取最小值，此時(shí)1=0，拉直但無張力。從式可以看出2的取值滿足否則AB無解，時(shí)，AB取最小值。綜上所述，AB的取值范圍為：情況1：松弛，1、2為任意非負(fù)數(shù)。情況2：張緊兩式右邊較小的，1為任意非負(fù)數(shù)，。類型四、一般物體平衡條件的問題主要又分為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平衡問題和沒有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)平衡問題，這類問題要按一般物體平衡條件來處理，即要么既要考慮力的平衡，又要考慮力矩平衡來求解；要么就要考慮以哪點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)軸或哪點(diǎn)先動(dòng)的問題。例5質(zhì)量分別為

9、m和M的兩個(gè)小球用長(zhǎng)度為的輕質(zhì)硬桿連接，并按圖1-11所示位置那樣處于平衡狀態(tài)桿與棱邊之間的摩擦因數(shù)為，小球m與豎直墻壁之間的摩擦力可以不計(jì)為使圖示的平衡狀態(tài)不被破壞，參數(shù)m、M、a和應(yīng)滿足什么條件？ 分析和解：本題是一道典型的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平衡問題，解題時(shí)對(duì)整體進(jìn)行受力分析，但物體的平衡不是共點(diǎn)力的平衡，處理時(shí)必須用正交分解法，同時(shí)還要考慮力矩的平衡，受力分析如圖，根據(jù)力的平衡條件可列出： 根據(jù)力矩平衡條件可寫出： 桿不滑動(dòng)的條件為Fm < n。由得 ，即用除得 桿不向右翻倒的條件為N10。由和可得出 由此可得 將中的N代人得 由于，再考慮不等式，可得 為了在不等式中能同時(shí)滿足最后兩個(gè)不

10、等號(hào)，就必須滿足條件： 由此可得平衡條件為：，如果 ，就不可能出現(xiàn)平衡例6如圖1-12，勻質(zhì)桿長(zhǎng)，擱在半徑為R的圓柱上，各接觸面之間的摩擦因數(shù)均為，求平衡時(shí)桿與地面的夾角應(yīng)滿足的關(guān)系【分析與解】本題也是一個(gè)一般物體的平衡問題與上題的區(qū)別在 于沒有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸，所以這個(gè)問題的難點(diǎn)在于系統(tǒng)內(nèi)有三個(gè)接觸點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)上的力都是靜摩擦力，不知道哪個(gè)點(diǎn)最先發(fā)生移動(dòng)我們先列出各物體的平衡方程：設(shè)桿和圓柱的重力分別為G1和G2。 對(duì)桿 Fx=0 Ff3Ff2cos=FN2sin Fy=0 FN3FN2cos+Ff2sin=G1 MO´=0 對(duì)柱Fx=0 Ff1Ff2cos=FN2sin Fy=0 Ff2

11、sin+G2FN2cos=FN1 MO=0 Ff1 =Ff2 MO´=0 FN2+G2=FN1 以上七個(gè)方程中只有六個(gè)有效，由式可知，F(xiàn)N1>FN2,又因?yàn)?Ff1 =Ff2 ,所以一定是2 z處比1處容易移動(dòng),再來比較2處和O´處.(1)如果是2處先移動(dòng),必有 Ff2=FN2, 代入式,可得,將此結(jié)果代入式,即有 在這種情況下,如要Ff3FN3,必須有 桿要能擱在柱上，當(dāng)然要 因此在時(shí),=2arctan。（2）如果是0'處先移動(dòng)，必有Ff3=FN3，代入式，可有 滿足式的即為平衡時(shí)的，這時(shí)要求Ff2FN2·，須有綜上所述當(dāng)時(shí)，=2arctan。當(dāng)時(shí)

12、，應(yīng)滿足。三、小試身手1 如圖1-13所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻木桿AB,重量為G，系在兩根長(zhǎng)均為L(zhǎng)的細(xì)繩的兩端，并懸掛于O點(diǎn)，在A、B兩端各掛一重量分別為G1、G2的兩物，求桿AB處于平衡時(shí)，繩OA與豎直方向的夾角 2 一長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻薄板與一圓筒按圖1-14所示放置，平衡時(shí)，板與地面成角，圓筒與薄板相接觸于板的中心板與圓筒的重量相同均為G若板和圓筒與墻壁之間無摩擦，求地面對(duì)板下端施加的支持力和靜摩擦力3 如圖1-15，兩把相同的均勻梯子AC和BC，由C端的鉸鏈 連起來，組成人字形梯子，下端A和B相距6m，C端離水平地面4m，總重200 N，一人重600 N，由B端上爬，若梯子與地面的靜摩擦因數(shù)0.6

13、，則人爬到何處梯子就要滑動(dòng)？4 如圖1-16所示，一均勻梯子，一端放在水平地面上，另一端靠在豎直墻上，梯子與地面和墻間的靜摩擦因數(shù)分別為1和2，求梯子平衡時(shí)與地面所能成的最小夾角5 如圖1-17所示，一個(gè)半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點(diǎn),B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為。試求鐵鏈A端受的拉力FT。6 有一半徑為R的圓柱體A靜止在水平地面上，并與豎直墻面相接觸現(xiàn)有另一質(zhì)量與A相同，半徑為r的較細(xì)圓柱體B，用手扶著圓柱體A，將B放在A的上面，并使之與墻面相接觸，如圖1-18所示，然后放手已知圓柱體A與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.20，兩圓

14、柱體之間的動(dòng)摩擦 因數(shù)為0.30.若放手后，兩圓柱體能保持圖示的平衡，問圓柱體B與墻面間的動(dòng)摩擦因數(shù)和圓柱體B的半徑r的值各應(yīng)滿足什么條件？7 如圖1-19所示，有六個(gè)完全相同的長(zhǎng)條薄片AiBi(i=1,2,. 6)依次架在水平碗口上，一端擱在碗口、另一端架在另一薄片的正中位置（不計(jì)薄片的質(zhì)量）將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)置于A1A6的中點(diǎn)處，試求A1B1薄片對(duì)A6B6的壓力8 如圖1-20所示質(zhì)量為m的小球A用細(xì)繩拴在天花板上，懸點(diǎn)為O，小球靠在光滑的大球上，處于靜止?fàn)顟B(tài)，已知大球的球心O'在懸點(diǎn)的正下方，其中繩長(zhǎng)為，大球的半徑為R，懸點(diǎn)到大球最高點(diǎn)的距離為h，求繩對(duì)小球的拉力和小球?qū)Υ笄虻膲毫?/p>

15、9 現(xiàn)有一個(gè)彈簧測(cè)力計(jì)（可隨便找地方懸掛），一把勻質(zhì)的長(zhǎng)為l的有刻度、零點(diǎn)位于端點(diǎn)的直尺，一個(gè)木塊及質(zhì)量不計(jì)的細(xì)線。試用這些器材設(shè)計(jì)一實(shí)驗(yàn)（要求畫出示意圖），通過一次測(cè)量（彈測(cè)力計(jì)只準(zhǔn)讀一次數(shù)），求出木塊的質(zhì)量和尺的質(zhì)量。（已知重力加速度為g）練習(xí)1 物體的平衡問題參考解答1 解：以O(shè)AB整體為研究對(duì)象，并以O(shè)為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，其受力情況如圖所示，設(shè)OA與豎直線夾角為，OC與豎直線夾角為，因?yàn)镺AB為等邊三角形，C為AB邊的中點(diǎn)，所以，即，以O(shè)為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，則由剛體的平衡條件可知，即展開后整理得：所以，AB處于平衡時(shí)，繩OA與豎直方向的夾角為 2解：如圖所示，圓筒所受三個(gè)力沿水平和豎直方向平衡的分量式為，

16、板所受五個(gè)力沿水平和豎直方向平衡的分量式為板所受各力對(duì)圓筒和板的交點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩平衡方程為根據(jù)牛頓第三定律，有聯(lián)立以上各式，可解得地面對(duì)板的支持力和靜摩擦力分別為FN3=2G，3 解：進(jìn)行受力分析，如圖所示，把人和梯子看成一個(gè)整體，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)：AB=6m，CD=4m，AC=BC=5m 設(shè)人到鉸鏈C的距離為 滿足， 所以， 整理后：，所以人在爬到梯子中點(diǎn)處時(shí)梯子就要滑動(dòng)4解：受力分析如圖所示，同樣處于平衡狀態(tài)，解題過程與上題類似，故解題過程略，則梯子平衡時(shí)與地面所能成的最小夾角為5 解：以鐵鏈為研究對(duì)象，由于整條鐵鏈的長(zhǎng)度不能忽略不計(jì)，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點(diǎn)，要分析鐵鏈的受力情況，

17、須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點(diǎn)，分析每一小段鐵鏈的受力，根據(jù)物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況在鐵鏈上任取長(zhǎng)為L(zhǎng)的一小段（微元）為研究對(duì)象，其受力分析如圖所示由于該微元處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以受力平衡，在切線方向上應(yīng)滿足： 由于每一段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大，所以整個(gè)鐵鏈對(duì)A端的拉力是各段上的和，即觀察的意義，由于很小，所以，表示L在豎直方向上的投影R，所以所以。6圓柱體A、B的受力情況如圖所示圓柱體A傾向于向左移動(dòng)，對(duì)墻面沒有壓力，平衡是靠各接觸點(diǎn)的摩擦力維持的現(xiàn)設(shè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，列出兩圓柱體所受力和力矩的平衡方程 圓柱體A： 圓柱體B： 由于，由得 又因，聯(lián)立，

18、可得 首先討論圓柱體B與墻面的接觸點(diǎn)，接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)的條件為：由式可得，所以再討論圓柱體A與地面的接觸點(diǎn)的情形，圓柱體A在地面上不發(fā)生滑動(dòng)的條件是：由圖可知： 由三式以及可以求得： 即只有當(dāng)時(shí)，圓柱體A在地面上才能不滑動(dòng)最后討論兩圓柱的接觸點(diǎn)，接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)的條件為：由兩式以及可解得顯然，在平衡時(shí)，r的上限為R，故可得到r應(yīng)滿足的條件為：所以，圓柱體B與墻面接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)的條件為21，圓柱體A與地面接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)的條件為1，兩圓柱體接觸不發(fā)生滑動(dòng)的條件為3，圓柱體B的半徑r的值各應(yīng)滿足的條件為Rr0.29R7 解：本題中六個(gè)物體，其中通過分析可知A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5的受力情況完全相同，因此將A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5作為一類，對(duì)其中一個(gè)進(jìn)行受力分析、找出規(guī)律，求出通式即可以第個(gè)薄片AB為研究對(duì)象，受力情況如圖1所示，第個(gè)薄 片受到