鹽城市初三同步輔導(dǎo)第十三章 函數(shù)及其圖象 一次函數(shù) 人教版

1、第十三章 函數(shù)及其圖象 一次函數(shù)主講教師：陳開華主審教師：陳云樓【教學(xué)內(nèi)容】 九年制義務(wù)教育三年制初級(jí)中學(xué)代數(shù)第三冊(cè)第十三章函數(shù)及其圖象第4小節(jié)：一次函數(shù)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】 1、能初步理解一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念。 2、能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件，確定一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式。 3、能用描點(diǎn)法畫出正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合圖象進(jìn)一步得出它的性質(zhì)。 4、理解待定系數(shù)法，會(huì)用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式?！局R(shí)講解】1、一次函數(shù)是最簡(jiǎn)單的函數(shù)，它的形式為（k，b是常數(shù)，k0），自變量x的取值范圍為一切實(shí)數(shù)。特殊地，當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b就成為正比例函數(shù)y=k

2、x （），可見正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況。 2、通過(guò)先列表、描點(diǎn)，再連線的方法我們不難得出一次函數(shù)的圖象都是一條直線，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再過(guò)這兩點(diǎn)作一條直線即可。畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只需過(guò)（0，0）（1，k）作一條直線；畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，通常過(guò)（）（0，b）作一條直線。如畫函數(shù)y=2x+1的圖象，可分別選取（0，1）（0.5,0），過(guò)這兩點(diǎn)作一條直線，因此一次函數(shù)y=kx+b的圖象，習(xí)慣上也稱為直線y=kx+b。 3、由函數(shù)的圖象可以得出函數(shù)的增減性，對(duì)于正比例函數(shù)y=kx和一次函數(shù)y=kx+b,它們的增減性都是由k的正負(fù)決定的，當(dāng)k

3、>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小。正比例函數(shù)的圖象位置由k決定，當(dāng)k>0時(shí)，直線過(guò)第一、三象限，當(dāng)k<0時(shí)，直線過(guò)第二、四象限。而一次函數(shù)的圖象的位置由k.、b共同確定，k決定了直線的傾斜角度，b決定了直線與y軸交點(diǎn)的位置，特別地，當(dāng)兩個(gè)一次函數(shù)y1=k1x+b1和y2=k2 x+b2的系數(shù)k1=k2，b1b2時(shí)，這兩條直線互相平行，反之也成立。 4、待定系數(shù)法是先設(shè)出式子中的未知系數(shù)，再根據(jù)條件求出未知系數(shù)，從而寫出這個(gè)式子的方法，它是初中數(shù)學(xué)中常用的解題方法，主要應(yīng)用在因式分解、部分分式、確定函數(shù)解析式等幾個(gè)方面。要確定一個(gè)一次函數(shù)的解析式

4、，關(guān)鍵是確定k，b的值。如果已知自變量x和函數(shù)y的兩對(duì)對(duì)應(yīng)值，我們就可得到關(guān)于k 、b的方程組，從而求出系數(shù)k、b的值，達(dá)到確定一次函數(shù)解析式的目的。例如：已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（9，10）和點(diǎn)（24，20），求此一次函數(shù)的解析式?？梢韵仍O(shè)一次函數(shù)為y=kx+b()，然后把點(diǎn)（9，10）和點(diǎn)（24，20）的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式中，得方程組 解得， 所求的一次函數(shù)的解析式為?！纠}講解】例1已知y與x+1成正比例關(guān)系，當(dāng)x=2時(shí)，y=1，求當(dāng)x=-3時(shí)y 的值？ 分析：由條件可以先設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=k(x+1)，然后利用x=2, y=1，求出系數(shù)k的值，再把x=-3代入已求的函數(shù)關(guān)系式中

5、，求出相應(yīng)的y值。 解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為 把x=2, y=1代入上式，得3k=1 解得 y與x函數(shù)關(guān)系式為 把x=-3代入上式，解得例2已知某正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（2，-1）、B（-3，m）求 m的值及AB的長(zhǎng)。 分析：由于點(diǎn)A、B都在正比例函數(shù)的圖象上，故當(dāng)設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=kx（）時(shí)，可把已知點(diǎn)A（2，-1）代入解析式中，求出k的值，再把點(diǎn)B（-3， m）代入已知解析式中，求出m 的值，求AB長(zhǎng)可過(guò)A、B分別向x軸，y軸作垂線，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解。解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為把A（2，-1）代入 y=kx，解得正比例函數(shù)關(guān)系式為，把B（-3，m）代入中，解得如圖

6、，分別過(guò)點(diǎn)A、B向x、y軸作垂線，兩垂線交于點(diǎn)C 。則AC=5，BC=在RtABC中，AB=例3已知某正比例函數(shù)圖象與 x軸所夾銳角為，求此正比例函數(shù)的解析式。 分析：設(shè)函數(shù)的解析式為y=kx關(guān)鍵是求出系數(shù)k的值，而只要知道圖象上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式，就可以求出k的值。解：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為 （1）若k>0，如圖，在第一象限圖象上取一點(diǎn)P，其縱坐標(biāo)為1。 過(guò)點(diǎn)P作PQ軸于Q。 在Rt, 解得：OQ=2 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2 把點(diǎn)P(2,1)代入y=kx中,解得 函數(shù)解析式為。 （2）若k<0，同理可求得函數(shù)解析式為。 正比例函數(shù)的解析式為。說(shuō)明：根據(jù)條件畫圖象時(shí)，一定要考慮到各

7、種可能性，不能遺漏任何一種情況。這也體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想 分類思想，它的應(yīng)用比較廣泛，如：三角形的高的位置與三角形的形狀，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等。例4已知為正比例函數(shù)，求n的值并說(shuō)明此函數(shù)的增減性和所經(jīng)過(guò)的象限。 分析 ：正比例函數(shù)的定義中，k是不為零的常數(shù)，x的指數(shù)是1，據(jù)此可求出n的值，再根據(jù)n+2的正負(fù)性，就可以知道其增減性和所經(jīng)過(guò)的象限。解：由條件得n必須滿足 解得n=7 正比例函數(shù)解析式為y=9x。 k=9>0.y隨x的增大而增大，且圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限。例5已知一次函數(shù)的圖象與直線y=2x-1平行且與直線交于點(diǎn)（a, 2）。 求一次函數(shù)解析式。 分析：兩條直線 y=k1x+b

8、1和y=k2x+b2平行，則k1=k2。如果設(shè)所求一次函數(shù)解析式為 y=kx+b，因?yàn)樗膱D象與直線y=2x-1平行，則 k=2。把點(diǎn)（a,2）代入已知直線中，求該點(diǎn)坐標(biāo)后再代入y=kx+b，就可求出b的值。解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為由條件知：k=2，故y=2x+b.點(diǎn)（a,2）在直線上。把（a,2）代入得 a=-2 再把（-2，2）代入y=2x+b得b=6.所求一次函數(shù)解析式為例6已知直線y1=-2x+4,與直線y2. （1）求交點(diǎn)A的坐標(biāo) （2）在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出y1 、y2的圖象。 （3）利用圖象觀察，當(dāng)x為何值時(shí)y1=0 y1>0 y1<0 y1=y2 y1>y2

9、 （4）求兩條直線與 x軸圍成的三角形的面積. 分析：把兩個(gè)函數(shù)的解析式組成方程組，方程組的解對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)。觀察圖象時(shí)，可先由函數(shù)y值的范圍或大小找對(duì)應(yīng)的圖象位置，再由圖象的位置看自變量x的變化范圍。1-1x0-3-4-2A4321-1234y56BC 解：（1）把兩個(gè)函數(shù)的解析式組成方程組 解得 交點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，-2） （2）如圖X02y140 X06y2-40 (3) 當(dāng)x=2時(shí) y1=0 當(dāng)x<2時(shí) y1>0 當(dāng)x>2時(shí) y1<0 當(dāng)x=3時(shí)，y1=y2 當(dāng)x<3時(shí) y1>y2 (4)設(shè)兩條直線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是B、C則

10、B（2，0）、C（6，0）BC=4 SABC= 兩直線與x軸圍成的三角形的面積等于4。例7已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上兩點(diǎn)，且x1·x20，若M=，N=，試比較M、N的大小。解：A（x1，y1）在直線y=3x+4上，y1=3x1+4，即y1-4=3x1。B（x2，y2）在直線y=3x+4上，y2=3x2+4，即y2-4=3x2，M=，N=，M= N例8彈簧不掛物體時(shí)長(zhǎng)12cm，掛上物體后彈簧會(huì)伸長(zhǎng)，伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛物體質(zhì)量成正比例，如果掛上2千克的重物時(shí)彈簧長(zhǎng)度為16厘米，且彈簧總長(zhǎng)不能超過(guò)30厘米，求彈簧總長(zhǎng)y（厘米）與所掛物體質(zhì)量x（千克）

11、之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的范圍。 分析：彈簧的總長(zhǎng)度是彈簧不掛物體時(shí)長(zhǎng)度12厘米與掛物體后伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度的和。由條件知彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛物體質(zhì)量成正比例，可以設(shè)再根據(jù)條件當(dāng) x=2時(shí)y=16，代入上式即可求解。解：由題意設(shè)把x=2,y=16代入上式得k=2y-12=2x y=2x+12122x+12300x9彈簧總長(zhǎng)y與所掛物體的質(zhì)量 x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y=2x+12，自變量 x的取值范圍為0x9例9已知一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A（6，），一次函數(shù)圖象不過(guò)第二象限，且兩直線與y軸圍成的三角形面積為，求兩個(gè)函數(shù)的解析式。 分析：由交點(diǎn)A的坐標(biāo)可直接求出正比例函數(shù)的解析式，一次函

12、數(shù)的解析式中的系數(shù)k,b的值需要兩個(gè)條件才能確定，除了圖象過(guò)點(diǎn)A條件外，充分利用兩直線與y軸圍成的三角形面積為，根據(jù)面積公式列出一個(gè)方程，求出兩函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求出函數(shù)的解析式。 解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，正比例函數(shù)的解析式為y=kx。把點(diǎn)A（）代入。正比例函數(shù)解析式是。一次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為B（0，b）如圖： SAOB=一次函數(shù)圖象不過(guò)第二象限 b<0 b=把A（6，）代入y=kx-k=一次函數(shù)的解析式為y=x-例10已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，2），且與x軸，y軸圍成的三角形面積是1，求此直線的解析式。 分析：設(shè)直線的解析式y(tǒng)=kx+b，把點(diǎn)（2，2）代

13、入解析式可得到關(guān)于k,b的一個(gè)方程，再利用面積為1，列出關(guān)于k,b的另一個(gè)方程，然后解方程組，求出k,b的值。 解：設(shè)直線的解析式為y=kx+b 把點(diǎn)（2，2）代入上式得 2k+b=2 直線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，分別為 ，（0，b） 直線與x軸、y軸圍成的三角形面積是 1。 S= 由，解得或 所求直線解析式為或y=2x-2 說(shuō)明：直線y=kx+b與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積公式為S=例11已知一次函數(shù)與x、y軸分別交于A、B，點(diǎn)C（1，0）、點(diǎn)D在 x軸上且D在點(diǎn)C右側(cè)，BCD=ABD，求過(guò)B、D兩點(diǎn)的直線解析式。 分析：本題要求過(guò)B、D的直線解析式關(guān)鍵是求出B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 如圖：由條件知

14、B（0，）BCD=ABD，易證ABDBCD，進(jìn)而可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)D（x,0）,由條件知A（-3，0）B（0，）則BD= AD=x+3 CD= x-1BCD=ABD 、D=DABDBCD 解得x=D()設(shè)過(guò)B、D的直線解析式為y=kx+b把B代入上式得k=,b=。過(guò)B、D兩點(diǎn)的直線解析式為。 說(shuō)明：本題中若不說(shuō)明“D在C的右側(cè)”，則結(jié)論為兩解，另一解請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手算一算。例12如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標(biāo)系XOY中，使OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，連結(jié)AC，將ABC沿AC翻折，點(diǎn)B落在該坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)D處，CD交x軸于點(diǎn)E，如果CE=5，OC、OE的底是關(guān)于x的方程x

15、2+(m-1)x+12=的兩根，并且OC>OE (1)求點(diǎn)D坐標(biāo) (2)如果點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，判斷點(diǎn)（8，-20）是否在過(guò)DF兩點(diǎn)的直線上。AEOyCHDBFGx解：據(jù)題意得 解得 過(guò)D作DGx軸于G，DHy軸于D 可證CE=EA=5，OA=8=CB=CD 利用OE/HD可得 HD=，CH=，DG=OH=CH-CO= D在第四象限 D（，-） (2)F為AC中點(diǎn) F（4，2） 不妨設(shè)過(guò)D、F的一次函數(shù)解析式為y=kx+b求得 k= b=24直線DF的解析式為y=-x+24x=8 y=-20滿足上式，點(diǎn)（8，-20）在過(guò)D、F兩點(diǎn)的直線上。【一周一練】一、選擇題：（每小題3分，計(jì)24分）1、

16、下列函數(shù)：(1)y=； (2)y=x2+1； (3)y=-2x； (4)y=； (5)x+y=5其中一次函數(shù)有（ ）A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)2、函數(shù)是正比例函數(shù)的條件是（ ） A、m=-3 B、m=-3或m=1 C、m=3或m=-1 D、m=+13、下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ） A、y=x與 B、y=x與y=()2 C、y=x與y= D、y=|x|與y=4、若一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則y=bx-k的圖象不經(jīng)過(guò)（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限5、已知函數(shù)y1=-2x+3，y2=2x-5，若y2>y1，則（ ）A、x

17、>2 B、 C、x> D、x<26、在函數(shù)y=2x+4中，如果-2y2，則相應(yīng)的x的取值范圍是（ ）A、-2x2 B、-3x-1 C、1x3 D、-1x37、函數(shù)y=ax-4與y=bx+5的圖象交于x軸上同一點(diǎn)，則a:b等于（ ）A、-4:5 B、4:5 C、5:4 D、-5:48、一條直線與直線y=2x-3關(guān)于x軸對(duì)稱，則該直線的函數(shù)關(guān)系式為（ ）A、y=2x+3 B、y=-2x+3 C、y=-2x-3 D、y=-3x+2二、填空題：（每小題3分，計(jì)24分）1、y-2與x成正比例，且當(dāng)x=-2時(shí)，y=6，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為_2、已知函數(shù)y=3x+b的圖象經(jīng)過(guò)（-1，2）

18、和（a，-4），則a= ，b= 。x3210-1y1-1-23、某一次函數(shù)的圖象如圖所示，則其解析式為 。4、如果函數(shù)y=(m-2)的圖象是通過(guò)二、四象限的一條直線，則m= .5、函數(shù)y=(2m+3)x+m+1的圖象經(jīng)過(guò)一、三、四象限的條件是 。6、已知I是ABC的內(nèi)心，設(shè)A的度數(shù)為x，BIC的度數(shù)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 。7、若A（x1，y2）與B（x2，y2）是一次函數(shù)y=3x-2的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且x1x20，設(shè)M=，N=，則M、N的大小關(guān)系是_。tByCA4.42.411O235第1題8、直線y=x+3與x軸交于A，與y軸交于B，以AB為一邊作等邊ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_。三

19、、解答題：（第1題3分，第2-8題每題7分，計(jì)52分）1、如圖，折線ABC為甲地向乙地打長(zhǎng)途電話所需付的電話費(fèi)y(元)與通話時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象。當(dāng)t3時(shí)，該圖象的解析式為 ；從圖象中可知，通話2分鐘需付電話費(fèi) 元；通話7分鐘需付電話費(fèi) 元。2、已知一次函數(shù)y=(4m-3)x+(2-n)，在下列條件下，求m、n的值或取值范圍。（1）y隨x的增大而增大；（2）函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的下方；（3）函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)；（4）函數(shù)圖象過(guò)第一、二、四象限。 3、直線y=kx+b平行于直線y=x且過(guò)點(diǎn)A（-1，5）和B（m，-3），O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求m的值；(2)求AOB的面積。 4、已知

20、y=y1+y2,y1與x2成正比例，y2與x-2成正比例，且當(dāng)x=1時(shí)，y=-1；x=4時(shí)，y=20。求當(dāng)x=-3時(shí)y的值。5、求直線y1=-2x-2，y2=2x-6與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積。6、某蠟燭點(diǎn)燃后，按一次函數(shù)的規(guī)律，其長(zhǎng)度隨著點(diǎn)燃的時(shí)間而逐漸變短，已知點(diǎn)燃6分鐘時(shí)，其長(zhǎng)度為17.4厘米，點(diǎn)燃21分鐘時(shí)其長(zhǎng)度為8.4 厘米，設(shè)點(diǎn)燃x分鐘時(shí)長(zhǎng)度為y厘米（1）寫出用x來(lái)表示 y的函數(shù)關(guān)系式；（2）這根蠟燭燃完是在點(diǎn)燃后多少分鐘？畫出該函數(shù)的圖象。第7題AHBEDFCG7、ABC中，BC=10，高AD=6，矩形EFGH的EF邊在BC上，G、H分別在AC、AB上，設(shè)HE=y,EF=x，求y

21、與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。8、如圖，直線PA是一次函數(shù)y=x+n（n>0）的圖象，直線PB是一次函數(shù)y=2x+m（m>0）的圖象，（1）用m、n表示A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若Q是PA與y軸的交點(diǎn)，且四邊形PQOB的面積是，AB=2，試求P點(diǎn)坐標(biāo)并寫出直線PA、PB的解析式。yxPBOAQ第8題 一周一練答案一、選擇題：（每小題3分，計(jì)24分）1、B 2、D 3、D 4、C 5、A 6、B 7、A 8、B二、填空題：（每小題3分，計(jì)24分）1、y=-2x+2 2、a=-3，b=5 3、 4、m=-15、 6、y= 7、M=N 8、（，6）或(0,-3)、三、

22、解答題：（第1題3分，第2-8題每題7分，計(jì)52分）1、解:圖象表明,當(dāng)通話時(shí)間不大于3分鐘時(shí),付電話費(fèi)都是2.4元,但時(shí)間t>3時(shí),需按時(shí)間交費(fèi),此時(shí)費(fèi)用是時(shí)間t的一次函數(shù).設(shè)BC的解析式是y=kt+b，把B(3,2.4)、C(5,4.4)點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 所以，t3時(shí)，該圖象的解析式是y=t-0.6（t3），通話2分鐘的電話費(fèi)仍是2.4元，通話7分鐘所需話費(fèi)y=7-0.6=6.4(元)。2、解：據(jù)題意，得：（1）4m-3>0 m>（2） （3） （4） 3、(1)y=kx+b平行于y=-x且過(guò)A（-1，5）yxOACB k=-1 k=-1 -k+b=5 b=4y=-x+4又B(m, -3)在y=-x+4上 m=7(2)設(shè)y=-x+4交y軸于C，則C（0，4）SAOB=SAOC+SBOC=16說(shuō)明：直角坐標(biāo)系中幾條直線所圍成的幾何圖形的面積一般要轉(zhuǎn)化為一邊在坐標(biāo)軸上的幾個(gè)幾何圖形的面積的和差來(lái)進(jìn)行計(jì)算。4、解：由題意，可設(shè)y1=k1x2，y2=k2(x-2),k10,k20,從而y=k1x2+k2(x-2)