1.2chapter向量與向量空間小結(jié)ppt課件

1、一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)3. n維向量組維向量組 及相關(guān)概念及相關(guān)概念向量向量 代數(shù)代數(shù) 混合積混合積向量積向量積數(shù)量積數(shù)量積向量的表示法向量的表示法向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算向量的概念向量的概念2. 空間解空間解 析幾何析幾何 投影及公垂線投影及公垂線平面直線的關(guān)系平面直線的關(guān)系距離距離直線方程的轉(zhuǎn)化直線方程的轉(zhuǎn)化平面及方程平面及方程直線及方程直線及方程 Schimidt 正交化方法正交化方法向量空間向量空間向量組秩與極大無(wú)關(guān)組向量組秩與極大無(wú)關(guān)組向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)向量的向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算向量的向量的表示法表示法向量積向量積數(shù)量積數(shù)量積混合積混

2、合積向量的積向量的積向量概念向量概念1. 向量代數(shù)向量代數(shù)(1)(1)向量的概念向量的概念定義定義:既有大小又有方向的量稱(chēng)為向量既有大小又有方向的量稱(chēng)為向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 負(fù)向量、負(fù)向量、向徑向徑.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、單位向量、單位向量、平行向量、平行向量、1) 加法：加法：cba (2)(2)向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算dba ab2) 減法：減法：cba dba 3) 向量與數(shù)的乘法：向量與數(shù)的乘法：設(shè)設(shè) 是是一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為 , 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0

3、 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa 向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,軸軸上上的的投投影影分分別別為為向向量量在在其其中中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：kajaiazyx,向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：zyxaaa,(3)(3)向量的表示法向量的表示法向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式,zzyyxxbabababa kbajbaibazzyyxx)()()( ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazz

4、yyxx)()()( kajaiazyx)()()( 222|zyxaaaa 向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa )1coscoscos(222 )cos,cos,cos(0 a(4)(4)數(shù)量積點(diǎn)積、內(nèi)積）數(shù)量積點(diǎn)積、內(nèi)積） cos|baba 其中其中 為為a與與b的夾角的夾角 zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾

5、角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式.PrPr jj (5)(5)向量積叉積、外積）向量積叉積、外積） sin|bac 其中其中 為為a與與b的夾角的夾角c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合右手系，指向符合右手系. 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa ., 面積面積為鄰邊的平行四邊形的為鄰邊的平行四邊形的為以為以 )(cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa (6)(6)混合積混合積., , )( 積積為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體向向量量它它的的絕絕對(duì)對(duì)值值表表示示

6、以以是是一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)混混合合積積 . 0)(, 共共面面2. 空間解析幾何空間解析幾何平面平面點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程一般方程一般方程三點(diǎn)方程三點(diǎn)方程截距式方程截距式方程平面束方程平面束方程直線直線一般方程一般方程參數(shù)方程參數(shù)方程兩點(diǎn)方程兩點(diǎn)方程對(duì)稱(chēng)式方程對(duì)稱(chēng)式方程(1) 直線及其方程直線及其方程pzznyymxx000: 對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)式式方方程程)( :000為為參參數(shù)數(shù)參參數(shù)數(shù)方方程程tptzzntyymtxx 121121121:zzzzyyyyxxxx 兩點(diǎn)方程兩點(diǎn)方程 00:22221111DzCyBxADzCyBxA一一般般方方程程(2) 平面及其方程平面及其方程0)()()(:000 z

7、zCyyBxxA點(diǎn)點(diǎn)法法式式方方程程0: DCzByAx一一般般方方程程1: czbyax截截距距式式方方程程0 :131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx三點(diǎn)方程三點(diǎn)方程0)(:00:2222111122221111 DzCyBxADzCyBxADzCyBxADzCyBxAL 的平面束方程的平面束方程過(guò)直線過(guò)直線(3) 化空間直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程化空間直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程 00:22221111 DzCyBxADzCyBxAL),(0000zyxML上上取取一一定定點(diǎn)點(diǎn)在在21 s方方向向向向量量),(222111pnmCBACBAkji 由對(duì)稱(chēng)式方程可得

8、所求由對(duì)稱(chēng)式方程可得所求.(4) 間隔間隔:0:),(0000的的距距離離到到點(diǎn)點(diǎn) DCzByAxzyxP .222000CBADCzByAxd :0021間的距離間的距離與與兩平行平面兩平行平面 DCzByAxDCzByAx.22212CBADDd :),(1110000的的距距離離到到點(diǎn)點(diǎn)pzznyymxxzyxM 01MMd),(pnm ),(1111zyxM, : 1111111pzznyymxxL 兩異面直線兩異面直線: :2222222間的距離間的距離pzznyymxxL 2121PrMMjd 212121)( MM.222111121212222111pnmpnmkjizyyxx

9、pnmpnm (5) 平面及直線間的位置關(guān)系平面及直線間的位置關(guān)系平面與平面平面與平面: , 0:11111 DzCyBxA , 0:22222 DzCyBxA 2222222121212121212121|cosCBACBACCBBAA 21 ;0212121 CCBBAA.212121CCBBAA 21/ 直線與直線直線與直線: ,:1111111pzznyymxxL ,:2222222pzznyymxxL 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 21LL , 0212121 ppnnmm,212121ppnnmm 21/ LL共面共面與與21L

10、L0222111121212 pnmpnmzzyyxx平面與直線平面與直線: ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx 222222|sinpnmCBACpBnAm L.pCnBmA . 0 CpBnAm /L0, 0000 DCzByAxCpBnAmL且且 知知與與L, 求交點(diǎn)求交點(diǎn):,000 ptzzntyymtxx令令,0tDCzByAx得得代入代入 從而可得交點(diǎn)從而可得交點(diǎn).(6) 投影及公垂線問(wèn)題投影及公垂線問(wèn)題點(diǎn)在直線或平面上的投影點(diǎn)在直線或平面上的投影. 點(diǎn)關(guān)于直線或平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于直線或平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn). 直線在平面上的投影直線在平面上的投影. 兩異面直線的公垂線

11、兩異面直線的公垂線: ,:1111111pzznyymxxL ,:2222222pzznyymxxL ),(21pnm 0111111 pnmpnmzzyyxx0222222 pnmpnmzzyyxx3. n維向量組及相關(guān)概念維向量組及相關(guān)概念(1) 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組則稱(chēng)向量組則稱(chēng)向量組 是線性相關(guān)的，否則稱(chēng)它線性無(wú)關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱(chēng)它線性無(wú)關(guān)A結(jié)論結(jié)論1.1,)1(,2121個(gè)個(gè)向向量量線線性性表表示示余余至至少少有有一一個(gè)個(gè)向向量量可可由由其其中中線線

12、性性相相關(guān)關(guān) mmmm 結(jié)論結(jié)論2., ,212121唯唯一一線線性性表表示示能能由由則則線線性性相相關(guān)關(guān)而而線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)設(shè)設(shè)mmm 結(jié)論結(jié)論3 .,12121也也線線性性相相關(guān)關(guān)則則線線性性相相關(guān)關(guān)若若mrrr 結(jié)論結(jié)論4. 一個(gè)向量線性相關(guān)一個(gè)向量線性相關(guān). 結(jié)論結(jié)論5. 兩個(gè)向量線性相關(guān)兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)分量成比例對(duì)應(yīng)分量成比例. 結(jié)論結(jié)論6. 含有零向量的向量組線性相關(guān)含有零向量的向量組線性相關(guān). 結(jié)論結(jié)論7. , ,:,:2121srABABAsr 則則組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)且且組組線線性性表表示示組組能能由由如如果果和和設(shè)設(shè)有有向向量量組組 結(jié)論結(jié)論8. ., ,:,:2121

13、線線性性相相關(guān)關(guān)則則向向量量組組且且組組線線性性表表示示組組能能由由如如果果和和設(shè)設(shè)有有向向量量組組AsrBABAsr 結(jié)論結(jié)論9. 等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量.結(jié)論結(jié)論10. nk個(gè)個(gè)n維向量必線性相關(guān)維向量必線性相關(guān).(2) 向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組 定義定義., ,)2( ,)1( ,21212121的的一一個(gè)個(gè)最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組是是則則稱(chēng)稱(chēng)線線性性相相關(guān)關(guān)總總有有線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)如如果果滿滿足足個(gè)個(gè)向向量量中中是是維維向向量量組組成成的的向向量量組組是是設(shè)設(shè)TTrTnTrrrr 結(jié)論結(jié)論1. 最大線性無(wú)關(guān)組不唯一最

14、大線性無(wú)關(guān)組不唯一. 結(jié)論結(jié)論2. 向量組與任一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)向量組與任一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組等價(jià). 結(jié)論結(jié)論3. 向量組的任兩個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)向量組的任兩個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組等價(jià). 結(jié)論結(jié)論4. 一個(gè)向量組中一個(gè)向量組中, 任意兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組所含向量任意兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相同個(gè)數(shù)相同. 定義定義 向量組向量組T 中最大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)叫做中最大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)叫做向量組向量組T 的秩的秩. 記為記為rank(T).(3) 向量空間向量空間 定義定義 設(shè)設(shè) 為為 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就

15、稱(chēng)對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合集合 為向量空間為向量空間nVVVV(4) Schimidt正交化方法正交化方法11 1112122),(),( 222321113133),(),(),(),( 11111111),(),(),(),( rrrrrrrr 二、題型及方法二、題型及方法1. 向量的運(yùn)算及應(yīng)用向量的運(yùn)算及應(yīng)用2. 求空間直線方程求空間直線方程3. 求平面方程求平面方程4. 求距離求距離5. 求投影求投影6. 討論向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)討論向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)7. 求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組8. 將線性無(wú)關(guān)向量組正交化單位化將線性無(wú)關(guān)向量組正

16、交化單位化1. 向量的運(yùn)算及應(yīng)用向量的運(yùn)算及應(yīng)用.,423| ),2, 2 , 1(),6 , 3, 2( . 1 PCAPBPCPCPBPAex求向量求向量平分平分且且已知向量已知向量Solution.,|的的平平分分線線上上一一定定在在APBPBPBPAPA |PBPBPAPAkPC從而可設(shè)從而可設(shè))0( )4 , 5 , 1(21 kk,63423| kPC可可求求得得再再由由).12,15, 3( PC., , 2 . 2求求該該向向量量的的兩兩倍倍軸軸正正向向的的夾夾角角則則是是它它們們與與角角軸軸的的正正方方向向成成等等軸軸和和且且與與已已知知一一向向量量的的模模為為zyxexSo

17、lution.可設(shè)其單位向量為可設(shè)其單位向量為),2cos,cos,(cos , 12coscoscos222 則則, 02cos2cos2 即即.24: 或或解得解得得其單位向量為得其單位向量為:),0 ,22,22().1, 0 , 0( 或或故所求向量為故所求向量為:),0 , 2, 2().2, 0 , 0( 或或., 0 , . 3cacbbacbacbaex 計(jì)計(jì)算算適適合合等等式式已已知知單單位位向向量量Solution., 0)( 2 cba, 0)(2222 cacbbacba0)(23 cacbba.23 cacbba. | | . 4babaex 利用向量積證明利用向量積

18、證明Solution.ba 2)(ba baba 222 cos222baba baba 2222)(ba .ba ., 2| , 1|,2 . 5bababaBbaAex 且且其其中中設(shè)設(shè) . 6,)2(.,)1(積積為為為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形面面與與使使得得的的值值試試確確定定使使得得的的值值試試確確定定BABA Solution., 0 , )1( BABA則則要要使使)()2(babaBA )(2(222baba 42 . 2 )()2()2(babaBA )()(2abba )(2(ba ba )2( )2(2 6 . 51 或或.)(5( ,)4(,Pr)3(),2(

19、)2)(2(),cos()1(:),2 , 1 , 1(),2, 2 , 1(),5 , 1, 3( . 6的的方方向向余余弦弦求求已已知知 jexSolution. ),cos()1(,6356 ),12, 4, 5(2)2( ),8 , 0 , 7(2 8071245)2()2( kji ),28,44,32( , 3Pr)3( j),5 , 1, 3(351)4( )7 ,11, 8(221513)5( kji 164912164 ,168cos ,1611cos .167cos Solution.設(shè)設(shè)向向量量21PP的的方方向向角角為為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos22

20、2 .21cos ,21cos ,22cos .),3 , 0 , 1(,43, 2,. 7212121的的坐坐標(biāo)標(biāo)求求的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為如如果果和和分分別別為為軸軸的的夾夾角角軸軸和和它它與與已已知知設(shè)設(shè)有有向向量量PPyxPPPPex .32,3 設(shè)設(shè)2P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為),(zyx, 1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 .,10)7, 2 , 1( ),3 , 2, 1(),1 , 3, 2( . 8 求求且且滿滿足足

21、垂垂直直于于已已知知 exMethod1. ),(則有則有設(shè)設(shè)zyx 032 zyx032 zyx1072 zyx解得解得(x,y,z)即為所求即為所求.Method2.:平行的向量為平行的向量為與與 )1, 5, 7(321132 kji )1 , 5 , 7( 從從而而可可設(shè)設(shè)得得由由10)7, 2 , 1( ,10107107)7, 2, 1( , 1 ).1 , 5 , 7( 2. 求空間直線方程與平面方程求空間直線方程與平面方程 .)1, 1 , 1(010: . 9的平面方程的平面方程和點(diǎn)和點(diǎn)求過(guò)求過(guò) MzyxzyxLexSolution. 可設(shè)平面方程為可設(shè)平面方程為 0)1(

22、zyxzyx 0)1()1()1( zyx即即,23)1, 1 , 1( 代入得代入得將將. 015為為所所求求 zyx. , 0 ),1, 1 , 0()1 , 1 , 1(.1021求求其其方方程程且且垂垂直直于于和和過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)平平面面 zyxMMex Solution.),1 , 1 , 1(),2, 0 , 1(121 MM)1 , 1 , 2(201111 211 kjiMM 由點(diǎn)法式得，由點(diǎn)法式得，0)1()1()1(2 zyx. 02 zyx即即也可用一般式方程來(lái)解也可用一般式方程來(lái)解. .,001)1 , 1, 1(, 0 .11求求此此平平面面方方程程的的垂垂線線到到直直線

23、線并并且且通通過(guò)過(guò)從從點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)一一平平面面垂垂直直于于平平面面 xzyzexSolution.),1, 1, 0(001110 kji已已知知直直線線的的方方向向向向量量為為, 0)1()1()1(0)1 , 1, 1( zyx方方程程為為與與已已知知直直線線垂垂直直的的平平面面過(guò)過(guò). 0 zy即即).21,21, 0( 從而得垂足為從而得垂足為Method1., 0 DCzByAx設(shè)設(shè)平平面面方方程程為為, 0 z由于該平面垂直于平面由于該平面垂直于平面. 0 C, 0 DByAx故故平平面面方方程程為為.,)21,21, 0()1 , 1, 1(可可得得所所求求在在平平面面上上與與由由 M

24、ethod2.所求平面的法向量為所求平面的法向量為),0 , 1 ,21(21211100 kjin, 0)1()1(21 yx故所求平面方程為故所求平面方程為. 012 yx即即 .010430142202)4 , 0 , 1( .12平平行行的的直直線線方方程程平平面面垂垂直直且且與與與與求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) zyxzyxzyxexSolution.),0 , 3, 6(221121 kji已知直線的方向向量為已知直線的方向向量為),5 , 2 , 1(3143036 kjis所所求求直直線線的的方方向向向向量量為為故所求直線方程為故所求直線方程為:.54211 zyxex13 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))3

25、, 1 , 2(M且且與與直直線線12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直線線方方程程. Method1.先作一過(guò)點(diǎn)先作一過(guò)點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點(diǎn)交點(diǎn))73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyxMethod2.,312 pznymx 設(shè)直線方程為設(shè)直

26、線方程為由于與已知直線垂直相交得由于與已知直線垂直相交得, 023pnm0123303 pnm npnm42.431122 zyx直直線線方方程程為為 . 054320432: .14垂垂直直相相交交的的直直線線方方程程求求過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)與與已已知知直直線線 zyxzyxLexSolution.),1, 1, 1( 0 M在在已已知知直直線線上上取取定定點(diǎn)點(diǎn)為為),1, 2 , 1(432321 kji已知直線的方向向量為已知直線的方向向量為,:pznymx 設(shè)設(shè)所所求求直直線線方方程程為為 011112102pnmpnm則則.,即可即可解得解得pnm3. 求距離與投影求距離與投影 . 1671

27、6: ;142111: .1521的的方方程程它它們們的的公公垂垂線線之之間間的的距距離離和和求求兩兩直直線線LzyxLzyxLex Solution.),1 , 2 , 1(1 ),4 ,11, 0(1 M),1 , 6, 1(2 ),0 , 7, 6(2 M)8, 0 , 8(16112121 kji 212121)( MMd. 2512880)8, 0 , 8(1611214186 公垂線方程為公垂線方程為: 0121808411zyx016180876 zyx.0113307 zyxzyx. 042362:)5 , 7 , 3( .16的的坐坐標(biāo)標(biāo)的的對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)關(guān)關(guān)于于平平面面求求P

28、zyxPex Solution.:)5 , 7 , 3(垂垂直直的的直直線線方方程程為為與與平平面面過(guò)過(guò) P356723 zyxt tztytx356723得得,74 t的的方方程程得得代代入入平平面面 ,QP在平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)在平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)從而點(diǎn)從而點(diǎn)).717,785,79(P 由由中中點(diǎn)點(diǎn)公公式式可可得得4. 討論向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)討論向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) .2 ,2 ,)2( ;,)1( , .17232131133221321線線性性相相關(guān)關(guān)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)證證明明線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)設(shè)設(shè) exProof. 0)()()( )1(133322211 xxx設(shè)設(shè) 0)()()( 323212131 xxxxxx即即 ,321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 則則 031