第二章經典單方程計量經濟學模型：一元線性回歸模型

1、第二章 經典單方程計量經濟學模型：一元線性回歸模型一、內容提要本章介紹了回歸分析的基本思想與基本方法。首先，本章從總體回歸模型與總體回歸函數(shù)、樣本回歸模型與樣本回歸函數(shù)這兩組概念開始，建立了回歸分析的基本思想。 總體回歸函數(shù)是對總體變量間關系的定量表述， 由總體回歸模型在若干基本假設下得到， 但它只是 建立在理論之上，在現(xiàn)實中只能先從總體中抽取一個樣本， 獲得樣本回歸函數(shù)， 并用它對總 體回歸函數(shù)做出統(tǒng)計推斷。本章的一個重點是如何獲取線性的樣本回歸函數(shù)，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的學習與掌握。同時，也介紹了極大似然估計法（ML ）以及矩估計法（MM ）。本章的另一個重點是對樣本回歸函數(shù)

2、能否代表總體回歸函數(shù)進行統(tǒng)計推斷，即進行所謂的統(tǒng)計檢驗。統(tǒng)計檢驗包括兩個方面，一是先檢驗樣本回歸函數(shù)與樣本點的“擬合優(yōu)度”，第二是檢驗樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度。后者又包括兩個層次：第一，檢驗解釋變量對被解釋變量是否存在著顯著的線性影響關系，通過變量的t檢驗完成；第二，檢驗回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度，通過參數(shù)估計值的“區(qū)間檢驗”完成。本章還有三方面的內容不容忽視。其一，若干基本假設。樣本回歸函數(shù)參數(shù)的估計以 及對參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質的分析以及所進行的統(tǒng)計推斷都是建立在這些基本假設之上的。 其二，參數(shù)估計量統(tǒng)計性質的分析，包括小樣本性質與大樣本性質，尤其是無偏性、有效性與

3、一致性構成了對樣本估計量優(yōu)劣的最主要的衡量準則。Goss-markov定理表明OLS估計量是最佳線性無偏估計量。其三，運用樣本回歸函數(shù)進行預測，包括被解釋變量條件均值與個值的預測，以及預測置信區(qū)間的計算及其變化特征。二、典型例題分析例1、令kids表示一名婦女生育孩子的數(shù)目，educ表示該婦女接受過教育的年數(shù)。生育率對教育年數(shù)的簡單回歸模型為kids = °educ -(1) 隨機擾動項包含什么樣的因素？它們可能與教育水平相關嗎？(2) 上述簡單回歸分析能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響嗎？請解釋。 解答：(1) 收入、年齡、家庭狀況、政府的相關政策等也是影響生育率的重要的因

4、素，在上述簡單回歸模型中，它們被包含在了隨機擾動項之中。有些因素可能與教育水平相關，如收入水平與教育水平往往呈正相關、年齡大小與教育水平呈負相關等。(2) 當歸結在隨機擾動項中的重要影響因素與模型中的教育水平educ相關時，上述回歸模型不能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響，因為這時出現(xiàn)解釋變量與隨機擾動項相關的情形，基本假設 4不滿足。例2已知回歸模型 E * dN，式中E為某類公司一名新員工的起始薪金(元)，N為所受教育水平(年)。隨機擾動項J的分布未知，其他所有假設都滿足。(1) 從直觀及經濟角度解釋 :和1。(2) OLS估計量:?和？滿足線性性、無偏性及有效性嗎？簡單陳述理由。

5、(3) 對參數(shù)的假設檢驗還能進行嗎？簡單陳述理由。解答：(1) 壽N為接受過N年教育的員工的總體平均起始薪金。當N為零時，平均薪金為：，因此表示沒有接受過教育員工的平均起始薪金。一：是每單位N變化所引起的E的變化，即表示每多接受一年學校教育所對應的薪金增加值。(2) OLS估計量:?和仍？滿足線性性、無偏性及有效性，因為這些性質的的成立無需 隨機擾動項的正態(tài)分布假設。(3) 如果 人的分布未知，則所有的假設檢驗都是無效的。因為t檢驗與F檢驗是建立 在的正態(tài)分布假設之上的。例3、在例2中，如果被解釋變量新員工起始薪金的計量單位由元改為 100元，估計的 截距項與斜率項有無變化？如果解釋變量所受教

6、育水平的度量單位由年改為月， 估計的截距 項與斜率項有無變化？解答：首先考察被解釋變量度量單位變化的情形。以E*表示以百元為度量單位的薪金，則E =E* 100 _ 二 N 由此有如下新模型E* =(： /100) C' /100)N/100)這里：*=: /100 , 1*二/100。所以新的回歸系數(shù)將為原始模型回歸系數(shù)的1/100。再考慮解釋變量度量單位變化的情形。設N*為用月份表示的新員工受教育的時間長度，則N*=12N，于是E = ： N _ ：- (N * /12) ' 11或Em '；.(' /12)N * i可見，估計的截距項不變，而斜率項將為原回

7、歸系數(shù)的1/12。例4 .對于人均存款與人均收入之間的關系式St = lYt t使用美國36年的年度數(shù)據(jù)得如下估計模型，括號內為標準差：§ =384.105 +0.067Yt(151.105)(0.011)R2= 0.538:? =1 9.0 2 3(1) 1的經濟解釋是什么？(2) 和的符號是什么？為什么？實際的符號與你的直覺一致嗎？如果有沖突的話，你可以給出可能的原因嗎？(3) 對于擬合優(yōu)度你有什么看法嗎？(4) 檢驗是否每一個回歸系數(shù)都與零顯著不同(在1%水平下)。同時對零假設和備擇假設、檢驗統(tǒng)計值、其分布和自由度以及拒絕零假設的標準進行陳述。你的結論是什么？解答：(1) 為收

8、入的邊際儲蓄傾向，表示人均收入每增加1美元時人均儲蓄的預期平均變 化量。(2) 由于收入為零時，家庭仍會有支出，可預期零收入時的平均儲蓄為負，因此符號應為負。儲蓄是收入的一部分，且會隨著收入的增加而增加，因此預期一：的符號為正。實際的回歸式中，1的符號為正，與預期的一致。但截距項為負，與預期不符。這可能與由于模型的錯誤設定形造成的。如家庭的人口數(shù)可能影響家庭的儲蓄形為，省略該變量將對截距項的估計產生影響；另一種可能就是線性設定可能不正確。(3) 擬合優(yōu)度刻畫解釋變量對被解釋變量變化的解釋能力。模型中53.8%的擬合優(yōu)度，表明收入的變化可以解釋儲蓄中53.8 %的變動。(4) 檢驗單個參數(shù)采用

9、t檢驗，零假設為參數(shù)為零，備擇假設為參數(shù)不為零。雙變量 情形下在零假設下t分布的自由度為n-2=36-2=34。由t分布表知，雙側1%下的臨界值位于2.750與2.704之間。斜率項計算的t值為0.067/0.01仁6.09，截距項計算的t值為384.105/151.105=2.54?？梢娦甭薯椨嬎愕膖值大于臨界值，截距項小于臨界值，因此拒絕斜率項為零的假設，但不拒絕截距項為零的假設。三、教材中部分習題2.1、為什么計量經濟學模型的理論方程中必須包含隨機干擾項？計量經濟模型考察的是具有因果關系的隨機變量間的具體聯(lián)系方式。由于是對基變量，意味著影響被解釋變量的因素是復雜的除了解釋變量的影響外，還

10、有其他無法在模型中獨立列出的各種因素的影響。這樣，模型中就必須使用一個隨機干擾項變量來代表所有這些在模型中 無法獨立表示出來的影響因素。 （或見第一章習題）2-2.下列方程哪些是正確的？哪些是錯誤的？為什么？ yt - - xtt =1,2,nyt=x-.-tt=1,2，,n二：人Jt=1,2,nyt= ：: xt4t=1,2,nyt- :- xtt =12,nyt二：xtt =12,nyt-冷t=1,2，,nyt= :： xt_tt=1,2, n其中帶“人”者表示“估計值”。答：錯；正；錯；錯；錯；正，正，錯。2.3、線性回歸模型有哪些基本假設？違背基本假設的計量經濟學模型是否就不可估計？答

11、：線性回歸模型的基本假設（實際是針對普通最小二乘法的基本假設）有兩大類：一類是關于解釋變量的，解釋變量是確定性變量，而且如果是隨機變量則解釋變量與隨機干擾項之間互不相關；一類是關于隨即干擾項的，隨機誤差項具有0均值和同方差；隨機誤差項 在不同樣本點之間是獨立的，不存在序列相關；隨機誤差項與解釋變量之間不相關；隨機誤差項服從0均值、同方差的正態(tài)分布。違背基本假設的計量經濟學模型還是可以估計的，只是不能使用普通最小二乘法進行估計。2.4、線性回歸模型yt = ：Xt 叫 t =1,2,，nn1的0均值假設是否可以表示為't =0 ?為什么？n 7(答：嚴格來說，隨機干擾項的0均值假設是關于

12、 X的條件期望為 0,線性回歸模型：n1yt = -xt t中的0均值假設e(u2)=0不可以表示為：t =0，因為前者表示取n y完所的可能的樣本組合后的平均狀態(tài)，而后者只是一個樣本的平均值。)二者是兩個完全不同的概念。2.5、 假設已經得到Y = X關系的最小二乘估計，試回答：假設決定把X變量的計量單位擴大 10倍，這樣對遠回歸的斜率和截距有何影響？如果 Y變量的單位擴大10倍，又會怎樣？記X為原變量X計量單位擴大10倍的變量，XX/10,。于是答：丫 “0二 一：0 ；10X0 10.所以，解釋變量的單位擴大10倍，回歸的截距不變，斜率項將為原系數(shù)的10倍。其他問題方法相同。如果Y變量的

13、計量單位擴大 10倍，斜率和截距系數(shù)都將為原始模型回歸系數(shù)的1/102.10、下面數(shù)據(jù)是對 X和Y的觀察值得到的。刀Yi=1110; 刀Xi=1680 ; 刀XiYi=204200刀Xi =315400 ; 刀 Yi =133300 假定滿足所有的古典線性回歸模型的假設，要求：(1) b1 和 b2 ?(2) b1和b2的標準差？(3) r2？(4) 對B1、B2分別建立95%的置信區(qū)間？禾U用置信區(qū)間法，你可以接受零假設：B2=0嗎？Xi-、Yi(解：X- =168, Y- =111nn二 Z (Xj X)(Yj 丫)=送(xm YXj 丫漢 + XY)= 204200-1680 111 -

14、168 1110 10 168 111=17720又 ' (Xi -X)2 八(Xi2 -2XiX X2)2 2 2二、Xi -210X210X2 = 315400 -10 168 168二331601772033160= 0.5344' (Xi X)(Y -Y)' (Xi -X)2-1 二Y - jX =111 -0.5344 168 = 21.22O2 ' e2x (Yi -Y?)2' £-2yY? Y2)?=n21028Y? =21.22 0.5344Xi.' (Y2 -2YiY? Y?2) = ' (Y2 -2 21.2

15、2Y -2 0.5344XiY：；Xj2 2 /Xi)= 133300-2 21.22 1110-2 0.5344 204200 10 21.22 21.220.5344 0.5344 315400 2 21.22 0.5344 1680-620.81.；?2 = ' e： /n620.81= 77.60Var( J2 2Xi -2 n' (Xi -X)77.60 31540010 33160二 73.81 ,se( J = 73.81 =8.5913Var( ' 2)cr2右 o.。023, u。023 "0484r2、(Yi -Y)27#'、 e-

16、 =620.81,又 ' (¥ -Y)2 =133300 -123210 =10090620.8110090= 0.9385 p(t乞2.306) =95%，自由度為821 22 P -2.3061乞2.306，解得：1.4085乞三41.0315為的95%的置信區(qū)間。8.5913同理，.-2.306 乞 0.5344 一 < 2.306 ,解得：0.4227 乞< 0.646為匕的 95% 的置 0.0484信區(qū)間。由于 匕=0不在12的置信區(qū)間內，故拒絕零假設：匕=0。#2-11.表中列出中國 佃78-2000年的財政收入 Y和國內生產總值 GDP的統(tǒng)計資料。要求:1. 作出散點圖（略）建立 Y隨X變化的一元線性回歸方程，并解釋斜率的經濟意義；2. 對所建立的回歸方程進行檢驗；3. 若2001年中國GDP為105709億元，求財政收入的預測值及預測區(qū)間。0.1198*GDP2（22.72）,R =0.9609在1978-2000年間中國國內生產總值每增加一億元，財政收入 平均增加556.65答：1.t值:(2.52)斜率的經濟意義是:8#0.1198 億元。2在5%的顯著性水平下，自由度為23-2=21的t分布臨界值為2.08。因此從參數(shù)的t檢驗值 看，