1.2基底維數(shù)坐標.ppt課件

1、，滿足，滿足個向量個向量選出選出中能中能，如果在，如果在設(shè)有向量組設(shè)有向量組riiisrAA ,:2121定義定義 線線性性無無關(guān)關(guān)；）向向量量組組（riiiA ,:1210個個向向量量線線性性相相關(guān)關(guān)中中任任意意）向向量量組組（12 rA的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)向向量量組組稱稱為為向向量量組組那那么么向向量量組組AA0；簡稱極大無關(guān)組簡稱極大無關(guān)組)(稱為稱為數(shù)數(shù)極大無關(guān)組所含向量個極大無關(guān)組所含向量個r只只含含零零向向量量的的向向量量組組;向向量量組組的的秩秩. 0規(guī)規(guī)定定它它的的秩秩為為;1個個向向量量的的話話）中中有有（如如果果 rA的的秩秩也也記記作作向向量量組組sA ,:21)

2、;,(),(2121ssrR 或或沒沒有有極極大大無無關(guān)關(guān)組組， 742520111321 如向量組如向量組,21線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組 .,321線性相關(guān)線性相關(guān)向量組向量組 。秩為秩為且向量組且向量組的極大無關(guān)組，的極大無關(guān)組，是向量組是向量組故向量組故向量組2,32132121 的行秩。的行秩。的行向量組的秩稱為的行向量組的秩稱為矩陣矩陣的列秩，的列秩，的列向量組的秩稱為的列向量組的秩稱為定義：矩陣定義：矩陣AA AA證證,)(),(21rARaaaAm ，設(shè)設(shè)列列線線性性無無關(guān)關(guān)；知知所所在在的的所所以以rDr0 階階子子式式均均為為零零，中中所所有有又又由由1 rA關(guān)關(guān)組組，的

3、的列列向向量量的的一一個個極極大大無無列列是是所所在在的的因因此此ArDr. r所所以以列列向向量量組組的的秩秩等等于于).(ARA的的行行向向量量組組的的秩秩也也等等于于類類似似可可證證定理定理1 1 . 0 rDr階階子子式式并并設(shè)設(shè).1個個列列向向量量都都線線性性相相關(guān)關(guān)中中任任意意知知 rA也等于它的行向量組的秩。也等于它的行向量組的秩。 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，矩陣的秩等于它的列向量組的秩， .極極大大無無關(guān)關(guān)組組行行即即是是行行向向量量組組的的一一個個所所在在的的極極大大無無關(guān)關(guān)組組，列列即即是是列列向向量量組組的的一一個個所所在在的的則則，的的一一個個最最高高階階非非零零子

4、子式式是是矩矩陣陣若若rDrDAD rrr但但所所含含向向量量個個數(shù)數(shù)相相同同；）極極大大無無關(guān)關(guān)組組不不唯唯一一（,1結(jié)論結(jié)論 說明說明 .2關(guān)關(guān)組組是是等等價價的的）向向量量組組與與它它的的極極大大無無（如階梯形矩陣如階梯形矩陣 00000310003011040101是是線線性性無無關(guān)關(guān)的的，向向量量組組維維單單位位坐坐標標向向量量構(gòu)構(gòu)成成的的因因為為neeeEn,: 21解解.的的秩秩一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組及及的的，求求作作維維向向量量構(gòu)構(gòu)成成的的向向量量組組記記全全體體nnnRRRn 例例1 1個向量都線性相關(guān)，個向量都線性相關(guān)，中的任意中的任意知知的推論的推論節(jié)定理節(jié)定理又根

5、據(jù)又根據(jù)1)2(41 . 3 nR n.nRRE nn的的秩秩等等于于的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組，且且是是因因此此向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量組組s ,21定理定理2 2 .),(21sRs 充充要要條條件件是是推論推論1 1 線線性性相相關(guān)關(guān)的的向向量量組組s ,21.),(21sRs 充充要要條條件件是是推論推論2 2 線線性性無無關(guān)關(guān)的的維維向向量量組組個個nnn ,21).,(, 0|21sAA 其其中中充充要要條條件件是是定理定理3 3 說明說明: 關(guān)關(guān)組組的的方方法法求求向向量量組組的的秩秩與與極極大大無無初初等等變變換換給給我我們們提提供供了了利利用用矩矩陣陣定

6、定理理3 矩陣的初等行變換不改變矩陣的初等行變換不改變(部分或全部部分或全部)列列 向量之間的線性關(guān)系；向量之間的線性關(guān)系； 矩陣的初等列變換不改矩陣的初等列變換不改 變變(部分或全部部分或全部)行向量之間的線性關(guān)系。行向量之間的線性關(guān)系。 5442,7211,9221,6611,341254321：設(shè)向量組設(shè)向量組A 例2例2的的秩秩；求求的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組，并并求求向向量量組組AA 97963422644121121112A記記 解解階階梯梯形形矩矩陣陣施施行行初初等等行行變變換換變變?yōu)闉樾行袑A ， 00000310000111041211初初等等行行變變換換 ，知知3

7、)( AR;3個個向向量量組組含含故故向向量量組組的的極極大大無無關(guān)關(guān) 三三列列，的的非非零零首首元元在在階階梯梯形形矩矩陣陣三三個個非非零零行行421、.,421無無關(guān)關(guān)組組為為列列向向量量組組的的一一個個極極大大故故aaa線性無關(guān)線性無關(guān)，故，故知知421421,3),(aaaaaaR ),421aaa（事實上事實上 763264111112 000100110111初等行變換初等行變換 大大無無關(guān)關(guān)組組。也也為為列列向向量量組組的的一一個個極極注注：,431aaa),(),(,21212121tstsRR 線線性性表表示示，那那么么能能由由向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組定理定理3 3 推論

8、推論1 1 等價向量組有相同的秩，但反之不真。等價向量組有相同的秩，但反之不真。 ;,)1(21線線性性無無關(guān)關(guān)r .,2)(21線線性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由rV 那末，向量組那末，向量組 就稱為向量的一個基，就稱為向量的一個基， r, 21V 稱為向量空間稱為向量空間 的維數(shù)，并稱的維數(shù)，并稱 為為 維向量空間維向量空間, ,記作記作 dimV=r dimV=r 。 VrVr定義定義3 3 設(shè)設(shè) 是向量空間，假設(shè)是向量空間，假設(shè) 個向量個向量 ，且滿足，且滿足r,21 VVr , R,xVrrr 12211 （1只含有零向量的向量空間稱為只含有零向量的向量空間稱為0維向量

9、維向量空間，因此它沒有基空間，因此它沒有基說明說明 （4若向量組若向量組 是向量空間是向量空間 的一的一個基，那么個基，那么 可表示為可表示為r, 21VV （2若把向量空間若把向量空間 看作向量組，那末看作向量組，那末 的基的基就是向量組的極大無關(guān)組就是向量組的極大無關(guān)組, 的維數(shù)就是向量組的的維數(shù)就是向量組的秩秩.VVV （3如果如果V是向量空間，是向量空間，V的任何的任何r個線性無關(guān)個線性無關(guān)的向量都是的向量都是V的一個基的一個基 ,221212122),(321 aaaA.,3321的的一一個個基基是是驗驗證證Raaa設(shè)矩陣設(shè)矩陣 例4例4.,3213321線線性性無無關(guān)關(guān)只只要要證證

10、的的一一個個基基是是要要證證aaaRaaa 分析：分析： 解：解：, 0221212122| A.,321線線性性無無關(guān)關(guān)所所以以aaa那么，同一個向量在不同的基下的坐標有什那么，同一個向量在不同的基下的坐標有什么關(guān)系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐么關(guān)系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐標如何改變呢？標如何改變呢？問題：在問題：在 維線性空間維線性空間 中，任意中，任意 個線性個線性無關(guān)的向量都可以作為無關(guān)的向量都可以作為 的一組基對于不同的的一組基對于不同的基，同一個向量的坐標是不同的基，同一個向量的坐標是不同的nVVn,2121的的兩兩組組基基是是與與設(shè)設(shè)nnnR 它們是等價向量組

11、，故它們是等價向量組，故 Pnn),(),(2121 其中其中P是是n階矩陣，階矩陣，nn ,2121到到稱稱為為由由的過渡矩陣，的過渡矩陣， 由上式可知由上式可知P可逆?？赡?。 下下的的與與在在基基設(shè)設(shè)向向量量nn ,2121,坐坐標標分分別別為為 nnyyyYxxxX2121,(1)則由則由 nnxxx 2211 ,2121 nnxxx nnyyy 2211 ,2121 nnyyy nnyyyP2121 nnyyy2121 由坐標的唯一性得：由坐標的唯一性得： nnyyyPxxx2121即即得得(1)式式(2)式分別稱為基變換公式和坐標變換公式。式分別稱為基變換公式和坐標變換公式。 (2)

12、,1XPYPYX 或或.,52,100110011)1 , 1 , 1(,)0 , 1 , 1(,)0 , 0 , 1(,3213213213213的表達式的表達式下下在基在基并求并求所得到的新基所得到的新基通過過渡矩陣通過過渡矩陣求由基求由基中中在在 例6例6 A RTTT例例5 見見P121例例3 解解由題設(shè)有由題設(shè)有設(shè)欲求的新基為設(shè)欲求的新基為,321 ),(100110011),(),(),(32211321321321 A.)1 , 0 , 0(,)0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1(321所所求求的的新新基基是是所所以以TTT 521),(52321321 52110011

13、001152111321Axxx 則則,),(321321 xxx ,532521100110111 .532321 故故基基的的子子空空間間的的維維數(shù)數(shù)和和一一組組求求例例7 73R 0|3213321xxxRxxxW教材教材P123 5344,9565,112331022121bba a 已知已知例8例8);,(),()1(2121bbLaaL證證明明的一個基及維數(shù)。的一個基及維數(shù)。求求),()2(2121bbaaL 證明證明 5913351146204532),(2121bbaa 0000000023103511 初等行變換初等行變換 , 2),(2121bbaaR,2121線線性性無無關(guān)關(guān)線線性性無無關(guān)關(guān)，